En esos experimentos, el porcentaje de niños
que no captaron el sentido del concepto
numérico fue reduciéndose continuamente con
la edad. Por ello, como la mayoría de los niños
avanzan de esta manera gradual, puede
suponerse una progresión del desarrollo en la
conceptualización
de
los
hallazgos
matemáticos¡ aunque haya niños que, en lo
individual, no caen en ninguna de estas
categorías.
La secuencia de desarrollo que Piaget
descubrió comienza cuando el niño no tiene ni
la menor noción de lo que significa un número
(aunque pueda contar), luego progresa a un
concepto del número que se confunde con la
apariencia, en cuestión de forma, color o
tamaño de artículos comparados, y alcanza un
punto, dos o tres años después, en que el
niño comprende que el número utilizado para
medir cantidad, longitud, espacio, volumen,
peso o lo que sea, seguirá siendo el mismo
por mucho que otras cosas cambien frente a
sus ojos. Cuatro son cuatro, seis son seis, y
once siguen siendo once, ya sea que se estén
midiendo cuentas, litros, minutos o agujeros.
El desarrollo de este tipo es indiscutiblemente
ayudado a fructificar a través de experiencias
apropiadas. Pero no se le puede forzar
mediante ejercicios, porque no es posible
ejercitarse a comprender. Simplemente se
puede entrenar para la repetición de
memoria; se puede ayudar a comprender a su
propio tiempo y modo tan sólo ofreciendo las
experiencias que transmitan la idea.
La comprensión del número es inicialmente
funcional y no verbal, que es el punto en que
algunos niños de seis y más niños de siete
años se encuentran. Esto significa que el niño
puede hacer cosas con números en toda una
gama de situaciones personales, pero aún no
puede explicar claramente en palabras lo que
hizo. Por ejemplo, puede percibir la diferencia
de tamaño de dos trozos de una barra de
caramelo, pero no explicar el significado de
igualdad. Su captación se ve circunscrita, al
principio, a experiencias familiares, como el
tamaño de las porciones divididas entre los
hermanos, la comparación del número de
regalos en día de fiesta, el número de
juguetes viejos contra el de nuevos, etc.
Desarrolla un marco general de conceptos
acerca de la distancia (lejos, cerca), longitud
(largo, corto), área (grande, pequeño), ritmo
en que los cuerpos se mueven (rápido, lento),
noción de distancias recorridas (kilómetros),
velocidad del tiempo (minutos), sucesión
(primero la cena, luego el helado), durabilidad
y simultaneidad. Al captar la falta de

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concreción y la permanencia de un concepto
tan abstracto como el número, el niño se
vuelve cada vez más capaz de manipular los
números y de reconocer las relaciones que
existen entre las partes y el todo, de una
unidad que él reconoce como tal. Es decir, en
el proceso mediante el cual comprende que
tres es un concepto que alude a la propiedad
de todos los conjuntos que contienen tres
elementos, sin que importe que se utilice en
peso (kilos), altura (centímetros), longitud
(metros), volumen (litros), cantidad (objetos),
no sólo reconoce que tres es tres no importa a
qué se aplique, sino que sigue siendo tres aún
si se transforma en uno más uno más uno; a
uno más dos, o a dos más uno.
De este modo, el niño aprende a conservar el
significado del número, pese a la seducción de
forma, tamaño o espacio. Puede manejarlo
como una unidad porque lo percibe en
armonía con las partes, captando una
auténtica relación parte-todo. En este
momento, ya puede identificar la relación
entre los números. Puede diferenciar entre los
cardinales (uno, dos, tres) y los ordinales
(primero, segundo, tercero), y comprender las
disposiciones seriales lo bastante bien para
saber que dos va antes de tres y después de
uno. Cada número conserva su propio
carácter mientras el niño aprende sus
variadas relaciones con otros números. Los
niños alcanzan esta habilidad operativa con
los números, por lo general entre las edades
de seis años y medio y ocho, empezando por
los números menores, que pueden captar con
más facilidad. Este momento probablemente
se sostenga, aun si han aprendido a contar
hasta números mayores que seis o siete.
La relación es en sí misma un concepto que
debe ser comprendido antes de que pueda ser
significativa dentro de una abstracción como
la de número. Sin embargo, los niños
aprenden acerca de relaciones mucho antes
de entrar a la escuela primaria, porque han
tenido experiencias con relaciones: de los
calcetines con los pies, del alimento con el
hambre y del dinero con los juguetes. En la
escuela se les puede pedir que formulen
representaciones pictóricas de las relaciones
vividas que pueden comprender; por ejemplo,
una imagen y luego una gráfica de los niños
que se quedan al almuerzo y los que no se
quedan; una gráfica que muestre cuántos
cumpleaños hay en cada mes; un dibujo de
todos los juguetes que hay en el dormitorio de
un niño y de todos los artículos que hay en la
bolsa de la madre; un dibujo de niños en
bicicleta, y de niños en trineo. El concepto de