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Tema 1. E.D.O. de primer orden. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.

• SEGUNDO MÉTODO: Por variación de la constante
Este método se basa en el hecho de que todas las soluciones de la ecuación lineal y 0 + p(x)y = q(x) se
pueden expresar como suma de la solución de la ecuación
y 0 + p(x)y = 0 (que se denomina ecuación incompleta u homogénea)
y una solución particular de la ecuación completa y 0 + p(x)y = q(x).
La solución general de la ecuación homogénea y 0 + p(x)y = 0 se puede obtener fácilmente, teniendo
en cuenta que es una ecuación de variables separables:
Z
dy
0
y + p(x)y = 0 =⇒
= −p(x)dx =⇒ ln |y| = −p(x)dx + c1
y
R

=⇒ y = Ce

−p(x)dx

con C ∈ R

(solución general)

ya que hay que considerar la solución y = 0 que se descartó en los pasos de resolución.
Para obtener una solución particular de la ecuación completa se puede utilizar el que se denomina
método de variación de la constante, y que se basa en que siempre existe, como comprobaremos, una
función C(x) tal que
y = C(x)e

R

−p(x)dx

(12)

es una solución de la ecuación completa. Así, una vez determinada C(x) se tendrá una solución particular
de la ecuación completa. (Obsérvese que el nombre del método se debe a que la expresión (12) se obtiene
de la solución general de la ecuación incompleta, considerando la constante ahora como una función).
Escribamos, para simplificar, la expresión (12) en la forma
y = C(x)η(x)

(13)

y comprobemos que la ecuación completa tiene una solución de este tipo.
La función y = C(x)η(x) es solución de (11) cuando:
[C 0 (x)η(x) + C(x)η 0 (x)] + p(x)C(x)η(x) = q(x)
si, y sólo si,
C 0 (x)η(x) + C(x) [η 0 (x) + p (x) η(x)] = q(x)
y como η(x) es solución de la ecuación incompleta
C 0 (x)η(x) = q(x)
Ahora, como η(x) = e

R

−p(x)dx

no se anula nunca, entonces integrando conseguimos que una C(x) es
Z R
C(x) = e p(x)dx q(x)dx.

Y, por tanto,
R

y=e

−p(x)dx

Z

R

e

p(x)dx

q(x)dx

es una solución particular de la completa.
Entonces, la solución general de la ecuación se puede expresar en la forma:
Z R
R
R
y = Ce −p(x)dx + e −p(x)dx e p(x)dx q(x)dx.