Números Reales .pdf
Nombre del archivo original: Números Reales.pdf
Autor: marga
Este documento en formato PDF 1.5 fue generado por Microsoft® Word 2010, y fue enviado en caja-pdf.es el 05/03/2018 a las 12:55, desde la dirección IP 193.144.x.x.
La página de descarga de documentos ha sido vista 2190 veces.
Tamaño del archivo: 429 KB (8 páginas).
Privacidad: archivo público
Vista previa del documento
NÚMEROS REAIS
Índice
1. Números racionais .................................................................................................... 1
2. Números reais .......................................................................................................... 2
2.1. Números irracionais ........................................................................................... 2
2.2. Números reais.................................................................................................... 3
2.3. Aproximación e erros ......................................................................................... 3
2.4. Notación científica .............................................................................................. 4
2.5. Radicais ............................................................................................................. 4
3. A recta real ............................................................................................................... 6
3.1. Intervalos ........................................................................................................... 7
3.2. Valor absoluto, distancias e ámbitos .................................................................. 8
1. Números racionais
Os números naturais serven para contar os elementos dun conxunto e para
ordenalos. Hai infinitos. O conxunto de todos os números naturais denótase por ℕ.
ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, ... }
Cos números naturais pódese sumar e multiplicar sen ningún problema, é dicir, se se
suman ou multiplican dous números naturais, o resultado é un novo número natural.
Non obstante, non se poden restar sempre. Pódese restar 5 – 3 = 2, pero non ten
sentido a operación 3 – 5.
Para que a operación 3 – 5 teña sentido necesítase un conxunto de números maior,
este conxunto é o dos números enteiros, que se denota ℤ e está constituído polos
naturais, o cero e os números negativos.
ℤ = {..., –4, –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, ... }
Os números naturais están incluídos dentro do conxunto dos números enteiros:
ℕ
ℤ
Cos números enteiros pódese sumar, restar e multiplicar. Non obstante, cos números
enteiros non se poden levar a cabo, ou carecen de sentido, as divisións que non son
exactas. Por exemplo, cos números enteiros non se pode expresar a terceira parte de
algo.
Para que teñan sentido cousas tales como a terceira parte ou a cuarta parte da
unidade, e en xeral todas as divisións entre dous números enteiros (salvo nas que o
divisor sexa 0) introdúcese o conxunto dos números racionais. Os números
racionais, que se denotan
ℚ,
son todos os números da forma
, onde p e q son
ambos enteiros, e ademais q é distinto de 0:
1
ℚ
ℤ
{
}
Os números racionais tamén se caracterizan pola súa forma decimal: ou ben son
enteiros ou ben teñen unha expresión decimal finita ou periódica.
Por exemplo 3
3 61
13
,
2´44 ,
1´444... 1´4 son números racionais.
1 25
9
Hai que ter en conta que os números enteiros, e tamén os naturais, están incluídos
dentro do conxunto dos números racionais:
ℤ
ℚ
Os números racionais poden ser representados sobre a recta. Para iso basta situar o 0
(orixe) e o 1 (unidade), co cal todos os números racionais teñen un lugar exacto sobre
a recta.
-1
0
1
1´5
2
A representación gráfica dos números racionais nunha recta permite entender
intuitivamente unha importante propiedade que distingue a estes números dos
enteiros. Entre dous números enteiros consecutivos calquera, por exemplo, o 5 e o 6,
non é posible encontrar ningún outro número enteiro. Non obstante, entre dous
números racionais calquera p e q, sempre é posible encontrar, non só un, se non
infinitos números racionais. A esta propiedade chámaselle propiedade de densidade.
2. Números reais
2.1. Números irracionais
Hai números non racionais, é dicir, que non se poden expresar como cociente de
dous números enteiros. Chámanse números irracionais e o conxunto de todos eles
denótase por .
Os números irracionais exprésanse mediante infinitas cifras decimais non periódicas.
Algúns números irracionais:
Números alxébricos: os que se obteñen como raíces de ecuacións polinómicas. Por
exemplo 2 (solución da ecuación x 2 2 0 ) e todos os radicais.
O número aúreo, :
5 1
é a relación entre a diagonal e o lado do pentágono
2
regular e é o primeiro número do que se tivo conciencia de que é irracional, o cal
supuxo unha gran conmoción aos pitagóricos.
O número : é o cociente entre a lonxitude dunha circunferencia e a do diámetro
correspondente.
A expresión decimal é = 3´1415926535... Na práctica utilízanse como valores
aproximados deste número 3´14 ou 3´1416.
2
O número e: aparece en moitos procesos de crecemento (crecemento da masa
vexetal dun bosque, por exemplo), na desintegración radiactiva e na fórmula da
catenaria, que é a fórmula que describe unha cadea, ou calquera fío flexible, que
pende suxeito dos seus extremos. O seu valor decimal é e = 2,718281...
2.2. Números reais
O conxunto formado polos números racionais e os irracionais, é dicir, o conxunto de
todos os números decimais posibles, chámase conxunto dos números reais e
represéntase por ℝ.
ℝ=ℚ
ℕ
ℤ
ℚ
ℝ
Cada punto da recta corresponde a un número racional ou a un número irracional. Por
iso á recta numérica chámaselle recta real.
2.3. Aproximación e erros
Todos os números reais teñen unha expresión decimal, que pode ser exacta, periódica
ou ningunha das dúas cousas, é dicir, infinita e non periódica, como ocorre cos
irracionais. Por esta razón, á hora de facer cálculos con eles, en moitas ocasións non
se pode traballar co número exacto, se non con algunha aproximación. Por exemplo,
úsase a aproximación 3´14 para o número , pero non é o seu valor exacto.
En xeral, ao utilizar un número real só se precisa dunha parte do seu
desenvolvemento decimal redondeando o resto das cifras por defecto ou por exceso.
As cifras significativas son o número de cifras exactas que se utilizan para describir
unha magnitude ou un valor numérico.
O número de cifras significativas que se poden utilizar depende da necesidade da
situación que se queira describir e da precisión das medidas das que se dispoña. Por
exemplo, dise que unha persoa mide 1’65 utilizando 3 cifras significativas.
Os números pódense aproximar mediante truncamento e redondeo.
Truncamento: suprímense as cifras decimais dun número a partir dunha determinada
cifra.
Por exemplo, 21´357604081 truncado a partir das sete primeiras cifras significativas,
convértese en 21´35760; truncado a partir das catro primeiras cifras queda 21´35 e
truncado a partir da parte enteira vale 21.
Redondeo: suprímense as cifras decimais dun número a partir dunha determinada
cifra aplicando as seguintes regras a dita cifra:
● Se a cifra seguinte á de redondeo é menor que cinco, a última cifra do número
redondeado non se cambia.
● Se a cifra seguinte á de redondeo é cinco ou maior que cinco, súmase unha
unidade á cifra de redondeo.
Por exemplo, 31´457264 redondeado a tres cifras decimais queda 31´457, porque 2 <
5; redondeado a dúas cifras decimais queda 31´46, pois 7 > 5 e redondeado a unha
única cifra decimal queda 31´5, xa que 5 = 5.
Ao traballar con números aproximados cométese un erro que se debe ter en conta ao
avaliar os resultados obtidos.
3
O erro absoluto é a diferenza, en valor absoluto, entre o valor exacto e a
aproximación.
Erro absoluto Valor exacto Valor aproximado
O erro relativo é o cociente do erro absoluto e o valor exacto.
Erro relativo
Erro absoluto
Valor exacto
2.4. Notación científica
En moitas informacións aparecen cantidades moi grandes ou moi pequenas que se
acostuman escribir como o produto dun decimal, maior que un e menor que dez, e
unha potencia de dez. Así, a masa dun átomo de hidróxeno, 0´000 000 000 000 000
000 000 001 675 gramos, se escribe como 1´675·10–24 gramos e a masa da Terra, 5
976 000 000 000 000 000 000 000 kg, se escribe como 5´976·1024 kg. Esta maneira de
expresar os números pequenos ou grandes chámase notación científica.
Un número escrito en notación científica componse dun número decimal maior que
un e menor que dez multiplicado por unha potencia de dez.
Cando se multiplica un decimal por 10n, móvese a coma n lugares cara á dereita e
cando se multiplica por 10–n (se divide por 10n), móvese a coma n lugares á esquerda.
Así, para expresar en notación científica 0´004 56 como primeiro factor tómase 4´56 e,
por ter movido a coma tres lugares á dereita, como segundo ponse 10–3. Logo, 0´004
56 = 4,56·10–3. Máis sinxelo é expresar como decimal: 4´835·108 = 483 500 000
(móvese a coma oito lugares á dereita).
Para sumar e restar números en notación científica é necesario que todos teñan a
mesma potencia de 10; se isto non ocorre, sácase factor común á menor potencia de
10 e logo súmase. Hai que dar o resultado en notación científica. Por exemplo:
6´31·108 + 4´325·1010 – 5´13·105 = (6´31·103 + 4´325·105 – 5´13)·105 = (6310 +
432500 – 5´13)·105 = 438804´87·105 = 4´3880487·1010.
Para multiplicar e dividir números en notación científica unicamente hai que seguir as
regras de multiplicación e división de potencias da mesma base. Por exemplo:
3´68·107·8´63·10–5 = 31´7584·107–5 = 31´7584·102 = 3´17584·103.
3´68·107 : 8´63·10–5 = 0´4264195·107–(–5)= 0,4264195·1012 = 4,264195·1011.
2.5. Radicais
Unha forma simbólica de manexar algúns números reais é mediante radicais.
A raíz enésima dun número a,
n
a , é o número real b que cumpre que bn = a. Isto é:
n
a b bn a
O símbolo n a chámase radical, o número n é un número natural chamado índice da
raíz e a é un número real chamado radicando.
Se o índice é 2 a raíz chámase cadrada (cando non aparece ningún número no índice,
enténdese que este é 2); se é 3, cúbica.
4
Se a ≥ 0,
de n.
n
a existe calquera que sexa a. Se a < 0,
n
a só existe para valores impares
A raíz enésima dun número tamén se pode escribir en forma de potencia:
n
n
1
a a , pois a n a n a
1
n
n
Por tanto, a raíz dunha potencia se pode escribir como unha potencia con expoñente
racional:
a m a m n a
m
n
a m a n , pois
1
n
m
1
n
m
an
Propiedades dos radicais
np
a a , pois
p
np
n
a a
p
p
np
1
n
a n a
Esta propiedade é útil para simplificar radicais e conseguir que dous ou máis
radicais teñan o mesmo índice (reducir a índice común).
a
p
n
a , pois
n
p
p
a
p
n
1
p
1
a n a n a p n n a p
1
Esta propiedade só é válida cando existen os radicais
Por exemplo, non se pode poñer que
radical non ten significado numérico.
4
5
n
a e
54
n
ap .
25 , pois o primeiro
1
1
n1 m
a a a n m a mn mn a
1
m n
a
mn
a , pois
m n
1
É dicir, para facer unha raíz dunha raíz, multiplícanse os índices.
1
n
a n b n a b , pois
n
1
a n b a n b n a bn n a b
1
É dicir, para multiplicar dous radicais, deben ter o mesmo índice. Se os índices
non son iguais, pódense reducir a un índice común usando o mínimo común
múltiplo.
Esta propiedade ten as seguintes aplicacións:
- Extraer factores dun radical. Por exemplo:
3
-
32 3 8 4 3 8 3 4 3 23 3 4 2 3 4 23 4
Ao contrario, xuntar varios radicais nun só. Por exemplo:
15 20 300
1
n
n
a
b
n
a
, pois
b
n
n
1
a a n a n
1
b
b
bn
n
n
a
b
Como no caso do produto, para dividir radicais, estes deben ter o mesmo
índice. E o mesmo que no produto cando os índices non son iguais.
5
Suma de radicais
Só se poden sumar radicais que teñan o mesmo índice e o mesmo radicando. Se
aparentemente non teñen o mesmo radicando, hai que descompoñer dito radicando e
extraer todos os termos que se poidan da raíz, para ver se neste caso xa son
operables. Por exemplo:
27 48 75
33 2 4 3 3 52
32 3 2 4 3 3 52
3 3 22 3 5 3 3 3 4 3 5 3 7 3 5 3 2 3
Racionalización de denominadores
Antes do uso xeneralizado das calculadoras era moi incómodo dividir un número por
un radical, pois hai que dividir por un elevado número de cifras decimais. Debido a
isto, buscouse o modo de converter esa división noutra na que o divisor fose enteiro.
Encontráronse unhas regras que permiten racionalizar denominadores e que se
poden encadrar en tres tipos:
Se no denominador hai unha raíz cadrada multiplícase e divídese a fracción
por dita raíz:
a
a b
a b a b
b
b
b b
b2
Ao multiplicar e dividir polo mesmo número non se ve afectado o valor da
fracción, pois multiplícase pola unidade.
Se no denominador hai unha raíz de índice n ,( n b m , m < n), multiplícase e
divídese por
n
b n m :
a
n
bm
a n b n m
n
b m n b n m
a n b n m
n
b m b n m
a n b n m
n
bn
a n b n m
b
Se no denominador hai un binomio con raíces cadradas ( a b c d ),
multiplícase e divídese polo seu conxugado ( a b c d ):
n
n a b c d
n a b c d
n a b c d
2
2
2
2
a 2b c 2 d
a b c d
a b c d a b c d
a b c d
Úsase o conxugado porque (x + y)(x – y) = x2 – y2 e así desaparecen as raíces
cadradas. Obviamente se o binomio é a b c d o seu conxugado é
a b c d . Ao multiplicar e dividir polo conxugado sempre se terá no
denominador a diferenza de cadrados, polo que se pode facer directamente e
evitar pasos innecesarios.
3. A recta real
Os números reais, ao igual que os números racionais, tamén se poden representar
nunha recta, a recta real. Tamén poñemos os positivos á dereita e os negativos á
esquerda. Os enteiros e os racionais ocupan o mesmo lugar, e os “ocos" que deixaban
os racionais, énchense cos irracionais, de maneira que se supón que os reais enchen
toda a recta.
6
A representación dos números irracionais non sempre é sinxela, algunhas veces é
imposible facelo exactamente, aínda que hai algúns casos en que si se pode facer dun
xeito sinxelo.
Por exemplo, para representar na recta o número 2 pódese utilizar o teorema de
Pitágoras e debuxar un triángulo rectángulo con catetos 1 e 1, de maneira que a
lonxitude da hipotenusa sexa precisamente o número 2 .
2
1
-3
-2
-1
0
1
2
2
3
Os números reais, ao igual que acontece cos números racionais, teñen a propiedade
de densidade, é dicir, entre cada dous números reais distintos sempre se pode atopar
outro número real pero, a diferenza dos números racionais, os números reais non
deixan ocos na recta: a cada punto da recta correspóndelle un número real. Neste
sentido, dise que ℝ é completo.
3.1. Intervalos
Para describir conxuntos de números reais, resulta útil ás veces expresalos como
anacos ou segmentos da recta. A estes anacos chamáselles intervalos, cuxos
diferentes tipos son:
Intervalo pechado [a, b] = {x ℝ : a ≤ x ≤ b}
A característica fundamental dun intervalo pechado é que están incluídos os
seus extremos, o cal se indica graficamente con puntos recheos.
Por exemplo, a representación gráfica do intervalo pechado [-1, 2] é:
Intervalo aberto (a, b) = {x ℝ : a < x < b}
A característica fundamental dun intervalo é que non están incluídos os
extremos, o cal se indica graficamente con puntos ocos.
Por exemplo, a representación gráfica do intervalo (1, 3) é:
Intervalo semiaberto (a, b] = {x ℝ : a < x ≤ b}
Por exemplo, a representación gráfica do intervalo (-1, 2] é:
Intervalo semiaberto [a, b) = {x ℝ : a ≤ x < b}
Por exemplo, a representación gráfica do intervalo [1, 3) é:
7
Incluso se poden considerar intervalos de lonxitude infinita:
Semirrecta aberta (a, + ) = {x
Semirrecta pechada [a, + ) = {x
Semirrecta aberta (– , b) = {x
Semirrecta pechada (– , b] = {x
ℝ : a < x}
ℝ : a ≤ x}
ℝ : x < b}
ℝ : x ≤ b}
é o símbolo que se utiliza para representar a idea de infinito e non é un número que
se atope na recta, por iso non se inclúe nos intervalos. A propia recta real pódese
expresar como o intervalo (– , + ).
Cando se quere nomear un conxunto de puntos formado por dous ou máis destes
intervalos, utilízase o signo (unión) entre eles.
3.2. Valor absoluto, distancias e ámbitos
O valor absoluto dun número real x é o maior entre x e –x e denótase |x|.
Por exemplo, |5| = 5 e |– 3| = 3.
Tamén se pode definir, dunha forma máis precisa,
| |
{
O que significa que cando o número é negativo, se cambia de signo, e cando é
positivo, se deixa tal e como está.
O valor absoluto verifica as seguintes propiedades:
Calquera que sexan os números reais a e b:
|a| ≥ 0
|a · b| = |a| · |b|
|a + b| ≤ |a| + |b|. Esta propiedade, que se chama desigualdade triangular,
expresa que o valor absoluto dunha suma é menor ou igual que a suma dos
valores absolutos.
Unha das utilidades do valor absoluto é para expresar a idea de distancia entre dous
números reais, a distancia entre os números reais a e b é a diferenza entre o maior e o
menor. Como non se sabe cal deles é maior, se se resta b – a poderíase obter un
número positivo ou negativo, pero as distancias han de ser sempre positivas, por esta
razón, defínese a distancia entre a e b como o número |b – a|.
Por exemplo, a distancia entre –3 e 5 é |5 – (–3)| = |8| = 8, ou ben, |–3 – 5| = |–8| = 8.
Chámase ámbito de centro o número a e radio r > 0 ao conxunto de números reais x,
tales que a distancia de x ao centro do ámbito a é menor que r. Simbolicamente:
E(a, r) = {x
ℝ : |x – a| < r}
Tamén se pode expresar directamente como o intervalo (a – r, a + r).
8
Descargar el documento (PDF)
Números Reales.pdf (PDF, 429 KB)
Documentos relacionados
Palabras claves relacionadas
valor
entre
racionais
reais
exemplo
numero
decimal
recta
numeros
enteiros
cifras
absoluto
radicais
conxunto
intervalo