Tema 1. E.D.O. de primer orden. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.

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1. Se puede comprobar que y = ln x es una solución de la ecuación xy 00 + y 0 = 0 en el intervalo (0, ∞).
2. Se puede comprobar que y = 1/(x2 − 1) es una solución de y 0 + 2xy 2 = 0 en el intervalo (−1, 1),
pero no en ningún otro intervalo mayor que contenga a éste.
3. Se puede probar que toda solución de la ecuación y 0 + 2y = 0 es de la forma y = Ce−2x .
A partir de ahora nos centraremos fundamentalmente en dos cuestiones:
• ¿qué ecuaciones diferenciales tienen solución?
• ¿cómo obtener las soluciones?
Los siguientes ejemplos nos muestran distintas situaciones:
— Hay E.D.O. que carecen de soluciones. Así, por ejemplo, carece de soluciones de valor real la
ecuación
µ ¶2
dy
+1=0
dx
— Hay E.D.O. que tienen una única solución. Esto le sucede, por ejemplo, a la ecuación
µ

dy
dx

¶2

+ y2 = 0

que sólo tiene la solución y = 0.
— Hay ecuaciones diferenciales que poseen infinitas soluciones. Así ocurre en los dos siguientes casos:
De la ecuación y 00 − 5y 0 + 6y = 0 son soluciones todas las funciones que se pueden expresar de
la forma y = c1 e2x + c2 e3x , siendo c1 y c2 constantes cualesquiera.
De la ecuación (y 0 )2 −xy 0 +y = 0 son soluciones todas las funciones y = cx−c2 con c constante,
x2
y también lo es y =
.
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Las ecuaciones diferenciales que vamos a estudiar poseen por lo general infinitas soluciones, y muchas
de estas soluciones se pueden escribir mediante una única expresión. Suele ocurrir que muchas de las
soluciones de una ecuación diferencial de orden n se puedan dar mediante una expresión del tipo
G(x, y, c1 , c2 , . . . , cn ) = 0

(*)

que incluye n parámetros c1 , c2 , . . . , cn . En dicho caso, la familia n-paramétrica de funciones que define
(∗) y que, geométricamente, representa una familia de curvas, la denominaremos solución general de la
ecuación diferencial. Así, por ejemplo, para la ecuación
(y 0 )2 − xy 0 + y = 0
la familia uniparamétrica y = cx − c2 es lo que hemos denominado solución general, aunque dicha
expresión no abarque la solución y = x2 /4 .
Llamaremos solución particular de una ecuación diferencial a cada una de las soluciones que forman
parte de su solución general, y que se obtendrán dando valores particulares a los parámetros que contiene la
solución general. Las soluciones, si las hay, que no están incluidas en la solución general las denominaremos
soluciones singulares.