Tema 1. E.D.O. de primer orden. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.

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Definición 3.2 Se dice que la E.D.O. de primer orden M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 es homogénea cuando
M (x, y) y N (x, y) son funciones homogéneas del mismo grado.
A la vista de la definición, podemos decir que toda ecuación homogénea se puede escribir de la forma
y 0 = f (x, y) donde f (x, y) es homogénea de grado cero.
Veremos a continuación que toda ecuación homogénea y 0 = f (x, y) se puede resolver realizando un
cambio de variable. Si llamamos z = y/x se tiene:
y 0 = z 0 x + z,
luego la ecuación diferencial se puede escribir en la forma:
z 0 x + z = f (x, y)
y al ser f homogénea de grado cero, como f (x, y) = f (1, y/x), entonces escribimos la ecuación diferencial
en la forma
z 0 x + z = f (1, z)
Esta última ecuación es de variables separables, por lo que resolviéndola se obtendrá la expresión de las
funciones z de x que la verifican. Después, sustituyendo en dicha expresión la z por y/x, tendremos
finalmente la expresión de las soluciones de la ecuación homogénea dada.
Ejemplo 3.2 Resolvamos la ecuación homogénea
y0 =

y + 2xe−y/x
x

En primer lugar, expresaremos el segundo miembro como función de y/x.
y0 =

y
+ 2e−y/x
x

Ahora, realizamos el cambio de variables z = y/x, con lo que al ser y 0 = xz 0 + z, la ecuación queda de la
forma
xz 0 + z = z + 2e−z
Esta ecuación es de variables separables, y la integraremos como tal:
Z
Z
2
2
xz 0 + z = z + 2e−z =⇒ xz 0 = 2e−z =⇒ ez z 0 = =⇒ ez dz =
dx + C
x
x
=⇒ ez = 2 ln |x| + C =⇒ ez = ln x2 + C
Ahora, finalmente, se deshace el cambio de variable y tenemos:
ey/x = ln x2 + C

3.3

Ecuaciones exactas. Factores integrantes

Si la expresión F (x, y) = C describe una familia uniparamétrica de funciones y de x, entonces derivando
con respecto a x obtendremos una ecuación diferencial de la que dicha expresión es la solución general.
La ecuación diferencial es:
∂F (x, y) ∂F (x, y) 0
∂F (x, y)
∂F (x, y)
+
y = 0 ⇐⇒
dx +
dy = 0
∂x
∂y
∂x
∂y