Tema 1. E.D.O. de primer orden. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.

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Si ahora partimos de la ecuación diferencial
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
siendo
M (x, y) =

∂F (x, y)
,
∂x

N (x, y) =

∂F (x, y)
,
∂y

para alguna función F (x, y),

podremos decir que F (x, y) = C es su solución general. Este tipo de ecuaciones diferenciales se denominan
ecuaciones diferenciales exactas. Así pues, cuando una ecuación diferencial es exacta, para obtener su
solución general bastará encontrar la función F (x, y).
El siguiente teorema nos permite identificar fácilmente ecuaciones diferenciales que son exactas.
Teorema 3.1 (CRITERIO DE EXACTITUD)
Si las funciones M (x, y) y N (x, y) son continuas y tienen derivadas parciales de primer orden continuas en un rectángulo R
R = {(x, y) : a < x < b,

c < y < d},

entonces la ecuación diferencial
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0

(7)

es una ecuación exacta en R si, y sólo si,
∂M (x, y)
∂N (x, y)
=
∂y
∂x

para todo (x, y) ∈ R.

(8)

Demostración:⇒) Supongamos que la ecuación (7) es exacta en R. Esto significa que existe una función F (x, y) tal que,
∀(x, y) de R, verifica
∂F (x, y)
= M (x, y)
∂x

y

∂F (x, y)
= N (x, y)
∂y

Así, al ser M y N funciones con derivadas parciales de primer orden continuas, podemos afirmar que las
derivadas de segundo orden de F son continuas, y el teorema de Schwartz nos afirma que las derivadas
cruzadas de segundo orden de F coinciden, es decir:
∂M (x, y)
∂N (x, y)
=
∂y
∂x
⇐) Supongamos ahora que se verifica (8) , y queremos comprobar que (7) es exacta. Para ello debemos
encontrar una F (x, y) tal que
∂F (x, y)
= M (x, y) y
∂x
Por tenerse que verificar

∂F (x, y)
= N (x, y)
∂y

∂F (x, y)
= M (x, y), entonces F (x, y) tiene que ser de la forma
∂x
F (x, y) =

Z

M (x, y)dx + ψ(y)