Los triples productos aparecen cuando se desea definir multiplicaciones entre
tres vectores. Una expresión de la forma ⃑⃗
⃗
⃑⃑⃗ no tiene mucho sentido
porque el resultado del primer producto es un escalar.
⃑⃗ ⃗ ⃑⃑⃗

⃑⃑⃗

Y no es posible calcular el producto punto entre un número (escalar) y
un vector. Sin embargo, cuando los vectores son elementos de
, podemos
combinar el producto punto con el producto cruz para definir una nueva
operación entre tres vectores que se denomina triple producto escalar pues el
resultado será una cantidad escalar. Es importante indicar escalar para
diferenciarlo del triple producto vectorial que se obtiene al multiplicar tres
vectores usando únicamente el producto cruz y cuyo resultado es, por tanto un
vector.
El triple producto escalar de los vectores ⃑⃗ ⃗ ⃑⃑⃗ se denota por | ⃑⃗ ⃗ ⃑⃑⃗| y
está definido como:
⌊ ⃑⃗ ⃗ ⃑⃑⃗⌋

⃗

⃑⃑⃗

Cálculo del triple producto escalar
Para hallar una fórmula que permita calcular el valor del triple producto
escalar a partir de las coordenadas de los vectores procedemos a realizar la
sustitución del producto cruz:
⌊ ⃑⃗ ⃗ ⃑⃑⃗⌋
⃑⃗ |

⃗

⃑⃗

|

⃑⃗

⃑⃗

⃑⃗ (|

⃑⃑⃗

|

| ⃑⃗
|

|

|

|⃗
|

| ⃑⃗ )

|

|

|

En donde hemos usado que:
⃑⃗ ⃗

⃑⃗ ⃗

⃑⃗ ⃑⃗

Sin embargo, la última expresión obtenida es precisamente el desarrollo
de un determinante, esto es: