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routhiana .pdf



Nombre del archivo original: routhiana.pdf

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Una barra de longitud l y masa m cuelga de una cuerda de longitud a, como indica la figura, en un
punto situado a una distancia b del extremo. El sistema oscila en el plano vertical sometido a la
gravedad. Si existen coordenadas ignorables determinar el routhiano.

El sistema solo puede girar respecto al eje Z, al estar restringido el movimiento de la barra al plano
vertical XY. Vemos que una rotación respecto al eje Z no es invariante, ya que modifica la energía
potencial de la barra, y el momento angular asociado no se conserva. Tampoco se conserva el
momento angular respecto al punto de sujeción de la barra, ya que la barra es asimétrica en ese
punto. Sólo en el caso en que el punto de sujeción esté en la mitad de la barra se podrá conservar
este momento angular. El sistema tampoco es invariante respecto a traslaciones en el eje X, ya que
se modifica la energía potencial, ni en el eje Y ya que la cuerda tiene un punto fijo en el origen, y
los momentos lineales asociados no se conservan. El sistema sólamente es invariante respecto a
traslaciones en el eje Z, y conserva ese momento lineal.
Para definir la lagrangiana es necesario calcular las energías cinéticas y potencial. Dado que el
punto de sujeción de la barra no coincide con el centro de masas, consideramos un elemento dm a
una distancia r del punto de sujeción. El elemento dm tiene como coordenadas cartesianas
x=a cos (φ)+ r cos( θ)
y=a sen (φ )+ r sen( θ)
Las componentes de la velocidad son entonces
˙
x˙ =−a sen (φ ) φ−r
sen(θ )θ˙
˙ r cos (θ) θ˙
y˙ =a cos(φ) φ+
y el módulo de la velocidad al cuadrado resulta

v 2 = x˙ 2 + y˙ 2=a2 φ˙ 2 +r 2 θ˙ 2 +2 r a sen( φ+ θ) φ˙ θ˙
Considerando una distribución lineal de masa, el elemento dm es
dm=

m
dr
l

su energía cinética es
1
d T = dm v 2
2
y su energía potencial es
dV =−g dm x
La energía cinética total de la barra se obtiene por integración
l −b

T =∫ dT = ∫
−b

1m
2 2
2 2
dr [ a φ˙ +r θ˙ +2 r a sen( φ+θ) φ˙ θ˙ ]=
2 l
l −b

[

]

3
1m
2 2 r
˙
=
r a φ + θ˙ 2 +r 2 a sen(φ +θ) φ˙ θ˙
=
2 l
3
−b

=

[

]

1m
l 3−3 l 2 b+3 l b 2 ˙ 2 2
l a2 φ˙ 2 +
θ +(l −2 l b) a sen(φ+ θ) φ˙ θ˙ =
2 l
3

(

)

1
l2 2
2 2 1
2 1
= m a φ˙ + m +b −l b θ˙ + m(l−2 b) a sen (φ +θ) φ˙ θ˙
2
2
3
2

(

)

y del mismo modo la energía potencial total de la barra resulta
l−b

V =∫ dV = ∫ −g
−b

m
dr [ a cos(φ)+ r cos(θ) ] =
l
l −b

[

]

m
r2
=−g
r a cos (φ)+ cos (θ) =
l
2
−b
=−g

[

]

m
l 2−2 l b
l a cos (φ)+
cos (θ) =
l
2

(

=−g m a cos (φ )+ g m

)

( 2l −b) cos (θ)

En el caso general no existen coordenadas ignorables, ya que tanto φ como θ estan presentes en las
expresiones de T y de V. Sólo en el caso en que b=l/2 las expresiones se simplifican a

1
l2 ˙ 2
2 2 1
˙
T= ma φ + m θ
2
2 12
V =−g ma cos(φ)
donde la coordenada θ no esta presente. En ese caso el lagrangiano es
1
1 L2
L=T −V = m a2 φ˙ 2 + m θ˙ 2+ g m a cos( φ)
2
2 12
la cantidad de movimiento conjugada a θ, que se conserva, es
p θ=

∂L
l2
=m θ˙
∂ θ˙
12

y la routhiana se calcula como
˙
R= pθ θ−L=6

pθ2 1
− ma 2 φ˙ 2−g m a cos (φ )
2
ml 2


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