Tema 1. E.D.O. de primer orden. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.

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siendo ψ(y) una función únicamente de la variable y. Determinaremos dicha función imponiendo que
∂F (x, y)
verifique la condición
= 3xy 2 .
∂y
∂F (x, y)
= 3xy 2 ⇐⇒ 3y 2 x + ψ 0 (y) = 3xy 2 ⇐⇒ ψ 0 (y) = 0
∂y
Por tanto, si tomamos la función ψ(y) = 0, tenemos que una función F (x, y) en las condiciones exigidas
es
F (x, y) = y 3 x
y de ahí que la solución general de la ecuación diferencial dada es:
y3x = C
Hemos comprobado que la ecuación y 3 dx+3xy 2 dy = 0 es exacta. Si ahora dividimos ambos miembros
por y 2 , la ecuación resultante es:
ydx + 3xdy = 0
Esta nueva ecuación, que tiene las mismas soluciones que la anterior, se puede comprobar que no es
exacta; sin embargo, para resolverla bastaría con multiplicarla por y 2 y resolver la ecuación exacta que
se obtiene. Este hecho nos sugiere que determinadas ecuaciones que no son exactas se pueden resolver
como tales cuando previamente se las multiplica por un cierto factor µ = µ(x, y). Dicho factor recibe el
nombre de factor integrante.
Definición 3.3 La función µ = µ(x, y) es un factor integrante de la ecuación diferencial
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
cuando la ecuación
µ(x, y)M (x, y)dx + µ(x, y)N (x, y)dy = 0
es exacta.
Hallar los factores integrantes puede ser un problema difícil. Sin embargo, hay dos clases de ecuaciones diferenciales cuyos factores integrantes son sencillos: aquellas que poseen factores integrantes que
dependen bien de x solamente o bien de y solamente. Es fácil probar lo siguiente:
∙
¸
1 ∂M
∂N
1. Si
−
= h(x) es una función de x solamente, entonces la ecuación posee un factor
N ∂y
∂x
integrante de la forma µ (x) .
∙
¸
1 ∂N
∂M
2. Si
−
= k(y) es una función de y solamente, entonces la ecuación posee un factor
M ∂x
∂y
integrante de la forma µ (y) .
Probaremos la primera afirmación, siendo la prueba de la segunda análoga.
Demostración de 1:
La ecuación no exacta M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 admite un factor integrante µ = µ(x) cuando
µ(x)M (x, y)dx + µ(x)N (x, y)dy = 0 sea exacta para alguna µ(x).