NÚMEROS REAIS

Índice
1. Números racionais .................................................................................................... 1
2. Números reais .......................................................................................................... 2
2.1. Números irracionais ........................................................................................... 2
2.2. Números reais.................................................................................................... 3
2.3. Aproximación e erros ......................................................................................... 3
2.4. Notación científica .............................................................................................. 4
2.5. Radicais ............................................................................................................. 4
3. A recta real ............................................................................................................... 6
3.1. Intervalos ........................................................................................................... 7
3.2. Valor absoluto, distancias e ámbitos .................................................................. 8

1. Números racionais
Os números naturais serven para contar os elementos dun conxunto e para
ordenalos. Hai infinitos. O conxunto de todos os números naturais denótase por ℕ.

ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, ... }
Cos números naturais pódese sumar e multiplicar sen ningún problema, é dicir, se se
suman ou multiplican dous números naturais, o resultado é un novo número natural.
Non obstante, non se poden restar sempre. Pódese restar 5 – 3 = 2, pero non ten
sentido a operación 3 – 5.
Para que a operación 3 – 5 teña sentido necesítase un conxunto de números maior,
este conxunto é o dos números enteiros, que se denota ℤ e está constituído polos
naturais, o cero e os números negativos.

ℤ = {..., –4, –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, ... }
Os números naturais están incluídos dentro do conxunto dos números enteiros:

ℕ

ℤ

Cos números enteiros pódese sumar, restar e multiplicar. Non obstante, cos números
enteiros non se poden levar a cabo, ou carecen de sentido, as divisións que non son
exactas. Por exemplo, cos números enteiros non se pode expresar a terceira parte de
algo.
Para que teñan sentido cousas tales como a terceira parte ou a cuarta parte da
unidade, e en xeral todas as divisións entre dous números enteiros (salvo nas que o
divisor sexa 0) introdúcese o conxunto dos números racionais. Os números
racionais, que se denotan

ℚ,

son todos os números da forma

, onde p e q son

ambos enteiros, e ademais q é distinto de 0:
1

ℚ

ℤ

{

}

Os números racionais tamén se caracterizan pola súa forma decimal: ou ben son
enteiros ou ben teñen unha expresión decimal finita ou periódica.
Por exemplo  3 


 3 61
13
,
 2´44 ,
 1´444...  1´4 son números racionais.
1 25
9

Hai que ter en conta que os números enteiros, e tamén os naturais, están incluídos
dentro do conxunto dos números racionais:

ℤ

ℚ

Os números racionais poden ser representados sobre a recta. Para iso basta situar o 0
(orixe) e o 1 (unidade), co cal todos os números racionais teñen un lugar exacto sobre
a recta.

-1

0

1

1´5

2

A representación gráfica dos números racionais nunha recta permite entender
intuitivamente unha importante propiedade que distingue a estes números dos
enteiros. Entre dous números enteiros consecutivos calquera, por exemplo, o 5 e o 6,
non é posible encontrar ningún outro número enteiro. Non obstante, entre dous
números racionais calquera p e q, sempre é posible encontrar, non só un, se non
infinitos números racionais. A esta propiedade chámaselle propiedade de densidade.

2. Números reais
2.1. Números irracionais
Hai números non racionais, é dicir, que non se poden expresar como cociente de
dous números enteiros. Chámanse números irracionais e o conxunto de todos eles
denótase por .
Os números irracionais exprésanse mediante infinitas cifras decimais non periódicas.
Algúns números irracionais:
Números alxébricos: os que se obteñen como raíces de ecuacións polinómicas. Por
exemplo 2 (solución da ecuación x 2  2  0 ) e todos os radicais.
O número aúreo,  :  

5 1
é a relación entre a diagonal e o lado do pentágono
2

regular e é o primeiro número do que se tivo conciencia de que é irracional, o cal
supuxo unha gran conmoción aos pitagóricos.
O número  : é o cociente entre a lonxitude dunha circunferencia e a do diámetro
correspondente.
A expresión decimal é  = 3´1415926535... Na práctica utilízanse como valores
aproximados deste número 3´14 ou 3´1416.

2

O número e: aparece en moitos procesos de crecemento (crecemento da masa
vexetal dun bosque, por exemplo), na desintegración radiactiva e na fórmula da
catenaria, que é a fórmula que describe unha cadea, ou calquera fío flexible, que
pende suxeito dos seus extremos. O seu valor decimal é e = 2,718281...

2.2. Números reais
O conxunto formado polos números racionais e os irracionais, é dicir, o conxunto de
todos os números decimais posibles, chámase conxunto dos números reais e
represéntase por ℝ.

ℝ=ℚ
ℕ

ℤ

ℚ

ℝ

Cada punto da recta corresponde a un número racional ou a un número irracional. Por
iso á recta numérica chámaselle recta real.

2.3. Aproximación e erros
Todos os números reais teñen unha expresión decimal, que pode ser exacta, periódica
ou ningunha das dúas cousas, é dicir, infinita e non periódica, como ocorre cos
irracionais. Por esta razón, á hora de facer cálculos con eles, en moitas ocasións non
se pode traballar co número exacto, se non con algunha aproximación. Por exemplo,
úsase a aproximación 3´14 para o número  , pero non é o seu valor exacto.
En xeral, ao utilizar un número real só se precisa dunha parte do seu
desenvolvemento decimal redondeando o resto das cifras por defecto ou por exceso.
As cifras significativas son o número de cifras exactas que se utilizan para describir
unha magnitude ou un valor numérico.
O número de cifras significativas que se poden utilizar depende da necesidade da
situación que se queira describir e da precisión das medidas das que se dispoña. Por
exemplo, dise que unha persoa mide 1’65 utilizando 3 cifras significativas.
Os números pódense aproximar mediante truncamento e redondeo.
Truncamento: suprímense as cifras decimais dun número a partir dunha determinada
cifra.
Por exemplo, 21´357604081 truncado a partir das sete primeiras cifras significativas,
convértese en 21´35760; truncado a partir das catro primeiras cifras queda 21´35 e
truncado a partir da parte enteira vale 21.
Redondeo: suprímense as cifras decimais dun número a partir dunha determinada
cifra aplicando as seguintes regras a dita cifra:
● Se a cifra seguinte á de redondeo é menor que cinco, a última cifra do número
redondeado non se cambia.
● Se a cifra seguinte á de redondeo é cinco ou maior que cinco, súmase unha
unidade á cifra de redondeo.
Por exemplo, 31´457264 redondeado a tres cifras decimais queda 31´457, porque 2 <
5; redondeado a dúas cifras decimais queda 31´46, pois 7 > 5 e redondeado a unha
única cifra decimal queda 31´5, xa que 5 = 5.
Ao traballar con números aproximados cométese un erro que se debe ter en conta ao
avaliar os resultados obtidos.
3

O erro absoluto é a diferenza, en valor absoluto, entre o valor exacto e a
aproximación.

Erro absoluto  Valor exacto  Valor aproximado
O erro relativo é o cociente do erro absoluto e o valor exacto.

Erro relativo 

Erro absoluto
Valor exacto

2.4. Notación científica
En moitas informacións aparecen cantidades moi grandes ou moi pequenas que se
acostuman escribir como o produto dun decimal, maior que un e menor que dez, e
unha potencia de dez. Así, a masa dun átomo de hidróxeno, 0´000 000 000 000 000
000 000 001 675 gramos, se escribe como 1´675·10–24 gramos e a masa da Terra, 5
976 000 000 000 000 000 000 000 kg, se escribe como 5´976·1024 kg. Esta maneira de
expresar os números pequenos ou grandes chámase notación científica.
Un número escrito en notación científica componse dun número decimal maior que
un e menor que dez multiplicado por unha potencia de dez.
Cando se multiplica un decimal por 10n, móvese a coma n lugares cara á dereita e
cando se multiplica por 10–n (se divide por 10n), móvese a coma n lugares á esquerda.
Así, para expresar en notación científica 0´004 56 como primeiro factor tómase 4´56 e,
por ter movido a coma tres lugares á dereita, como segundo ponse 10–3. Logo, 0´004
56 = 4,56·10–3. Máis sinxelo é expresar como decimal: 4´835·108 = 483 500 000
(móvese a coma oito lugares á dereita).
Para sumar e restar números en notación científica é necesario que todos teñan a
mesma potencia de 10; se isto non ocorre, sácase factor común á menor potencia de
10 e logo súmase. Hai que dar o resultado en notación científica. Por exemplo:
6´31·108 + 4´325·1010 – 5´13·105 = (6´31·103 + 4´325·105 – 5´13)·105 = (6310 +
432500 – 5´13)·105 = 438804´87·105 = 4´3880487·1010.
Para multiplicar e dividir números en notación científica unicamente hai que seguir as
regras de multiplicación e división de potencias da mesma base. Por exemplo:
3´68·107·8´63·10–5 = 31´7584·107–5 = 31´7584·102 = 3´17584·103.
3´68·107 : 8´63·10–5 = 0´4264195·107–(–5)= 0,4264195·1012 = 4,264195·1011.

2.5. Radicais
Unha forma simbólica de manexar algúns números reais é mediante radicais.
A raíz enésima dun número a,

n

a , é o número real b que cumpre que bn = a. Isto é:
n

a  b  bn  a

O símbolo n a chámase radical, o número n é un número natural chamado índice da
raíz e a é un número real chamado radicando.
Se o índice é 2 a raíz chámase cadrada (cando non aparece ningún número no índice,
enténdese que este é 2); se é 3, cúbica.

4

Se a ≥ 0,
de n.

n

a existe calquera que sexa a. Se a < 0,

n

a só existe para valores impares

A raíz enésima dun número tamén se pode escribir en forma de potencia:
n

n
 1
a  a , pois  a n   a n  a
 

1
n

n

Por tanto, a raíz dunha potencia se pode escribir como unha potencia con expoñente
racional:

a m  a m n  a

m
n

a m  a n , pois

1

n

m

1
n

m

 an

Propiedades dos radicais


np

a  a , pois
p

np

n

a a
p

p
np

1
n

a n a

Esta propiedade é útil para simplificar radicais e conseguir que dous ou máis
radicais teñan o mesmo índice (reducir a índice común).


 a

p

n

 a , pois
n

p

p

 a

p

n

 
1
  p
 1
  a n   a  n   a p n  n a p
 
1

Esta propiedade só é válida cando existen os radicais



Por exemplo, non se pode poñer que
radical non ten significado numérico.



4

5 

n

a e

 54

n

ap .

 25 , pois o primeiro

1

  
1
  
 n1  m
a   a   a  n   m   a mn  mn a
 
1



m n

a 

mn

a , pois

m n

1

É dicir, para facer unha raíz dunha raíz, multiplícanse os índices.
1



n

a  n b  n a  b , pois

n

1

a  n b  a n  b n  a  bn  n a  b
1

É dicir, para multiplicar dous radicais, deben ter o mesmo índice. Se os índices
non son iguais, pódense reducir a un índice común usando o mínimo común
múltiplo.
Esta propiedade ten as seguintes aplicacións:
- Extraer factores dun radical. Por exemplo:
3

-

32  3 8  4  3 8  3 4  3 23  3 4  2  3 4  23 4

Ao contrario, xuntar varios radicais nun só. Por exemplo:

15  20  300
1



n
n

a
b

n

a
, pois
b

n
n

1

a a n  a n
 1   
b
b
bn

n
n

a
b

Como no caso do produto, para dividir radicais, estes deben ter o mesmo
índice. E o mesmo que no produto cando os índices non son iguais.

5

Suma de radicais
Só se poden sumar radicais que teñan o mesmo índice e o mesmo radicando. Se
aparentemente non teñen o mesmo radicando, hai que descompoñer dito radicando e
extraer todos os termos que se poidan da raíz, para ver se neste caso xa son
operables. Por exemplo:

27  48  75 

33  2 4  3  3  52 

32  3  2 4  3  3  52 

 3 3  22  3  5 3  3 3  4 3  5 3  7 3  5 3  2 3
Racionalización de denominadores
Antes do uso xeneralizado das calculadoras era moi incómodo dividir un número por
un radical, pois hai que dividir por un elevado número de cifras decimais. Debido a
isto, buscouse o modo de converter esa división noutra na que o divisor fose enteiro.
Encontráronse unhas regras que permiten racionalizar denominadores e que se
poden encadrar en tres tipos:


Se no denominador hai unha raíz cadrada multiplícase e divídese a fracción
por dita raíz:

a
a b
a b a b



b
b
b b
b2
Ao multiplicar e dividir polo mesmo número non se ve afectado o valor da
fracción, pois multiplícase pola unidade.


Se no denominador hai unha raíz de índice n ,( n b m , m < n), multiplícase e
divídese por

n

b n m :

a
n



bm



a  n b n m
n

b m  n b n m



a  n b n m
n

b m  b n m



a  n b n m
n

bn

a  n b n m

b

Se no denominador hai un binomio con raíces cadradas ( a b  c d ),
multiplícase e divídese polo seu conxugado ( a b  c d ):











n
n a b c d
n a b c d
n a b c d



2
2
2
2
a 2b  c 2 d
a b c d
a b c d a b c d
a b c d









Úsase o conxugado porque (x + y)(x – y) = x2 – y2 e así desaparecen as raíces
cadradas. Obviamente se o binomio é a b  c d o seu conxugado é

a b  c d . Ao multiplicar e dividir polo conxugado sempre se terá no
denominador a diferenza de cadrados, polo que se pode facer directamente e
evitar pasos innecesarios.

3. A recta real
Os números reais, ao igual que os números racionais, tamén se poden representar
nunha recta, a recta real. Tamén poñemos os positivos á dereita e os negativos á
esquerda. Os enteiros e os racionais ocupan o mesmo lugar, e os “ocos" que deixaban
os racionais, énchense cos irracionais, de maneira que se supón que os reais enchen
toda a recta.

6

A representación dos números irracionais non sempre é sinxela, algunhas veces é
imposible facelo exactamente, aínda que hai algúns casos en que si se pode facer dun
xeito sinxelo.
Por exemplo, para representar na recta o número 2 pódese utilizar o teorema de
Pitágoras e debuxar un triángulo rectángulo con catetos 1 e 1, de maneira que a
lonxitude da hipotenusa sexa precisamente o número 2 .

2

1

-3

-2

-1

0

1

2

2

3

Os números reais, ao igual que acontece cos números racionais, teñen a propiedade
de densidade, é dicir, entre cada dous números reais distintos sempre se pode atopar
outro número real pero, a diferenza dos números racionais, os números reais non
deixan ocos na recta: a cada punto da recta correspóndelle un número real. Neste
sentido, dise que ℝ é completo.

3.1. Intervalos
Para describir conxuntos de números reais, resulta útil ás veces expresalos como
anacos ou segmentos da recta. A estes anacos chamáselles intervalos, cuxos
diferentes tipos son:
 Intervalo pechado [a, b] = {x ℝ : a ≤ x ≤ b}
A característica fundamental dun intervalo pechado é que están incluídos os
seus extremos, o cal se indica graficamente con puntos recheos.
Por exemplo, a representación gráfica do intervalo pechado [-1, 2] é:



Intervalo aberto (a, b) = {x ℝ : a < x < b}
A característica fundamental dun intervalo é que non están incluídos os
extremos, o cal se indica graficamente con puntos ocos.
Por exemplo, a representación gráfica do intervalo (1, 3) é:



Intervalo semiaberto (a, b] = {x ℝ : a < x ≤ b}
Por exemplo, a representación gráfica do intervalo (-1, 2] é:



Intervalo semiaberto [a, b) = {x ℝ : a ≤ x < b}
Por exemplo, a representación gráfica do intervalo [1, 3) é:

7

Incluso se poden considerar intervalos de lonxitude infinita:


Semirrecta aberta (a, + ) = {x



Semirrecta pechada [a, + ) = {x



Semirrecta aberta (– , b) = {x



Semirrecta pechada (– , b] = {x

ℝ : a < x}
ℝ : a ≤ x}
ℝ : x < b}
ℝ : x ≤ b}

é o símbolo que se utiliza para representar a idea de infinito e non é un número que
se atope na recta, por iso non se inclúe nos intervalos. A propia recta real pódese
expresar como o intervalo (– , + ).
Cando se quere nomear un conxunto de puntos formado por dous ou máis destes
intervalos, utilízase o signo (unión) entre eles.

3.2. Valor absoluto, distancias e ámbitos
O valor absoluto dun número real x é o maior entre x e –x e denótase |x|.
Por exemplo, |5| = 5 e |– 3| = 3.
Tamén se pode definir, dunha forma máis precisa,
| |

{

O que significa que cando o número é negativo, se cambia de signo, e cando é
positivo, se deixa tal e como está.
O valor absoluto verifica as seguintes propiedades:
Calquera que sexan os números reais a e b:




|a| ≥ 0
|a · b| = |a| · |b|
|a + b| ≤ |a| + |b|. Esta propiedade, que se chama desigualdade triangular,
expresa que o valor absoluto dunha suma é menor ou igual que a suma dos
valores absolutos.

Unha das utilidades do valor absoluto é para expresar a idea de distancia entre dous
números reais, a distancia entre os números reais a e b é a diferenza entre o maior e o
menor. Como non se sabe cal deles é maior, se se resta b – a poderíase obter un
número positivo ou negativo, pero as distancias han de ser sempre positivas, por esta
razón, defínese a distancia entre a e b como o número |b – a|.
Por exemplo, a distancia entre –3 e 5 é |5 – (–3)| = |8| = 8, ou ben, |–3 – 5| = |–8| = 8.
Chámase ámbito de centro o número a e radio r > 0 ao conxunto de números reais x,
tales que a distancia de x ao centro do ámbito a é menor que r. Simbolicamente:
E(a, r) = {x

ℝ : |x – a| < r}

Tamén se pode expresar directamente como o intervalo (a – r, a + r).
8