Tema 1. E.D.O. de primer orden. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.

4.3

16

Método de Runge-Kutta

Un método aún más exacto que el anterior es el método de Runge-Kutta de cuarto orden (hay métodos de Runge-Kutta de varios órdenes). Este método calcula en cada paso cuatro cantidades auxiliares
y luego se calcula el nuevo valor
yn+1 = yn + ak1 + bk2 + ck3 + dk4
Estas constantes k1 , k2 , k3 , k4 se calculan de manera que el desarrollo anterior coincida con el polinomio
de Taylor de cuarto orden. Como la deducción del método es bastante tediosa, solo damos los resultados:
k1 = hf (x
¡ n , yn )
¢
k2 = hf ¡xn + 12 h, yn + 12 k1 ¢
k3 = hf xn + 12 h, yn + 12 k2
k4 = hf (xn + h, yn + k3 )
xn+1 = xn + h
yn+1 = yn + 16 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 )
Se puede demostrar que el error por truncamiento por paso es del orden de h5 y el método es, en
consecuencia, de cuarto orden.
Ejemplo 4.3 Si usamos el método de Runge-Kutta de cuarto orden para obtener el valor aproximado de
y (0.5) para la solución del problema de valor inicial de los ejemplos anteriores obtenemos las siguientes
tablas donde podemos comparar los valores aproximados que se obtienen con los valores reales

Método de Runge-Kutta
con h = 0.1
xn
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50

yn
2.0000
2.1230
2.3085
2.5958
3.0649
3.9078

Valor real
2.0000
2.1230
2.3085
2.5058
3.0650
3.9082

Método de Runge-Kutta
con h = 0.05
xn
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50

yn
2.0000
2.0554
2.1230
2.2061
2.3085
2.4358
2.5958
2.7998
3.0650
3.4189
3.9082

Valor real
2.0000
2.0554
2.1230
2.2061
2.3085
2.4358
2.5958
2.7997
3.0650
3.4189
3.9082