Tema 1. E.D.O. de primer orden. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.

14

Ejemplo 4.1 Usaremos el método de Euler para obtener el valor aproximado de y (0.5) para la solución
del problema de valor inicial
y 0 = (x + y − 1)2
y (0) = 2
Si tomamos h = 0.1, se obtiene
y1 = y0 + 0.1 (x0 + y0 − 1)2 = 2 + (0.1) 1 = 2.1
lo cual es una estimación de y (0.1) . Si calculamos ahora
y2 = y1 + 0.1 (x1 + y1 − 1)2 = 2.2440
que es una estimación de y (0.2) .
En las tablas siguientes se muestran los demás valores para h = 0.1 así como todos los cálculos para
h = 0.05.

Método de Euler con h = 0.1
xn
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50

Método de Euler con h = 0.05

yn
2.0000
2.1000
2.2440
2.4525
2.7596
3.2261

xn
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50

yn
2.0000
2.0500
2.1105
2.1838
2.2727
2.3812
2.5142
2.6788
2.8845
3.1451
3.4823

El método de Euler no es lo suficientemente exacto para justificar su uso en la práctica. Se trata de
un método de primer orden ya que sólo se consideran en la aproximación los términos constantes y el
término que contiene a la primera potencia de h. La omisión de los demás términos produce un error
denominado error de truncamiento del método.
Como el proceso es iterativo y el valor aproximado yi se basa en el anterior yi−1 , al error cometido en
un paso se le llama error de truncamiento por paso o error de truncamiento local que en el método
de Euler sería del orden de h2 . Estos errores locales se van acumulando a medida que se opera en los
subintervalos sucesivos, generando el error de truncamiento global. Además, existen también los errores
de redondeo que afectan a la exactitud de los valores que se van obteniendo.

4.2

Método de Euler mejorado

Si se consideran polinomios de Taylor de mayor orden en (14), se obtienen métodos numéricos de mayor
precisión. Pero existe un problema práctico. Si se sustituye y 0 = f (x, y) en (14), se obtiene
y (x + h) ≈ y (x) + hf (x, y) +

h2 0
h3
hk k)
f (x, y) + f 00 (x, y) + · · · +
f (x, y)
2!
3!
k!

en donde, como y en f depende de x
f 0 = fx + fy y 0 = fx + fy f