PLACER

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Un cat´alogo delante de sus narices
Resumen—En el cuento La biblioteca de Babel,
Borges nos habla de un bibliotecario que busca entre
todos los posibles libros de 1312000 caracteres (a
escoger de entre un total de 25, a saber, el espacio, la
coma, el punto y las letras del alfabeto salvo k, n˜ , q,
x y w) aqu´el que contenga un cat´alogo de todos los
otros libros. Encontramos un cat´alogo de cat´alogos.

Teorema 1. El intervalo [0, 1] es un cat´alogo de
todos los libros de la biblioteca de Babel (ver
Figura 1).
Definici´on 2. Dado un n´umero entero W , su representaci´on en base diez W10 = wN wN −1 · · · w1 w0
es una combinaci´on de N + 1 s´ımbolos wj ∈
{0, 1, 2, . . . , 9} de modo que
N

W = wN · 10 + . . . w1 · 10 + w0 =

N


wj 25j .

j=0

En el caso de los n´umeros no enteros, se a˜nade
una coma y se prosigue, obteni´endose una palabra de longitud posiblemente infinita W10 =
wN wN −1 · · · w1 w0  w−1 w−2 · · · tal que
W =

N


wj 25j .

j=−∞

Ejemplo 3. La palabra W10 = 425, 3 corresponde
al n´umero cuyo valor es W = 4 · 102 + 2 · 10 + 5 +
3 · 10−1 = 400 + 20 + 5 + 0, 3.

Definici´on 4. Consideremos el conjunto de s´ımbolos o alfabeto
a, b , c , d , e , f , g , h , i , j , l , m ,
A :={a
n, o, p, r , s, t, u, v , y , z , , ,, .}.

A cada letra le asociamos un valor de 0 a 24,
empezando por a y terminando por . Entonces,
cada palabra W25 = wN · · · w0 w−1 w−2 · · · se
asocia al n´umero real de valor
W =

N


wj 25j .

j=−∞

La representaci´on de W en base 25 es W25 .

Ejemplo 5. As´ı, w = l amor tiene valor
W = l · 250 + a · 25−1 + m · 25−2 + o · 25−3
+ r · 25−4
= 10 · 1 + 0 · 0, 04 + 11 · 0, 0016

+ 13 · 0, 000064 + 15 · 0, 00000256
= 10, 0184704,
aunque el amor tiene valor 1082819715.
Demostraci´on del Teorema 1. Cualquier texto finito W25 (o libro), compuesto por s´ımbolos de A,
se puede identificar trivialmente con una palabra
empezada por a  y seguida por los s´ımbolos del
25 = a  w−1 w−2 · · · , obteniendo
texto, digamos W
siempre un valor situado entre 0 y 1. Es decir, la
25 pertenece a I := [0, 1]. Por cada libro
palabra W
encontramos un punto en I que lo representa.

Ejemplo 6. Por ejemplo, un libro de cuyo nombre
no quiero acordarme corresponde a la palabra
a en un lugar de la mancha · · · , con un valor
aproximado de 0, 180655400669944326699445461
3758356168150606848 ± 25−24 .
Observaci´on 7. Note el lector que todo punto de
I tiene una representaci´on en base 25 correspondiente a un texto de longitud posiblemente infinita.
El lector interesado puede encontrar PLACER
en el concepto de n´umero normal. Un n´umero
es normal si su representaci´on en cualquier base
contiene todos los car´acteres de esta base en “igual
cantidad”. Se ha demostrado esta propiedad en
muy pocos n´umeros, pero se sabe que, si uno escoje
al azar un n´umero en el intervalo [0, 1], obtendr´a
un n´umero normal con probabilidad 1. Es decir,
siempre que tire un dardo a un intervalo, obtendr´a
un punto cuya representaci´on contiene no s´olo
todos los libros de la biblioteca de Babel, sino de
cualquier otro libro o enciclopedia nunca escritos,
en algun lugar de su representaci´on.

Figura 1. El intervalo [0, 1] es a su vez cat´alogo (Teorema 1 y
cat´alogo de cat´alogos (Observaci´on 7).

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