1) ¿Es cierto que existe un polinomio 𝐾(𝑥) tal que 𝑥 7 − 3𝑥 5 + 6𝑥 2 − 3 = 𝐾(𝑥) . (𝑥 4 − 4𝑥 2 + 2)?
Justifiquen la respuesta.
Primero vamos a nombrar a los polinomios:
𝑃(𝑥) = 𝑥 7 − 3𝑥 5 + 6𝑥 2 − 3
𝑄(𝑥) = 𝑥 4 − 4𝑥 2 + 2

Ahora despejamos 𝐾(𝑥)

𝑃(𝑥) = 𝐾(𝑥) . 𝑄(𝑥) → 𝐾(𝑥) =

𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)

Esto se cumple si 𝑄(𝑥) es divisor de 𝑃(𝑥). Para que esto sea cierto el resto de la división deberá ser 0.
Vamos a realizar la división completando donde haga falta:
𝑥7

+ 0𝑥 6

0

+0

−𝑥 7

+ 0𝑥 6

−3𝑥 5

+ 0𝑥 4

+ 0𝑥 3

+ 6𝑥 2

+ 0𝑥

+ 𝑥5

+ 0𝑥 4

− 2𝑥 3

+ 6𝑥 2

+ 0𝑥

3

2

− 2𝑥

+ 4𝑥 5
− 𝑥5
0

+ 0𝑥 4

− 2𝑥 3

+ 0𝑥 4

+ 4𝑥 3

+0

+ 2𝑥

+ 0𝑥 2
+ 6𝑥

− 2𝑥

𝑥4

−3

−3

𝑥3

+ 0𝑥 3
+ 𝑥

− 4𝑥 2

+ 0𝑥

+2

𝑅𝑒𝑠𝑡𝑜 ≠ 0

Respuesta: No existe 𝐾(𝑥) ya que el resto de la división es distinto de 0.
2) El resto de dividir 𝑃(𝑥) = 𝑥 5 + 𝑥 4 − 3𝑥 2 − 3𝑥 − 2 por 𝑄(𝑥) es -11 ¿Puede ser 𝑄(𝑥) = 𝑥 − 4 el divisor?
Justifiquen la respuesta.
Para saber si 𝑄(𝑥) es el divisor, simplemente hacemos la división (estando atentos al resto)
La primera opción es usar Ruffini:

Recordemos que podemos usar Ruffini porque el divisor es de la forma 𝑥 − 𝑎
𝑥4
1

𝑥3
0

𝑥2
-3

𝑥1
-3

𝑥0

4

20

80

308

1220

1

5

20

77

305

1218

𝑥4

𝑥3

𝑥2

𝑥1

𝑥0

𝑥5
1

4

Para guiarnos aquí coloqué los grados originales.

-2

Resto
Recuerden que luego de la división se baja un grado al polinomio.

El resultado de la división es 𝑥 4 + 5𝑥 3 + 20𝑥 2 + 77𝑥 + 305 con resto 1218

Esto me daría como resultado que el resto de dividir 𝑃(𝑥) por 𝑄(𝑥) = 𝑥 − 4 es distinto de −11

Autor: Bazzi Guillermo – Revisado el 20/05/2014 por Profesora Marta G. Chavarría

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