Tema 1. E.D.O. de primer orden. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.

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Problemas de valor inicial. Teorema de existencia y unicidad
de soluciones.

A continuación vamos a estudiar una ecuación diferencial surgida de un problema físico concreto.
Si se lanza un objeto hacia arriba y se ignora el efecto del aire (es decir, se supone que no hay
rozamiento ni corrientes de aire que puedan ejercer alguna influencia en la marcha del objeto), la única
fuerza que actúa sobre él es la gravitatoria. Por ello, si es a la aceleración del objeto y m su masa, la
segunda ley de Newton se puede escribir así:
ma = −mg ⇐⇒ a = −g
dv
Ahora, llamando v a la velocidad del objeto, la igualdad anterior puede escribirse en la forma
= −g.
dt
Así pues, resolviendo esta ecuación diferencial determinaremos la velocidad del objeto en cada instante.
Por simple inspección, se ve que la ecuación tiene infinitas soluciones, y se tiene
v(t) = −gt + k
Hemos obtenido la solución general de la ecuación diferencial, y en ella el parámetro k aparece como
consecuencia de la integración. Si hacemos t = 0, se obtiene v(0) = k, así que el parámetro k se puede
interpretar como la velocidad con que se lanza el objeto.
Obsérvese que aunque el fenómeno está descrito por la segunda ley de Newton, y en ella no figura
para nada la velocidad inicial, en un problema real, al imprimir al objeto una velocidad inicial v(0) dada,
estamos eligiendo de entre todas las soluciones de la ecuación diferencial, precisamente aquélla para la
que el valor del parámetro k coincide con v(0).
Por ello, en todo problema real, a la ecuación diferencial que lo modeliza habrá que añadir unas condiciones
complementarias que determinen concretamente el fenómeno que se estudia.
Una ecuación diferencial junto con condiciones complementarias de la función desconocida y sus
derivadas, todas dadas para el mismo valor de la variable independiente, constituye lo que llamaremos
un problema de valor inicial. En concreto, para una ecuación diferencial de orden n, que en su forma
más general se puede escribir
F (x, y, y 0 , . . . , y n) ) = 0,
un problema de valor inicial es considerar, junto con dicha ecuación, n condiciones complementarias del
tipo:
y(x0 ) = y0 ,

y 0 (x0 ) = y1 , . . . .,

yn−1) (x0 ) = yn−1

Las condiciones complementarias se denominan condiciones iniciales. El término “condiciones iniciales”
proviene de que, con frecuencia, en problemas donde interviene el tiempo, se conoce el valor de la variable
dependiente o de alguna de sus derivadas en el instante inicial t = 0.
Una solución de un problema de valor inicial es una función que satisface tanto la ecuación diferencial
como todas las condiciones complementarias.
Los siguientes ejemplos muestran varios problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales de
primer orden:
1. El problema de valor inicial
| y 0 | + | y |= 0,

y(0) = 1

no tiene solución pues la única solución de la ecuación diferencial es y = 0, y ésta no verifica la
condición inicial.