Tema 1. E.D.O. de primer orden. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.

3.1

5

Ecuaciones de variables separables

En primer lugar, observemos que una E.D.O. de primer orden que es fácil resolver es
y 0 = f (x)

(1)

donde f es una función integrable. Para resolverla basta integrar ambos miembros con respecto a x y así
se obtiene
Z
y = f (x)dx + c
(2)
De modo que su solución general viene dada por (2) , y en ella se recogen todas las soluciones de la
ecuación (1).
Más generalmente, toda ecuación de primer orden y 0 = f (x, y) en la que y 0 pueda expresarse como
producto de dos funciones, una que depende sólo de la variable x, y otra que depende sólo de la variable
y, esto es, de la forma
y0 =

g(x)
h(y)

(3)

se llama ecuación de variables separables.
Para resolver (3) se multiplican ambos miembros por h(y) para obtener
h(y)

dy
= g(x)
dx

(4)

Ahora se observa que si y = f (x) es una solución de (4), al tener que verificar dicha ecuación, entonces
cumple
h(f (x))f 0 (x) = g(x)
por lo que al integrar se obtendrá
Z

0

h(f (x))f (x)dx =

Z

g(x)dx + c

Pero como dy = f 0 (x)dx, entonces (5) se puede escribir así:
Z
Z
h(y)dy = g(x)dx + c

(5)

(6)

De modo que (6) constituye una familia uniparamétrica de soluciones, que generalmente vienen expresadas
de forma implícita.
El razonamiento anterior nos sugiere un método para resolver la ecuación (3):
De la ecuación (3) pasamos a h(y)dy = g(x)dx y finalmente integraremos ambos miembros para obtener
la solución general de la ecuación dada.
NOTA.- Las ecuaciones y 0 = g(x)h(y),

y0 =

h(y)
también son de variables separables y se resuelven
g(x)

de forma similar.
Ejemplo 3.1 Resolvamos la ecuación de variables separables y 0 = y 2 − 4.
1
dy = dx. A continuación integramos ambos miembros,
Escribimos la ecuación en la forma 2
y −4
para lo cual utilizaremos
1
−1/4
1/4
=
+
y2 − 4
y+2 y−2