Tema 1. E.D.O. de primer orden. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.

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surge el principal inconveniente que es la necesidad de calcular en cada paso las derivadas parciales de la
función f (x, y). Ahora la estrategia general es evitar el cálculo de tales derivadas y sustituirlas calculando
f para uno o varios valores auxiliares de (x, y) elegidos adecuadamente con el fin de obtener una gran
exactitud. A continuación se analizan dos de tales métodos que tienen gran importancia práctica.
El primer método se denomina método de Euler mejorado o método de Heun. En cada paso
de este método primero se calcula el valor auxiliar
∗
yn+1
= yn + hf (xn , yn )

(15)

y luego se calcula el nuevo valor
¡
¢¤
1 £
∗
.
yn+1 = yn + h f (xn , yn ) + f xn+1 , yn+1
2

(16)

El método de Euler mejorado es un método predictor-corrector, porque en cada paso primero se
predice un valor mediante (15) y luego se corrige mediante (16). Es un método de segundo orden porque
el error por truncamiento por paso es de orden h3 .
Ejemplo 4.2 Usaremos el método de Euler mejorado para obtener el valor aproximado de y (0.5) para
la solución del problema de valor inicial del ejemplo anterior
2

y 0 = (x + y − 1)
y (0) = 2
Para h = 0.1, se obtiene

y1∗ = y0 + 0.1 (x0 + y0 − 1)2 = 2.1
y, por tanto,
y1

(x0 + y0 − 1)2 + (x1 + y1∗ − 1)2
2
1 + 1.44
= 2 + (0.1)
= 2.122
2
= y0 + (0.1)

lo cual es ahora una estimación de y (0.1) .
En las tablas siguientes se muestran los demás valores para h = 0.1 así como todos los cálculos para
h = 0.05.

Método de Euler mejorado
con h = 0.1
xn
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50

yn
2.0000
2.1220
2.3049
2.5858
3.0378
3.8254

Método de Euler mejorado
con h = 0.05
xn
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50

yn
2.0000
2.0553
2.1228
2.2056
2.3075
2.4342
2.5931
2.7953
3.0574
3.4057
3.8840