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Tema 1. E.D.O. de primer orden. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.
6
Así se obtendrá
1
1
− ln |y + 2| + ln |y − 2| = x + c1 =⇒ − ln |y + 2| + ln |y − 2| = 4x + 4c1 =⇒
4
4
¯
¯
¯
¯
¯y − 2¯
¯y − 2¯
¯
¯ = e4x+c2 = c3 e4x =⇒ y − 2 = ce4x ,
¯
¯
= 4x + c2 =⇒ ¯
ln ¯
y + 2¯
y + 2¯
y+2
con c ∈ R∗ .
Finalmente, despejando
y=2
1 + ce4x
1 − ce4x
Obsérvese que si ahora buscásemos la única solución tal que y(0) = −2, al sustituir x = 0, y = −2, en
la expresión anterior, llegaríamos al absurdo −1 = 1. Esto nos indica que hemos perdido en el proceso
de resolución la solución de este problema de valor inicial. Pero, si repasamos los cálculos, se observa
que se dividió por y 2 − 4. Así, se consideró que y 6= 2, y 6= −2. Luego en caso de ser y = 2 o bien
y = −2 soluciones de la ecuación diferencial, las podríamos haber eliminado. Es fácil comprobar que,
en este caso, tanto y = 2 como y = −2 son soluciones de la ecuación diferencial. La solución y = 2 se
1 + ce4x
para el valor c = 0 del parámetro, pero y = −2 no
puede obtener de la solución general y = 2
1 − ce4x
forma parte de dicha familia uniparamétrica. Sin embargo, es precisamente la solución y = −2 la que es
la solución del problema de valor inicial planteado.
3.2
Ecuaciones diferenciales homogéneas
Algunas ecuaciones diferenciales que no son separables se convierten en separables tras un cambio de
variable. Este es el caso de las ecuaciones diferenciales de la forma y 0 = f (x, y), siempre que f sea una
función homogénea.
Definición 3.1 Una función f (x, y) se dice que es homogénea de grado n cuando verifica:
f (tx, ty) = tn f (x, y)
para todos los puntos de un cierto conjunto.
Es fácil comprobar que toda función polinómica en las variables x, y, tal que todos sus sumandos son
monomios de grado total n, es una función homogénea de grado n. Por ejemplo:
f (x, y) = x5 + 7x4 y + x2 y 3
f (x, y) = x
es homogénea de grado 5
es homogénea de grado 1
También son funciones homogéneas las siguientes:
f (x, y) = x3 ex/y + y 2 x
f (x, y) = x4 cos(x2 /y 2 ) − y 4 sen(y/x)
es homogénea de grado 3
es homogénea de grado 4
Es inmediato observar que el cociente de dos funciones homogéneas del mismo grado es una función
homogénea de grado cero. Además, se verifica que toda función homogénea de grado cero f (x, y) se
puede expresar de las siguientes formas:
f (x, y) = f (1, y/x) = f (x/y, 1)