relación
conduce
a
un
sentido
de
agrupamiento, que ya ha empezado con el
grupo básico que cada niño conoce mejor su
propia familia. y el sentido de relación y grupo
hace posible ordenar los objetos. Por medio
de muchos juegos y ejercicios se puede
efectuar la formación y ordenación de grupos
de artículos con características similares. Todo
esto se da en un nivel concreto, es decir, se
hace con cosas (o personas). El ordenamiento
se hace más complejo (y un poco menos
concreto) cuando se pide a los niños agrupar
todos los muñecos que sean niñas y que
necesiten su ropa lavada en una pila, y todos
los que son niños y necesiten ropa nueva, en
otra pila. Poco a poco surge la noción
matemática de conjunto -un agrupamiento
que
comparte
ciertas
características
(concretas o abstractas)-, y los niños pueden
concebir un grupo como unidad, pese a que
éste puede estar formado por varios objetos o
personas.
Las relaciones numéricas de correspondencia
continúan con una taza para cada niño, una
moneda para cada barra de caramelo, etc. La
correspondencia se extiende para incluir más
que la correspondencia uno a uno. "Cada uno
de nosotros tiene dos ojos, dos orejas, dos
piernas, dos pies, dos brazos y dos manos"
dice una gráfica. "Cada niño puede tener seis
lápices", dice la maestra, y con el tiempo
surgirá la comprensión de que cinco pennies
corresponden a un nickel, diez pennies a un
dime, y diez dimes a un dólar.*
Los niños ponen las cosas en orden: todos los
bloques largos van en el estante inferior,
todos los lápices van en las cajas vacías. Pero
el ordenamiento va más allá, para establecer
el lugar que ocupan los objetos según su
tamaño, para reproducir una línea de formas
en el mismo orden y luego en sentido inverso,
hasta poner imágenes en secuencia para que
narren un cuento.
El concepto de grupo y orden conducen al
concepto de inclusión: hay siete animales,
cuatro de los cuales son caballos y tres son
perros; hay veinte niños, pero sólo nueve son
varones. Estos conceptos matemáticos, que
nos permiten enfrentarnos a nuestro medio,
tienen que ser redescubiertos por cada
generación de niños. Y al hacer estos
descubrimientos en la etapa en que ya están
capacitados para comprender y asimilar su
*

Se refiere a monedas estadounidenses. Unpenny es
un centavo, un nickel corresponde a cinco centavos y
un dime a diez centavos de dólar.

significado,
les
es
posible
tratarlos
operativamente, es decir, con flexibilidad.
Por alguna razón, la suma se les facilita más a
los niños que la resta, tal vez porque ésta
incluye un tercer elemento, intruso, en la
operación matemática. Así, al sumar uno más
tres para formar cuatro, el tres permanece
estable. Pero si para llegar a cuatro restamos
uno de cinco, entonces el conocimiento de que
cinco es mayor que cuatro y que el cuatro
está antes que el cinco en orden serial debe
comprenderse antes de poder entender que la
ecuación de tres más uno es equivalente a
cinco menos uno. ¡Todo parece tan sencillo!
La habilidad mecánica para sumar y restar no
basta para captar el significado de división, la
multiplicación y las fracciones; y el dominio
mecánico, como, por ejemplo, el de las tablas
de multiplicar, sólo es valioso en la medida en
que los auxiliares mecánicos son verdaderos
instrumentos para avanzar en la comprensión
de los conceptos. La precisión al calcular llega
con bastante rapidez en cuanto hay un
verdadero entendimiento del número. Sin
embargo, la precisión humana de calcular, en
la época de las computadoras, no es tan
significativa como la comprensión de las leyes
y relaciones matemáticas que hacen funcionar
la computadora, poniendo orden en una
plétora de detalles de computación.
Los materiales para matemáticas en un aula
contemporánea para los primeros años de
escuela deben tener en cuenta la naturaleza
de la etapa de crecimiento de los niños, su
dependencia de las operaciones concretas, su
avance hacia la comprensión de la expresión
simbólica y la importancia de permitirles
descubrir por sí solos la verdad de la
concepción matemática.
Papel y lápiz no bastan para este tipo de
aprendizaje. Todo la contrario: el uso
prematuro de los símbolos sólo produce
confusión. Tomemos por ejemplo el símbolo
de igual (=), que muchos de nosotros
aprendimos a utilizar representando “lo
mismo que” e "igual a", es decir, uno más uno
son lo mismo que uno y uno igual a dos.
Cuando dijimos que uno y uno son iguales eso
puede ser o no cierto: una yarda no es igual a
un pie, un niño no es lo mismo que una niña,
y un ratón más un hámster no suman dos
ratones. Así, vemos que el primer aprendizaje
importante no es el de los símbolos de
números y operaciones, sino el entendimiento
de los conceptos que representan. Cuando
éstos son claros, y los niños demuestran ser

87