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CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

siendo n = 1 (es decir, si x, y, z estan en R) se obtienen parte de los axiomas de los
números reales. Esto es, cada enunciado es una de las reglas elementales de la suma y
la multiplicación que conocemos desde chiquitos. Del (i) al (iv) son los axiomas que
hacen a R con la operación suma lo que se conoce como un “grupo conmutativo” : (i)
dice que la suma es “asociativa”, (ii) que es “conmutativa”, (iii) que el 0 –o bien,
el 0– es su “neutro” (aditivo) y (iv) que todo elemento tiene “inverso” (aditivo).
Por su parte, (v) y (vi) nos dicen que la multiplicación es asociativa y que tiene un
neutro (multiplicativo), el 1; pero nos faltaría que es conmutativa y que tiene inversos
(multiplicativos). Entonces tendríamos que añadir:
ix) t s = s t
x) Si t 6= 0, existe t−1 tal que t t−1 = 1
para obtener que R − {0} (los reales quitándole el 0) son un grupo conmutativo con
la multiplicación. Finalmente, (vii) y (viii) ya dicen lo mismo (en virtud de (ix)),
que las dos operaciones se distribuyen.
Obsérvese que en el caso general (n > 1) (ix) y (x) ni siquiera tienen sentido; pues
sólo cuando n = 1 la multiplicación escalar involucra a seres de la misma especie. En
resumen, para el caso n = 1, el teorema es un subconjuto de los axiomas que definen
las operaciones de los números reales. No hay nada que demostrar, pues son parte
de los axiomas básicos que vamos a usar. El resto de los axiomas que definen los
números reales se refieren a su orden y, para que el libro quede autocontenido, de una
vez los enunciamos. Los números reales tienen una relación de orden, denotada ≤ y
que se lee “menor o igual que” que cumple, para a, b, c, d ∈ R, con:
Oi)
Oii)
Oiii)
Oiv)
Ov)

a≤b
a≤b
a≤b
a≤b
a≤b

o
y
y
y
y

b ≤ a (es un orden total)
b≤a ⇔ a=b
b ≤ c ⇒ a ≤ c (es transitivo)
c≤d ⇒ a+c≤b+d
0 ≤ c ⇒ ac ≤ bc

Además, los reales cumplen con el axioma del supremo que intuitivamente dice que
la recta numérica no tiene “hoyos”, que forman un continuo. Pero este axioma,
fundamental para el cálculo pues hace posible formalizar lo “infinitesimal” no se usa
en este libro, así que ahí lo dejamos.
Regresando al Teorema 1.3.1, para n > 1 la cosa es sutilmente diferente. Nosotros
definimos la suma vectorial, y al ser algo nuevo sí tenemos que verificar que cumple las
propiedades requeridas. Vale la pena introducir a Dios, el usado en matemáticas no
el de las religiones, para que quede claro. Dios nos dá los números reales con la suma
y la multiplicación, de alguna manera nos “ilumina” y ¡puff!: ahí están, con todo y
sus axiomas. Ahora, nosotros –simples mortales– osamos definir la suma vectorial
y la multiplicación de escalares a vectores, pero Dios ya no nos asegura nada, él ya
hizo su chamba: nos toca demostrarlo a nosotros.