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CURVAS PLANAS, ECUACIONES
PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS
POLARES

Curvas planas y ecuaciones
paramétricas.
• Una curva geométricamente hablando diremos que intuitivamente, es el
conjunto de puntos que representan las distintas posiciones ocupadas por
un punto que se mueve; si se usa el término curva por oposición a recta o
línea poligonal, habría que excluir de esta noción los casos de, aquellas
líneas que cambian continuamente de dirección, pero de forma suave, es
decir, sin formar ángulos. Esto las distingue de las líneas rectas y de las
quebradas. Estarían fuera de esta noción los casos de movimiento
rectilíneo. Sin embargo, utilizando la definición matemática, una línea
recta es un caso particular de curva.

Funciones paramétrica
• En algunos casos la ecuación de una función o
de una relación no esta dada en la forma y =
f(x) o f(x; y) = 0,
• como en las igualdades y = 5x2 + 3x; o, x2 + y2
= 4, sino que esta determinada por un par de
ecuaciones en
• términos de una misma variable.

Derivada de una función dada
paramétricamente
• Si una curva suave C está dada por la ecuaciones x=f(t) y y=g(t), entonces la
pendiente de C en (x,y) es
• ݀‫ݕ‬/݀‫ݕ݀=ݔ‬/݀‫ ݐ‬, ݀‫ݔ‬/݀‫≠ݐ‬0.
d‫ݔ‬/݀‫ݐ‬
• Esto se da ya que cumple con el teorema que proporciona las condiciones
necesarias para obtener la derivada de una función dada en forma
paramétrica:
• ܵ݁ܽ݊ ݂ ‫ݐ( ݋݈ܽݒݎ݁ݐ݊݅ ݊ݑ ݊݁ ݏ݈ܾ݁ܽݒ݅ݎ݁݀ ݏ݁݊݋݅ܿ݊ݑ݂ ݃ ݕ‬1,‫ݐ‬2) . ܵ‫݋݉ܽ݃݊݋݌ݑ‬
‫݋݈ܽݒݎ݁ݐ݊݅ ݁ݏ݁ ݊݁ ݈ܾ݁ܽݒ݅ݎ݁݀ ܽݏݎ݁ݒ݊݅ ܽ݊ݑ ݁݊݁݅ݐ ݂ ݁ݑݍ ݏ‬.‫݀ܽܿ ݊݁ ݏ݁ܿ݊݋ݐ݊ܧ‬
ܽ ‫≠ ݐ ´݂ ݁݀݊݋݀ ݋ݐ݊ݑ݌‬0,݈ܽ‫ ݐ ݂=ݔ ݏ݁݊݋݅ܿܽݑܿ݁ ݏ‬, ‫݁ݐݏ݅ݔ݁ ݁ݑݍ ݈݊ܽܿ݅݌݉݅ ݐ ݃=ݕ‬
‫݅ܿ݊ݑ݂ ܽ݊ݑ‬ó݊ ݀݁‫ ݔ ݂=ݕ ݁ݑݍ ݈ܽݐ ܨ ݈ܾ݁ܽݒ݅ݎ‬, ‫݉݁݀ܽ ݕ‬á‫݃=ݕݔܦ ݏ‬′(‫ݕݐܦ=)ݐ(´݂)ݐ‬
‫ݔݐܦ‬

Coordenadas polares.
• Hasta ahora las gráficas se han venido representando como colecciones de
puntos (x, y) en el sistema de coordenadas rectangulares. Las ecuaciones
correspondientes a estas gráficas han estado en forma rectangular o en
forma paramétrica. En esta sección se estudiará un sistema de
coordenadas denominado sistema de coordenadas polares. Para formar el
sistema de coordenadas polares en el plano, se fija un punto O, llamado
polo (u origen), y a partir de O, se traza un rayo inicial llamado eje polar,
como se muestra en la figura.

A continuación, a cada punto P en el plano se le asignan coordenadas polares (r, ߠ),
como sigue.

En coordenadas rectangulares, cada punto (x,y)
tiene una representación única. Esto no sucede con
las coordenadas polares. Por ejemplo, las
coordenadas (r,ߠ) y (r,2ߨ+ߠ) representan el mismo.
También, como r es una distancia dirigida, las
coordenadas pueden representar el mismo punto. En
general, el punto puede expresarse como:
(‫ݎ‬,ߠ)= (‫ݎ‬,ߠ+2݊ߨ)
‫݋‬
(‫ݎ‬,ߠ )= (−‫ݎ‬,ߠ + (2݊+1) ߨ)
Donde n es cualquier entero. Además, el polo está
representado por (0,ߠ), donde ߠ es cualquier ángulo

Ecuaciones de curvas planas en
coordenadas polares.
Se puede ubicar un punto en el plano
conociendo su distancia a un punto fijo y su
dirección con base en una recta fija.
Se vera la construcción de graficas que se
representan en puntos en movimiento.
El objetivo es desarrollar únicamente la
transformación de la ecuación cartesiana a
polar.
Nota:
; así mismo,
; ya que se
emplean para obtener las coordenadas
polares de una ecuación.

•Ecuación polar de la
circunferencia
• Sea
la circunferencia dada.
• Sustituyendo los valores:
• Factor izando a “p” se obtiene:
• Como
circunferencia.

entonces:
que es la ecuación polar de la

Ecuación polar de la parábola
• Sea
la ecuación dada.
• Sustituyendo “x” y “y”:
• Se divide entre “p” y despejando se tiene:
que es la ecuación polar de la
parábola.

Ecuación polar de la elipse.
•
• Sustituyendo:
• Se factoriza:
• Se despeja:
• Se divide ambos términos del quebrado por
y sustituyendo
por
:

• Aplicando las propiedades de la elipse:
,y

• Por lo tanto la ecuación de la elipse es:

Ecuación polar de la hipérbola
•
• Realizando los pasos anteriores se tiene:
que es la
ecuación polar de la hipérbola