1.4. LÍNEAS RECTAS

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de tal manera que si definimos d := q − p, como dirección, la recta
` = {p + t d | t ∈ R},
(que sí es una recta pues d = q − p 6= 0), es la que funciona. Con t = 0 obtenemos
que p ∈ `, y con t = 1 que q ∈ `.
¤
De la demostración del lema, se siguen los postulados I y III de Euclides. Obsérvese
que cuando t toma valores de entre 0 y 1, se obtienen puntos entre p y q (pues el
vector direccional (q − p) se encoge al multiplicarlo por t),
asi que el segmento de p a q, que denotaremos por pq, se
t>1 q
debe definir como
p
t=1
pq := {p + t(q − p) | 0 ≤ t ≤ 1}.
t=0

t<0

Y la recta ` que pasa por p y q, se extiende “indefinidamente” a ambos lados del
segmento pq; para t > 1 del lado de q y para t < 0 del lado de p.
*EJERCICIO 1.18 Aunque lo demostraremos más adelante, es un buen ejercicio demostrar
formalmente en este momento que la recta `, cuando p 6= q, es única.

EJERCICIO 1.19 Encuentra representaciones paramétricas de las
rectas en la figura. Observa que su representación paramétrica no
es única.
EJERCICIO 1.20 Dibuja las rectas
{(2, 3) + t(1, 1)
{(−1, 0) + s(2, 1)
{(0, −2) + (−r, 2r)
{(t − 1, −2t)

|
|
|
|

0

t ∈ R};
s ∈ R};
r ∈ R};
t ∈ R}.

EJERCICIO 1.21 Exhibe representaciones paramétricas para las 6 rectas que pasan por
dos de los siguientes puntos en R2 : p1 = (2, 4), p2 = (−1, 2), p3 = (−1, −1) y p4 = (3, −1).
EJERCICIO 1.22 Exhibe representaciones paramétricas para las 3 rectas que genera el
triángulo en R3 : q1 = (2, 1, 2), q2 = (−1, 1, −1), q3 = (−1, −2, −1).
EJERCICIO 1.23 Si una partícula viaja de 2q1 a 3q3 en movimiento inercial y tarda 4
unidades de tiempo en llegar. ¿Cuál es su vector velocidad?
EJERCICIO 1.24 Dados dos vectores u y v en Rn , el paralelogramo
que definen tiene como vértices a los puntos 0, u, v y u + v (como en
la figura). Demuestra que sus diagonales, es decir, los segmentos de 0 a
u + v y de u a v se intersectan en su punto medio.

u+v

v
u
0