Tema 1. E.D.O. de primer orden. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.

11

Para ello debe ocurrir que
∂
∂
[µ (x) M (x, y)] =
[µ (x) N (x, y)]
∂y
∂x
lo cual significa que se verifique:
∙
¸
∙
¸
∂M
∂M
∂N
1 ∂M
∂N
1 0
∂N
0
0
µ
=µN +µ
=⇒µ N = µ
−
=⇒
µ =
−
∂y
∂x
∂y
∂x
µ(x)
N ∂y
∂x
∙
¸
∂N
1 ∂M
−
sea sólo una función de x, será cuando exista un factor integrante de
Por lo que cuando
N ∂y
∂x
ese tipo.
2

3.4

Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

Definición 3.4 Se llama ecuación diferencial lineal de primer orden a toda ecuación de la forma
a(x)y 0 + b(x)y = c(x)

(10)

donde a(x), b(x) y c(x) son funciones únicamente de la variable x.
Para las ecuaciones lineales de primer orden expresadas en su forma normal:
y 0 + p(x)y = q(x)

(11)

se cuenta con el siguiente teorema de existencia y unicidad de soluciones de un problema de valor inicial
(caso particular del Teorema de Picard).
Teorema 3.2 Si p(x) y q(x) son funciones continuas en algún intervalo (a, b) que contiene al punto x0 ,
entonces para cualquier y0 ∈ R existe una única solución del problema de valor inicial:
½ 0
y + p (x) y = q (x)
y (x0 ) = y0
Veremos a continuación dos métodos para resolver las ecuaciones lineales de la forma (11), que verifican
las hipótesis del teorema anterior.
• PRIMER MÉTODO: Mediante factores integrantes
Las ecuaciones lineales siempre poseen un factor integrante del tipo µ = µ(x), y por tanto, se pueden
integrar utilizando este hecho.
En efecto, escribiendo la ecuación diferencial lineal (11) en la forma:
[p(x)y − q(x)]dx + dy = 0
y llamando M (x, y) = [p(x)y − q(x)],

N (x, y) = 1 se tiene que
∙
¸
1 ∂M
∂N
−
= p (x)
N ∂y
∂x

es únicamente función de x y, utilizando un resultado anterior, podemos asegurar que la ecuación posee
un factor integrante que sólo es función de x.
Por otra parte, se puede comprobar que un factor integrante de la ecuación (11) es:
µ(x) = e

R

p(x)dx