24

CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

EJERCICIO 1.14 Observa que los axiomas de orden no dicen nada sobre cómo estan
relacionados el 0 y el 1, pero se puede deducir de ellos. Supon que 1 ≤ 0, usando el ejercicio
anterior y los axiomas (Ov) y (Oii), demuestra que entonces −1 = 0; como esto no es
cierto se debe cumplir la otra posibilidad por (Oi), es decir, que 0 ≤ 1.
EJERCICIO 1.15 Demuestra que si a ≤ b y c ≤ 0 entonces ac ≥ bc (donde ≥ es mayor o
igual ).

Ejemplo. Como corolario de este teorema se tiene que el “algebrita” simple a la
que estamos acostumbrados con números también vale con vectores. Por ejemplo, en
el ejercicio (1.8.ii.b) se pedía encontrar el vector x tal que
3v3 − 2x = v4 + x
Hagámoslo. Se vale pasar con signo menos del otro lado de la ecuación (sumando
el inverso aditivo a ambos lados), y por tanto esta ecuación equivale a
−3x = v4 − 3v3
y multiplicando por −1/3 se obtiene que
x = v3 − (1/3)v4 .
Ya nada más falta substituir por los valores dados. Es probable que el estudiante
haya hecho algo similar y qué bueno: tenía la intuición correcta. Pero hay que tener
cuidado, asi como con los números no se vale dividir entre cero, no se le vaya a ocurrir
tratar de ¡dividir por un vector! Aunque a veces se pueden “cancelar” (ver Ej. 1.3.1).
Para tal efecto, el siguiente Lema será muy usado y vale la pena verlo en detalle.
Lema 1.3.1 Si x ∈ R2 y t ∈ R son tales que t x = 0 entonces t = 0 o x = 0.
Demostración. Suponiendo que t 6= 0 , hay que demostrar que x = 0 para completar
el lema. Pero entonces t tiene inverso multiplicativo y podemos multiplicar por t−1
ambos lados de la ecuación t x = 0 para obtener (usando (v) y (vi)) que x = (t−1 ) 0 =
0 por la definición del vector nulo 0 = (0, 0).
¤

EJERCICIO 1.16 Demuestra que si x ∈ R3 y t ∈ R son tales que t x = 0 entonces t = 0 o
x = 0. ¿Y para Rn ?
EJERCICIO 1.17 Demuestra que si x ∈ Rn es distinto de 0, y t, s ∈ R son tales que
t x = s x, entonces t = s . (Es decir, si x 6= 0 se vale “cancelarlo” aunque sea vector.)