Tema 1. E.D.O. de primer orden. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.

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2. El problema de valor inicial
y 0 = 2x,

y(0) = 1

tiene una única solución que es y = x2 + 1.
3. El problema de valor inicial
xy 0 = y − 1,

y(0) = 1

tiene como soluciones y = 1 + cx donde c es una constante arbitraria.
Centrándonos ya en las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, veremos que el
siguiente teorema nos muestra condiciones suficientes, pero no necesarias, para que el problema de valor
inicial dado por
½ 0
y = f (x, y)
y (x0 ) = y0
(condición inicial)
tenga una única solución definida al menos en un intervalo que contiene al punto x0 .

Teorema 2.1 (Teorema de Picard) Si f (x, y) y

∂f
(x, y) son funciones continuas en un rectángulo
∂y

R
R = {(x, y) : a ≤ x ≤ b,

c ≤ y ≤ d},

entonces para cada punto (x0 , y0 ) interior de R existe una única solución del problema de valor inicial
½ 0
y = f (x, y)
y (x0 ) = y0
definida al menos en un intervalo que contiene al punto x0 .
Obsérvese que si la función f de la ecuación y 0 = f (x, y) verifica las hipótesis del teorema anterior,
entonces podemos garantizar que dicha ecuación posee infinitas soluciones, aunque sólo habrá una solución
que describa una curva en el plano que pase por el punto (x0 , y0 ).
Por otra parte, se deberá tener presente desde ahora que aunque se tenga la certeza de que una ecuación
diferencial tiene soluciones, generalmente la ecuación sólo se podrá resolver por métodos aproximados.
Esto significa que sólo podremos obtener “aproximaciones” de sus soluciones.

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Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

A continuación estudiaremos algunos tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden para las que se
cuenta con métodos de resolución, y que aparecen frecuentemente en las aplicaciones.