Tema 1. E.D.O. de primer orden. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.

4

13

Métodos numéricos para E.D.O. de primer orden

A menudo, existen problemas prácticos que conducen a ecuaciones diferenciales que no pueden resolverse
mediante los procedimientos expuestos anteriormente o también a ecuaciones cuyas soluciones vienen
expresadas en términos tan complicados que, con frecuencia, es preferible obtener una tabla de valores
aproximados de la solución en los puntos de un determinado intervalo.
Si suponemos que existe una solución de una ecuación diferencial dada, entonces aquélla representa
un lugar geométrico (curva) en el plano. En esta sección estudiaremos procedimientos numéricos que
utilizan la ecuación diferencial para obtener una sucesión de puntos cuyas coordenadas aproximan las
coordenadas de los puntos de la curva que efectivamente es la solución.
Dado un problema de valor inicial
½ 0
y = f (x, y)
y(x0 ) = y0
se trata de obtener aproximadamente los valores de la solución, si existe, en un conjunto de puntos del
intervalo [a, b] que interese, entre los cuales ha de estar el punto x = x0 . Para ello, se fija un h > 0 y se
obtiene un conjunto de puntos {x0 , x1 , ..., xn } ⊂ [a, b], de la forma
x1 = x0 + h,

x2 = x0 + 2h,

x3 = x0 + 3h,

··· ,

xn = x0 + nh

para los que se calcularán los valores aproximados de la solución y1 , y2 , . . . , yn de la ecuación diferencial,
con la condición y(x0 ) = y0 . A la longitud h de cada subintervalo [xi , xi+1 ] se le llama paso.
Una forma general de efectuar el cálculo de los valores aproximados de la solución en cada paso es
mediante el uso de polinomios de Taylor
y (x + h) ≈ y (x) + hy 0 (x) +

h2 00
hk k)
y (x) + · · · +
y (x)
2!
k!

(14)

teniendo en cuenta que si el valor de h es pequeño, las potencias más altas h2 , h3 , . . . son muy pequeñas.
Veamos algunos casos particulares.

4.1

Método de Euler

El método de Euler o método de las tangentes es una de las técnicas más simples. Consiste en considerar
la aproximación
y (x + h) ≈ y (x) + hy 0 (x) = y (x) + hf (x, y)
(en donde el miembro derecho se obtiene a partir de la ecuación diferencial dada) y el siguiente proceso
de iteración. En el primer paso se calcula
y1 = y0 + hf (x0 , y0 )
que se aproxima a y (x1 ) = y (x0 + h). En el segundo paso se calcula
y2 = y1 + hf (x1 , y1 )
que se aproxima a y (x2 ) = y (x0 + 2h) . Así sucesivamente, se calcula
yn = yn−1 + hf (xn−1 , yn−1 ) ,
que se aproxima a y (xn ) y, de esta forma, obtenemos una tabla de valores aproximados de la solución.
A continuación veremos un ejemplo del método de Euler.