Tema 1. E.D.O. de primer orden. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.

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para alguna función ψ(y) que únicamente dependa de la variable y. Así todo consistirá en encontrar una
ψ(y) tal que se cumpla también la condición
∂F (x, y)
= N (x, y)
∂y
lo cual supone que
∂
∂y

µZ

¶
M (x, y) dx + ψ 0 (y) = N (x, y)

Luego debe ser
ψ 0 (y) = N (x, y) −

∂
∂y

µZ

¶
M (x, y) dx

(9)

y para comprobar que efectivamente existe esa ψ(y) sólo habrá que justificar que el segundo miembro de
(9) es una función únicamente de y, ya que así ψ(y) se obtendrá de (9) por simple integración.
Por otra parte, si comprobamos que
µ
µZ
¶¶
∂
∂
N (x, y) −
M (x, y)dx
=0
∂x
∂y
entonces estará claro que el segundo miembro de (9) es efectivamente una función sólo de la variable y.
Calculemos ahora dicha derivada parcial, teniendo presente que se verifica (8)
µ
µZ
¶¶
Z
∂
∂
∂N (x, y)
∂2
N (x, y) −
M (x, y)dx
=
−
M (x, y)dx
∂x
∂y
∂x
∂x∂y
Z
∂2
∂N (x, y)
−
M (x, y)dx
=
∂x
∂y∂x
∂N (x, y)
∂
=
−
M (x, y) = 0
∂x
∂y
Así, queda probado que la ecuación diferencial es exacta.

2

Ejemplo 3.3 La ecuación diferencial y 3 dx + 3xy 2 dy = 0 es exacta, pues siendo
M (x, y) = y 3 ,

N (x, y) = 3xy 2

se verifica
∂M (x, y)
∂N (x, y)
=
= 3y 2 .
∂y
∂x
Para resolverla utilizaremos la idea de la demostración del teorema anterior: Buscamos una función
F (x, y) tal que
∂F (x, y)
= y3
∂x
La condición

y

∂F (x, y)
= 3xy 2
∂y

∂F (x, y)
= y 3 la verifica la función
∂x
Z
F (x, y) = y 3 dx + ψ(y) = y 3 x + ψ(y)