Sergio Yansen Núñez
Análisis Cualitativo
Actividad 1
Los científicos Verhulst (1938) y Peral (1930) propusierón el siguiente modelo de
crecimiento de una población T Ð>Ñ que vive en un medio de recursos limitados (alimento
, espacio etc. ...)
.T
T
.> œ <T Š"
O ‹

con

T Ð!Ñ œ T!

y<  !àO  !

(O es llamada la capacidad de carga del ambiente )
(< es la tasa de crecimiento natural ).
1.

Determine los puntos de equilibrio y clasifíquelos.

2.

Calcule lim T Ð>Ñ

3.

Analice gráficamente T Ð>Ñ en los siguientes casos:

>Ä_

a)
4.

cuando T!  O

b)

cuando T!  O

T

"
Resuelva .T
.> œ <T Š"
O ‹ mediante la sustitución: ? œ :

Actividad 2
Suponga que se combina una sustancia E con una sustancia F para formar sustancias G ,
si BÐ>Ñ representa la cantidad G formada en el tiempo > y si ! y " son las cantidades
iniciales de las sustancias E y F respectivamente. Entonces la velocidad con que se
forma el nuevo compuesto G se puede describir con la ecuación diferencial autónoma:
Bw œ 5Ð!
BÑÐ"
BÑ. Donde 5 es una constante de proporcionalidad, y "  !  !.
a)

Clasifique los puntos críticos.

b)

Para el caso ! œ " ¿cuál es el comportamiento
BÐ!Ñ  !?

c)

"
Verifique que BÐ>Ñ œ !
>
, es una solución explícita de la ecuación
diferencial para 5 œ " y ! œ " . Determine una solución que satisfaga BÐ!Ñ œ !# .
Grafique esta solución. ¿Concuerda esto con los resultados del ítem b)?

Sergio Yansen Núñez

de BÐ>Ñ cuando > qp_ si