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Ingenieria Mecanica. Estatica .pdf



Nombre del archivo original: Ingenieria Mecanica. Estatica.pdf
Título: Ingenieria Mecanica. Estatica
Autor: Pytel

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PYTEL
‡
KIUSALAAS

Características
% La introducción temprana de la relación entre fuerza y aceleración utilizada en esta pedagogía permite a los estudiantes darse cuenta de cómo se pueden utilizar mucho antes las
OH\HV GH 1HZWRQ GHO PRYLPLHQWR SDUD DQDOL]DU ORV SUREOHPDV
% En su caso, los problemas de ejemplo se resuelven mediante notaciones escalares y vecWRULDOHV TXH SHUPLWHQ LQFUHPHQWDU OD FDSDFLGDG GH UHVROYHU SUREOHPDV

% /DV VROXFLRQHV GH ORV SUREOHPDV GH HMHPSOR TXH UHTXLHUHQ DQiOLVLV GH HTXLOLEULR VH WUDWDQ
PHGLDQWH XQD H[FOXVLYD \ RUGHQDGD WpFQLFD FRQ WUHV VXEGLYLVLRQHV HQ JHQHUDO L PpWRGR
GH DQiOLVLV LL GHWDOOHV PDWHPiWLFRV \ LLL RWURV PpWRGRV GH DQiOLVLV

ESTÁTICA

% (O DQiOLVLV GHO HTXLOLEULR GH ORV SUREOHPDV HV HO ~QLFR HQVHxDGR HQ WUHV SDVRV FyPR
GLEXMDU GLDJUDPDV GH FXHUSR OLEUH OD IRUPD GH DQDOL]DU ORV SUREOHPDV FRQ GLDJUDPDV
GH FXHUSR OLEUH GDGRV \ FyPR OOHYDU D FDER DQiOLVLV FRPSOHWRV GHO SUREOHPD PHGLDQWH
OD FRPELQDFLyQ GH ORV GRV SDVRV DQWHULRUHV

INGENIERÍA MECÁNICA

La tercera edición de Ingeniería Mecánica: Estática, ofrece a los estudiantes una cobertura de maWHULDO VyOLGD VLQ OD VREUHFDUJD GH GHWDOOHV VXSHUÁXRV /D DPSOLD H[SHULHQFLD GRFHQWH GHO HTXLSR
de autores provee conocimiento de primera mano de los niveles de habilidad de aprendizaje de
ORV HVWXGLDQWHV GH KR\ TXH VH UHÁHMD HQ HO WH[WR D WUDYpV GH OD SHGDJRJtD \ OD YLQFXODFLyQ GH ORV
SUREOHPDV GHO PXQGR UHDO \ HMHPSORV FRQ ORV IXQGDPHQWRV GH OD ,QJHQLHUtD 0HFiQLFD 'LVHxDGR
SDUD HQVHxDU D ORV HVWXGLDQWHV D DQDOL]DU GH IRUPD HÀFD] ORV SUREOHPDV DQWHV GH FRQHFWDU ORV
Q~PHURV HQ ODV IyUPXODV pVWRV VH EHQHÀFLDQ HQ JUDQ PHGLGD DO HQFRQWUDU SUREOHPDV GH OD YLGD
UHDO TXH QR VLHPSUH HQFDMDQ HQ ODV IyUPXODV KDELWXDOHV

% (O DQiOLVLV GH HTXLOLEULR GH XQ FXHUSR ~QLFR \ RUJDQLVPRV YLQFXODGRV D PHQXGR GHQRPLQDGR FRPR ´ORV PDUFRV \ ODV PiTXLQDVµ VH DQDOL]DQ FRQ GHWDOOH HQ XQ FDStWXOR ~QLFR \
FRPSOHWR
% 6H LQFOX\HQ SUREOHPDV GH HMHPSOR TXH UHTXLHUHQ LQWHJUDFLyQ QXPpULFD

TERCERA EDICIÓN

INGENIERÍA MECÁNICA

TERCERA
EDICIÓN

ESTATICA
ANDREW PYTEL

JAAN KIUSALAAS

Ingeniería mecánica
Estática
Tercera edición

Andrew Pytel
The Pennsylvania State University

Jaan Kiusalaas
The Pennsylvania State University

Traducción:

Ing. Javier León Cárdenas
Escuela Superior de Ingeniería Química
e Industrias Extractivas
Instituto Politécnico Nacional

Revisión Técnica:

Ing. José Nicolás Ponciano Guzmán
Instituto Tecnológico de Morelia
Instituto Tecnológico y de Estudios
Superiores de Monterrey
Campus Morelia

Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur

Ingeniería Mecánica, Estática.
Tercera edición
Andrew Pytel/Jaan Kiusalaas

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Timoteo Eliosa García
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1 2 3 4 5 6 7 15 14 13 12

© D.R. 2012 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.,
una Compañía de Cengage Learning, Inc.
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de información a excepción de lo permitido
en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal
del Derecho de Autor, sin el consentimiento
por escrito de la Editorial.
Traducido del libro
Engineering Mechanics: Statics. Third Edition.
Andrew Pytel/Jaan Kiusalaas
Publicado en inglés por Cengage Learning © 2010
ISBN: 978-0-495-24469-1
Datos para catalogación bibliográfica:
Pytel, Andrew y Jaan Kiusalaas
Ingeniería Mecánica, Estática. Tercera edición
ISBN-13: 978-607-481-872-7
ISBN-10: 607-481-872-x
Visite nuestro sitio en:
http://latinoamerica.cengage.com

Para Jean, Leslie, Lori, John, Nicholas
y
Para Judy, Nicholas, Jennifer, Timothy

Contenido
Prefacio
Capítulo 1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5

1

Operaciones básicas con sistemas
de fuerzas

37

Introducción 37
Equivalencia de fuerzas 37
Fuerza 38
Reducción de sistemas de fuerzas concurrentes 39
Momento de una fuerza respecto a un punto 49
Momento de inercia de una fuerza respecto a un eje 60
Pares 73
Cambio de la línea de acción de una fuerza 86

Capítulo 3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6

Introducción a la estática

Introducción 1
Mecánica newtoniana 3
Propiedades fundamentales de los vectores 10
Representación de vectores utilizando componentes
rectangulares 18
Multiplicación de vectores 27

Capítulo 2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8

ix

Resultantes de sistemas de fuerzas

Introducción 97
Reducción de un sistema de fuerzas a una fuerza y un par
Definición de resultante 105
Resultantes de sistemas de fuerzas coplanares 106
Resultantes de sistemas tridimensionales 116
Introducción a las cargas normales distribuidas 128

Capítulo 4

97
97

Análisis del equilibrio coplanar

143

4.1 Introducción 143
4.2 Definición de equilibrio 144
Parte A: Análisis de cuerpos simples 144
4.3 Diagrama de cuerpo libre de un cuerpo 144
4.4 Ecuaciones de equilibrio coplanar 153
4.5 Formulación y solución de ecuaciones de equilibrio 155
4.6 Análisis de equilibrio para problemas de cuerpos simples 166
Parte B: Análisis de cuerpos compuestos 179
4.7 Diagramas de cuerpo libre que contienen reacciones internas 179

v

vi

Contenido
4.8 Análisis de equilibrio de cuerpos compuestos 190
4.9 Casos especiales: cuerpos de dos y tres fuerzas 200
Parte C: Análisis de armaduras planas 214
4.10 Descripción de una armadura 214
4.11 Método de los nodos 215
4.12 Método de las secciones 224

Capítulo 5 Equilibrio tridimensional
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7

237

Introducción 237
Definición de equilibrio 238
Diagramas de cuerpo libre 238
Ecuaciones de equilibrio independientes 249
Restricciones impropias 252
Formulación y resolución de ecuaciones de equilibrio
Análisis de equilibrio 263

253

Capítulo 6 Vigas y cables
*6.1 Introducción 281
Parte A: Vigas 282
*6.2 Sistemas de fuerzas internas 282
*6.3 Análisis de fuerzas internas 291
*6.4 Método del área para dibujar diagramas V y M
Parte B: Cables 318
*6.5 Cables ante cargas distribuidas 318
*6.6 Cables ante cargas concentradas 330

Capítulo 7
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
*7.6
*7.7
*7.8

8.4
8.5
8.6

303

Fricción seca

341

Introducción 341
Teoría de Coulomb de la fricción seca 342
Clasificación y análisis de problemas 345
Volcamiento inminente 361
Ángulo de fricción: cuñas y tornillos 369
Cuerdas y bandas planas 379
Fricción en discos 386
Resistencia al rodamiento 391

Capítulo 8
8.1
8.2
8.3

281

Centroides y cargas distribuidas

401

Introducción 401
Centroides de áreas y curvas planas 401
Centroides de superficies curvas, volúmenes
y curvas espaciales 419
Teoremas de Pappus-Guldinus 438
Centro de gravedad y centro de masa 442
Cargas normales distribuidas 450

Capítulo 9 Momentos y productos de inercia de áreas 471
9.1
9.2

Introducción 471
Momentos de inercia de áreas y momentos polares de inercia

*Indica temas opcionales

472

Contenido
9.3
9.4
*9.5

Productos de inercia de áreas 492
Ecuaciones de transformación y momentos principales
de inercia de áreas 500
Círculo de Mohr para momentos y productos de inercia

508

Capítulo 10 Trabajo virtual y energía potencial
*10.1
*10.2
*10.3
*10.4
*10.5
*10.6

Introducción 523
Desplazamientos virtuales 524
Trabajo virtual 525
Método del trabajo virtual 528
Centro instantáneo de rotación 539
Equilibrio y estabilidad de sistemas conservativos

548

Apéndice A Integración numérica
A.1
A.2
A.3

559

Introducción 559
Regla del trapecio 560
Regla de Simpson 560

Apéndice B Determinación de raíces de funciones
B.1
B.2
B.3

523

563

Introducción 563
Método de Newton 563
Método de la secante 564

Apéndice C Densidades de materiales comunes

567

Respuestas a problemas con número par

569

Índice

576

vii

Prefacio

La estática y la dinámica son los temas básicos del campo general conocido como
mecánica para ingenieros. A riesgo de hacer una simplificación en su definición,
la mecánica para ingenieros es la rama de la ingeniería que estudia el comportamiento
de cuerpos ante la acción de fuerzas. La estática y la dinámica forman la base de
muchos de los campos tradicionales de la ingeniería, como ingeniería automotriz,
ingeniería civil e ingeniería mecánica. Además, estos temas con frecuencia tienen
funciones fundamentales cuando se aplican los principios de la mecánica a campos
diversos como la medicina y la biología. La aplicación de los principios de la estática y la dinámica a un intervalo amplio de aplicaciones requiere razonamiento y
práctica en vez de memorización. Si bien los principios de la estática y la dinámica
son relativamente pocos, sólo se pueden dominar estudiando y analizando problemas. Por lo tanto, todos los libros modernos, incluyendo el nuestro, contienen una
gran cantidad de problemas que deben resolver los estudiantes. Aprender el enfoque
ingenieril para resolver problemas es una de las lecciones más valiosas que se deben
aprender en el estudio de estática y dinámica.
Nos hemos esforzado para mejorar nuestra presentación sin comprometer los
principios siguientes que constituyen la base de las ediciones anteriores.
• Cada problema de ejemplo se eligió cuidadosamente para ayudar a los estudiantes a dominar la complejidad del análisis de los problemas en ingeniería.
• La selección de los problemas de tarea está equilibrada entre problemas de “libro de texto” que ilustran los principios de la mecánica en la ingeniería de una
manera directa y los problemas prácticos de ingeniería son aplicables al diseño
en la ingeniería.
• El número de problemas en los que se utilizan unidades inglesas y unidades SI
es casi el mismo.
• Se enfatiza la importancia de trazar de manera correcta los diagramas de cuerpo
libre.
• Se continúa presentando el análisis de equilibrio en tres partes independientes,
cada una seguida por un conjunto de problemas. En la primera parte se enseña el método para trazar diagramas de cuerpo libre. En la segunda se muestra
cómo formular y resolver las ecuaciones de equilibrio empleando un diagrama
de cuerpo libre dado. En la tercera parte se combinan las dos técnicas justo
aprendidas para llegar a un plan lógico para el análisis completo de un problema
de equilibrio.
• Cuando es aplicable el número de ecuaciones independientes se compara con el
número de cantidades desconocidas antes de formular las ecuaciones gobernantes.
• Los problemas de repaso se encuentran al final de los capítulos para fomentar
que los estudiantes sinteticen los temas individuales que han aprendido.

ix

x

Prefacio
Hemos incluido varios temas opcionales, los cuales se denotan con un asterisco (*). Debido a restricciones de tiempo, los temas indicados de esa manera se pueden omitir sin comprometer la presentación del tema. También se utiliza un asterisco
para indicar problemas que requieren de un razonamiento avanzado. Los temas, los
problemas de ejemplo y los problemas asociados con métodos numéricos se indican
mediante un icono que representa un disco de computadora.
En esta tercera edición hemos hecho una variedad de mejoras significativas basadas en la retroalimentación recibida de estudiantes y maestros quienes han utilizado las ediciones anteriores. Además, hemos incorporado muchas de las sugerencias
hechas por los revisores de la segunda edición.
Se han reorganizado, o reescrito, varios temas para facilitar su comprensión por
los estudiantes. Por ejemplo, nuestra presentación del análisis de vigas en el capítulo 6
se ha reescrito por completo e incluye tanto problemas de ejemplo revisados como
problemas de tarea revisados. Nuestro estudio de vigas ahora se enfoca con más
claridad en los métodos y la terminología utilizada en el análisis y diseño ingenieril
de vigas. Además, en el capítulo 7 se agregó el tema de la resistencia al rodamiento.
También nuestro análisis de los desplazamientos virtuales en el capítulo 10 se hizo
más conciso y por lo tanto será más fácil de comprender por los estudiantes. Nuevo
en esta edición son las secciones tituladas Repaso de ecuaciones que se han agregado al final de cada capítulo como ayuda para los estudiantes cuando resuelvan los
problemas de tarea.
El total de problemas de ejemplo y de problemas de tarea permanece casi igual
que en la edición anterior; sin embargo, la introducción de dos colores mejora la
facilidad de lectura general del libro y del trabajo artístico. En comparación con
la edición anterior, aproximadamente un tercio de los problemas es nuevo, o se ha
modificado.
Complemento Guía de estudio correspondiente al presente libro. Los objetivos
de esta guía de estudio son dos. Primero, se incluyen auto-exámenes para ayudar
al estudiante a enfocarse en los rasgos destacados de la lectura asignada. Segundo,
en la guía de estudio se utilizan problemas “guiados” que le dan al estudiante una
oportunidad para trabajar a través de problemas representativos, antes de intentar
resolver problemas del libro.
Reconocimientos
sugerencias:

Estamos agradecidos a los revisores siguientes por sus valiosas

K.L. Devries, University of Utah
Kurt Gramoll, University of Oklahoma
Scott L. Hendricks, Virginia Tech
Laurence Jacobs, Georgia Institute of Technology
Chad M. Landis, Rice University
Jim G. LoCascio, California Polytechnic State University,
San Luis Obispo
Thomas H. Miller, Oregon State University
Robert G. Oakberg, Montana State University
Scott D. Schiff, Clemson University
Andrew Pytel
Jaan Kiusalaas

1
Introducción a la estática

1.1
a.

Introducción

El matemático e ingeniero flamenco
Simon Stevinus (1548-1620) fue el
primero en demostrar la descomposición de fuerzas, estableciendo así la
base de la estática moderna.
© Bettmann/CORBIS

¿Qué es la mecánica para ingenieros?

La estática y dinámica se encuentran entre los primeros temas de ingeniería que
estudia la mayoría de los estudiantes. Por tanto, es apropiado que se inicie con una
exposición breve sobre el significado del término mecánica para ingenieros y de la
función que tienen estos cursos en la educación de los ingenieros. Antes de definir
qué es mecánica para ingenieros, primero se deben considerar las similitudes y diferencias entre la física e ingeniería.
En términos generales, la física es la ciencia que relaciona las propiedades de la
materia y energía, excluyendo los efectos biológicos y químicos. La física incluye el

1

2

CAPÍTULO 1

Introducción a la estática
estudio de la mecánica,* termodinámica, electricidad, magnetismo y física nuclear.
Por otro lado, la ingeniería es la aplicación de las ciencias matemáticas y físicas
(física, química y biología) al diseño y manufactura de artículos que benefician a
la humanidad. Diseño es el concepto clave que distingue a los ingenieros de los
científicos. De acuerdo con la Accreditation Board for Engineering and Technology
(ABET), el diseño en la ingeniería es el proceso de generar un sistema, componente
o proceso para satisfacer ciertas necesidades.
La mecánica es la rama de la física que considera la acción de fuerzas sobre
cuerpos o fluidos que están en reposo o en movimiento. En consecuencia, los temas
principales de la mecánica son la estática y dinámica. El primer tema que estudió en
su curso inicial de física ya sea en bachillerato o universidad, sin duda fue la mecánica. Así pues, mecánica para ingenieros es la rama de la ingeniería que aplica los
principios de la mecánica al diseño mecánico (es decir, cualquier diseño que debe
tomar en cuenta los efectos de fuerzas). El objetivo principal de los cursos de mecánica para ingenieros es introducir al estudiante a las aplicaciones ingenieriles de la
mecánica. La estática y dinámica por lo general continúan por uno o más cursos que
introducen las propiedades y deformaciones de los materiales, temas que suelen denominarse Resistencia de materiales o bien Mecánica de materiales. Esta secuencia
de cursos después continúa por una capacitación formal en el diseño mecánico.
Por supuesto que la mecánica para ingenieros es una componente integral de la
educación de los ingenieros cuyas disciplinas están relacionadas con las ciencias
mecánicas, como la ingeniería aeroespacial, ingeniería de la arquitectura, ingeniería civil e ingeniería mecánica. Sin embargo, un conocimiento de la mecánica para
ingenieros también es útil en la mayoría de otras disciplinas ingenieriles ya que con
frecuencia también en ellas se debe considerar el comportamiento mecánico de un
cuerpo o fluido. Dado que la mecánica fue la primera ciencia física que se aplicó a
la vida cotidiana, se deduce que la mecánica para ingenieros es la rama más antigua
de la ingeniería. Debido al carácter interdisciplinario de muchas aplicaciones de la
ingeniería (por ejemplo, la robótica y manufactura), una capacitación profunda en
la mecánica para ingenieros continúa siendo uno de los aspectos más importantes de la
educación en ingeniería.

b.

Formulación de problemas y exactitud de las soluciones

Su dominio de los principios de la mecánica para ingenieros se reflejará en su habilidad para formular y resolver problemas. Por desgracia, no existe un método simple
para enseñar a desarrollar habilidades en la resolución de problemas. Casi todas las
personas requieren de una considerable cantidad de práctica al resolver problemas
antes de que comiencen a desarrollar las habilidades analíticas que son tan necesarias para tener éxito en la ingeniería. Por esta razón, un número relativamente grande
de problemas de ejemplo y de tarea se encuentran en puntos estratégicos a lo largo de
todo el libro.
Para ayudarle a desarrollar un “enfoque ingenieril” en el análisis de problemas,
encontrará instructivo dividir su solución para cada problema de tarea en las partes
siguientes:
1. DATOS: después de leer cuidadosamente el enunciado del problema, haga una
lista de los datos proporcionados. Si se requiere una figura, haga un bosquejo de
ella con claridad y aproximadamente a escala.
2. DETERMINE: establezca con precisión la información que se debe determinar.
*Al analizar los temas incluidos en la física, el término mecánica se utiliza sin un modificador. Es muy
natural que con frecuencia esto cause confusión entre “mecánica” y “mecánica para ingenieros”.

1.2 Mecánica newtoniana
3. SOLUCIÓN: resuelva el problema mostrando todos los pasos seguidos en el
análisis. Trabaje con limpieza tal que su trabajo lo puedan seguir otras personas.
4. VALIDACIÓN: muchas veces una solución inválida se puede descubrir simplemente preguntándose: “¿tiene sentido esta respuesta?”.
Al reportar sus respuestas, utilice sólo los dígitos que tengan el valor menos
exacto de los datos. Por ejemplo, suponga que se le pide convertir 12 500 pies (suponiendo una exactitud con tres cifras significativas) a millas. Utilizando una calculadora dividiría 12 500 pies entre 5280 pies/mi y reportaría la respuesta como 2.37
mi (tres cifras significativas), aunque el cociente visualizado en la pantalla de la
calculadora sería 2.3674242. Al reportar la respuesta igual a 2.3674242 implica que
todas las ocho cifras son significativas, lo que por supuesto no es cierto. Es su responsabilidad redondear la respuesta hasta el número correcto de dígitos. En este
libro, debe suponer que los datos dados son exactos hasta tres dígitos significativos
a menos que se indique de otra manera. Por ejemplo, una longitud que se da como
3 pies se debe interpretar como 3.00 pies.
Al realizar cálculos intermedios, una buena regla empírica es considerar un dígito más que se reportará en la respuesta final; por ejemplo, utilice valores intermedios
de cuatro dígitos si la respuesta tiene que ser significativa hasta tres dígitos. Además,
es práctica común reportar cuatro dígitos si el primer dígito en una respuesta es 1;
por ejemplo, utilice 1.392 en vez de 1.39.

1.2
a.

Mecánica newtoniana
Alcance de la mecánica newtoniana

En 1687 Sir Isaac Newton (1642-1727) publicó sus aclamadas leyes del movimiento en Principia (Mathematical Principles of Natural Philosophy). Sin duda
que este trabajo se encuentra entre los libros científicos más influyentes que se
hayan publicado. No obstante, no debemos pensar que su publicación estableció
de inmediato la mecánica clásica. El trabajo de Newton sobre la mecánica abordó
principalmente la mecánica celeste, por lo que estuvo limitada al movimiento de
partículas. Pasaron casi doscientos años antes de que se desarrollaran la dinámica
de cuerpos rígidos, la mecánica de fluidos y la mecánica de cuerpos deformables.
Cada una de estas áreas requirió nuevos axiomas antes de que pudieran adquirir
una forma utilizable.
No obstante, el trabajo de Newton es la base de la mecánica clásica o newtoniana. Sus esfuerzos han influenciado otras dos ramas de la mecánica, que nacieron
al inicio del siglo xx: la mecánica relativista y la mecánica cuántica. La mecánica
relativista aborda los fenómenos que ocurren a una escala cósmica (velocidades
que se aproximan a la velocidad de la luz, campos gravitatorios intensos, etc.). Esto
elimina dos de los postulados más objetables de la mecánica newtoniana: la existencia de un marco de referencia fijo o inercial y la hipótesis de que el tiempo es
una variable absoluta, que “transcurre” a la misma rapidez en todas las partes del
universo. (Existe evidencia de que el propio Newton no estaba muy de acuerdo con
estos dos postulados.) La mecánica cuántica se ocupa de las partículas a una escala
atómica o subatómica. También elimina dos conceptos apreciados de la mecánica
clásica: determinismo y continuidad. La mecánica cuántica en esencia es una teoría
probabilística; en vez de predecir un evento, determina la posibilidad de que éste
ocurra. Además, de acuerdo con esta teoría, los eventos ocurren en pasos discretos
(denominados cuanta) en vez de ocurrir de manera continua.

3

4

CAPÍTULO 1 Introducción a la estática
Sin embargo, la mecánica relativista y cuántica de ninguna manera han invalidado los principios de la mecánica newtoniana. En el análisis del movimiento de
cuerpos encontrado en nuestra experiencia cotidiana, las dos teorías convergen en las
ecuaciones de la mecánica newtoniana. Así pues, las teorías más esotéricas en
realidad refuerzan la validez de las leyes de movimiento de Newton.

b.

Leyes de Newton para el movimiento de partículas

Utilizando terminología moderna, las leyes de Newton para el movimiento se pueden enunciar como sigue:
1. Si una partícula está en reposo (o moviéndose con velocidad constante en línea
recta), permanecerá en reposo (o continuará moviéndose con velocidad constante en línea recta) a menos que actúe sobre ella una fuerza.
2. Una partícula sobre la que actúa una fuerza acelerará en la dirección de la fuerza. La magnitud de la aceleración es proporcional a la magnitud de la fuerza e
inversamente proporcional a la masa de la partícula.
3. Para toda acción existe una reacción igual y opuesta; es decir, las fuerzas de interacción entre dos partículas son iguales en magnitud y dirigidas opuestamente
a lo largo de la misma línea de acción.
Si bien la primera ley es simplemente un caso especial de la segunda ley, se acostumbra enunciar la primera ley de manera separada debido a su importancia para la
estática.

c.

Marcos de referencia internos

Al aplicar la segunda ley de Newton, se debe poner atención al sistema coordenado
en el cual se miden las aceleraciones. Un marco de referencia interno (también
conocido como marco de referencia newtoniano o galileano) se define como cualquier sistema coordenado rígido en el cual las leyes de Newton del movimiento de
partículas relativas al marco son válidas con un grado de exactitud aceptable. En la
mayoría de las aplicaciones de diseño utilizadas sobre la superficie de la Tierra, un
marco inercial se puede aproximar con precisión suficiente colocando el sistema
coordenado a la Tierra. En el estudio de satélites terrestres, un sistema coordenado
colocado al Sol suele ser suficiente. Para el viaje interplanetario, es necesario emplear sistemas coordenados colocados a las denominadas estrellas fijas.
Se puede demostrar que cualquier marco que se traslade con velocidad constante
relativa a un marco de referencia es en sí un marco inercial. Es práctica común omitir la palabra inercial cuando se hace referencia a marcos para los cuales las leyes de
Newton son obviamente aplicables.

d.

Unidades y dimensiones

Los estándares de medida se denominan unidades. El término dimensión se refiere
al tipo de medición, sin importar las unidades utilizadas. Por ejemplo, kilogramo y
pie/segundo son unidades, en tanto que masa y longitud/tiempo son dimensiones.
En todo este libro se utilizan dos estándares de medición: el sistema inglés y el sistema SI (de Système internationale d´unités). En el sistema inglés las dimensiones*
(fundamentales) base son fuerza [F], longitud [L] y tiempo [T]. Las unidades base
correspondientes son libra (lb), pie (pie) y segundo (s). Las dimensiones base en el
*Nosotros seguimos la costumbre establecida y ponemos entre paréntesis rectangulares las dimensiones.

1.2 Mecánica newtoniana
sistema SI son masa [M], longitud [L] y tiempo [T] y las unidades base son kilogramo (kg), metro (m) y segundo (s). Todas las otras dimensiones o unidades son
combinaciones de las cantidades base. Por ejemplo, la dimensión de velocidad es
[L/T], siendo sus unidades pie/s, m/s, etcétera.
Un sistema con las dimensiones base [FLT] (como en el sistema inglés) se denomina sistema gravitacional. Si las dimensiones base son [MLT] (como en el sistema
SI), el sistema se conoce como sistema absoluto. En cada sistema de medición,
las unidades base se definen por medio de fenómenos u objetos físicos físicamente
reproducibles. Por ejemplo, el segundo se define por la duración de un número especificado de ciclos de radiación en un cierto isótopo, el kilogramo se define como la
masa de cierto bloque de metal que se guarda cerca de París, Francia, etcétera.
Todas las ecuaciones que representan fenómenos físicos deben ser dimensionalmente homogéneas; es decir, cada término de una ecuación debe tener la misma
dimensión. De lo contrario, la ecuación no tendrá sentido físico (no tendría sentido,
por ejemplo, sumar una fuerza a una longitud). Revisar la homogeneidad dimensional de las ecuaciones es un buen hábito que se debe adquirir ya que puede exponer
errores cometidos durante las manipulaciones algebraicas.

e.

Masa, fuerza y peso

Si una fuerza F actúa sobre una partícula de masa m, la segunda ley de Newton
establece que
F = ma

(1.1)

donde a es el vector aceleración de la partícula. Para un sistema gravitacional [FLT],
la homogeneidad dimensional de la ecuación (1.1) requiere que la dimensión de la
masa sea
[M] =

FT 2
L

(1.2a)

En el sistema inglés, la unidad derivada de masa se llama slug. Un slug se define
como la masa que es acelerada a una razón de 1.0 pie/s2 por una fuerza de 1.0 lb.
Sustituyendo unidades para las dimensiones en la ecuación (1.2a), se obtiene la
unidad de un slug
1.0 slug = 1.0 lb â‹… s2 /pie

Para un sistema absoluto [MLT] de unidades, la homogeneidad dimensional de
la ecuación (1.1) produce para la dimensión de fuerza
[F] =

ML
T2

(1.2b)

La unidad derivada de fuerza en el sistema SI es un newton (N), que se define como
la fuerza que acelera una masa de 1.0 kg a una razón de 1.0 m/s2. De la ecuación
(1.2b), se obtiene
1.0 N = 1.0 kg â‹… m/s2

El peso es la fuerza gravitacional que actúa sobre un cuerpo. Si se denota la aceleración gravitacional (aceleración en caída libre del cuerpo) por g, el peso W de un
cuerpo de masa m está dado por la segunda ley de Newton como
W = mg

(1.3)

5

6

CAPÍTULO 1

Introducción a la estática
Observe que la masa es una propiedad constante de un cuerpo, en tanto que el peso
es una variable que depende del valor local de g. La aceleración gravitacional sobre
la superficie de la Tierra es aproximadamente 32.2 pies/s2 o 9.81 m/s2. Entonces, la
masa de un cuerpo que pesa 1.0 lb en la Tierra es (1.0 lb)/(32.2 pies/s2) = 1/32.2
slug. De manera similar, si la masa de un cuerpo es 1.0 kg, su peso sobre la Tierra es
(9.81 m/s2)(1.0 kg) = 9.81 N.
En un tiempo, la libra también se usaba como unidad de masa. La libra masa
(lbm) se definía como la masa de un cuerpo que pesaba 1.0 lb sobre la superficie de
la Tierra. Si bien la libra masa es una unidad obsoleta, aún se utiliza en ocasiones, lo
que ocasiona confusión entre masa y peso. En este libro, utilizamos la libra exclusivamente como una unidad de fuerza.

f.

Conversión de unidades

Un método conveniente para convertir una medida de un conjunto de unidades a otro
es multiplicar la medición por factores de conversión apropiados. Por ejemplo, para
convertir 240 mi/h en pies/s, se procede como sigue:
240 mi/h = 240

mi
1.0 h
5280 pies
×
×
= 352 pies/s
h
3600 s
1.0 mi

donde los multiplicadores 1.0 h/3600 s y 5280 pies/1.0 mi son factores de conversión. Dado que 1.0 h = 3600 s y 5280 pies = 1.0 mi, se observa que cada factor
de conversión es adimensional y de magnitud 1. Por tanto, una medida no cambia
cuando se multiplica por factores de conversión, sólo se alteran sus unidades. Observe que es permisible cancelar unidades durante la conversión como si fueran
cantidades algebraicas.
Los factores de conversión aplicables en la mecánica se encuentran al final de
este libro.

g.

mB

R

F
mA

F

Fig. 1.1

Ley de la gravitación

Además de sus muchos otros logros, Newton también propuso la ley de la gravitación universal. Considere dos partículas de masa mA y mB que están separadas una
distancia R, como se muestra en la figura 1.1. La ley de la gravitación establece que
las dos partículas se atraen entre sí por fuerzas de magnitud F que actúan a lo largo
de la línea que conecta las partículas, donde
F =G

m Am B
R2

(1.4)

La constante G de la gravitacional universal es igual a 3.44 × 10–8 pies4/(lb ⋅ s4)
o 6.67 × 10–11 m3/(kg ⋅ s2). Aunque esta ley es válida para partículas, Newton demostró que también es aplicable a cuerpos esféricos, siempre que sus masas estén
distribuidas uniformemente. (Al intentar deducir este resultado, Newton tuvo que
desarrollar el cálculo.)
Si hacemos mA = MT (la masa de la Tierra), mB = m (la masa de un cuerpo) y
R = RT (el radio medio de la Tierra), entonces F en la ecuación (1.4) será el peso W del
cuerpo. Comparando W = G MT m/RT2 con W = mg, se determina que g = G MT /RT2 .
Por supuesto, puede ser necesario ajustar el valor de g para algunas aplicaciones a
fin de tomar en cuenta la variación local de la atracción gravitacional.

Problema de ejemplo 1.1
Convierta 5000 lb/pulg2 en Pa (1 Pa = 1 N/m2).

Solución
Utilizando los factores de conversión que se encuentran al final del libro, se obtiene

5000 lb/pulg 2 = 5000

lb
4.448 N
×
×
2
pulg
1.0 lb

39.37 pulg
1.0 m

= 34.5 × 106 N/m2 = 34.5 MPa

2

Respuesta

Problema de ejemplo 1.2
La aceleración a de una partícula está relacionada con su velocidad v, su coordenada
de posición x y el tiempo t mediante la ecuación
a = Ax 3 t + Bvt 2

(a)

donde A y B son constantes. La dimensión de la aceleración es longitud entre tiempo
unitario al cuadrado; es decir [a] = [L/T2]. Las dimensiones de las otras variables
son [v] = [L/T], [x] = [L] y [t] = [T]. Deduzca las dimensiones de A y B si la ecuación (a) tiene que estar dimensionalmente homogénea.

Solución
Para que la ecuación (a) esté dimensionalmente homogénea, la dimensión de cada
término en el lado derecho de la ecuación debe ser [L/T2], la misma que la dimensión de a. Por tanto, la dimensión del primer término en el lado derecho de la ecuación (a) es

[ Ax 3 t] = [A][x 3 ][t] = [A][L 3 ][T ] =

L
T2

(b)

Despejando en la ecuación (b) la dimensión de A, se obtiene

[ A] =

1
[L 3 ][T ]

L
T2

=

1
[L 2 T 3 ]

Respuesta

7

Al realizar un análisis dimensional similar en el segundo término del lado derecho de la ecuación (a) resulta

[Bvt 2 ] = [B][v][t 2 ] = [B]

L
L
[T 2 ] =
T
T2

(c)

Despejando en la ecuación (c) la dimensión de B, se obtiene

[B] =

L
T2

T
L

1
T2

=

1
T3

Respuesta

Problema de ejemplo 1.3
Determine la fuerza gravitacional ejercida por la Tierra sobre una persona de 70 kg
cuya elevación arriba de la superficie de la Tierra es igual al radio de la Tierra. La
masa y el radio de la Tierra son MT = 5.9742 × 1024 kg y Re = 6378 km, respectivamente.

Solución
Considere un cuerpo de masa m ubicado a la distancia 2RT desde el centro de la Tierra (de masa MT). La ley de la gravitación universal, de la ecuación (11.4), establece
que el cuerpo es atraído hacia la Tierra por la fuerza F dada por

F =G

m MT
(2RT) 2

donde G = 6.67 × 10–11 m3/(kg ⋅ s2) es la constante gravitacional universal. Sustituyendo los valores de G y los parámetros dados, la fuerza gravitacional de la Tierra
actuando sobre la persona de 70 kg es

F = (6.67 × 10−11 )

8

(70)(5.9742 × 1024 )
= 171.4 N
[2(6378 × 103 )]2

Respuesta

1.1-1.21 Problemas

Problemas
1.1 Una persona pesa 30 lb en la Luna, donde g = 5.32 pies/s2. Determine: (a) la
masa de la persona y (b) el peso de la persona en la Tierra.

1.2 El radio y la longitud de un cilindro de acero son 60 y 120 mm, respectivamente. Si la densidad de masa del acero es 7850 kg/m3, determine el peso del
cilindro en libras.

1.3 Convierta lo siguiente: (a) 400 lb â‹… pie en kN â‹… m; (b) 6 m/s en mi/h; (c) 20 lb/
pulg2 en kPa y (d) 500 slug/pulg en kg/m.

1.4 El momento de inercia de la masa de cierto cuerpo es I = 20 kg â‹… m2. Exprese
I en términos de las unidades base del sistema inglés.

1.5 La energía cinética de un automóvil de masa m moviéndose con velocidad v es
E = mv2/2. Si m = 1000 kg y v = 6 m/s, calcule E en (a) kN â‹… m y (b) lb â‹… pie.
1.6 En cierta aplicación, la aceleración a y la coordenada de posición x de una
partícula están relacionadas por

a=

gkx
W

donde g es la aceleración gravitacional, k es una constante y W es el peso de la partícula. Demuestre que esta ecuación es dimensionalmente consistente si la dimensión de k es [F/L].

1.7

Cuando una fuerza F actúa sobre un resorte lineal, la elongación x del resorte está dada por F = kx, donde k es la rigidez del resorte. Determine la dimensión
de k en términos de las dimensiones base de un sistema absoluto de unidades
[MLT].

1.8 En algunas aplicaciones que incluyen velocidades muy elevadas, la velocidad
se mide en mm/μs. Convierta 25 mm/μs en (a) m/s y (b) mi/h.

1.9 Un libro de geometría proporciona la ecuación de una parábola como y = x2,
donde x y y están medidas en pulgadas. ¿Cómo puede esta ecuación estar dimensionalmente correcta?

1.10 El momento de inercia de la masa I de una esfera homogénea con respecto a
su diámetro es I = (2/5)mR2, donde m y R son su masa y su radio, respectivamente.
Encuentre la dimensión de I en términos de las dimensiones base de (a) un sistema
gravitacional [FLT] y (b) un sistema absoluto [MLT].
1.11 La coordenada de posición x de una partícula se determina por su velocidad v
y el tiempo transcurrido t como sigue: (a) x = At2 – Bvt y (b) x = Avte–Bt. Determine
las dimensiones de las constantes A y B en cada caso, suponiendo que las expresiones están dimensionalmente correctas.

9

10

CAPÍTULO 1

Introducción a la estática

*1.12 En cierto problema de vibración, la ecuación diferencial que describe el
movimiento de una partícula de masa m es

m

d2x
dx
+c
+ kx = P0 sen ωt
2
dt
dt

donde x es el desplazamiento de la partícula y t es el tiempo. ¿Cuáles son las dimensiones de las constantes c, k, P0 y ω en términos de las dimensiones base de un
sistema gravitacional [FLT]?

1.13 Utilizando la ecuación (1.4), deduzca las dimensiones de la constante de la
gravitación universal G en términos de las dimensiones base de (a) un sistema gravitacional [FLT] y (b) un sistema absoluto [MLT].
1.14 La salida de potencia común de un motor de un automóvil compacto es 120
hp. ¿Cuál es la potencia equivalente en (a) lb ⋅ pie/s y (b) kW?
1.15 Dos esferas de 10 kg están separadas 500 mm. Exprese la atracción gravitacional que actúa sobre una de las esferas como un porcentaje de su peso en la Tierra.
1.16 Dos esferas idénticas de radio igual a 8 pulg y que pesan 2 lb sobre la superficie
de la Tierra se ponen en contacto. Determine la atracción gravitacional entre ellas.
Utilice los datos siguientes para los problemas 1.17 a 1.21: masa de la Tierra =
5.9742 × 1024 kg, radio de la Tierra = 6378 km, masa de la Luna = 0.073483 × 1024
kg, radio de la Luna = 1737 km.

1.17 Una persona pesa 180 lb sobre la superficie de la Tierra. Calcule su peso en
un avión que llega a una elevación de 30 000 pies.
1.18 Utilice la ecuación (1.4) para demostrar que el peso de un objeto sobre la
Luna es aproximadamente igual a 1/16 de su peso en la Tierra.
1.19 Trace la aceleración gravitacional g (m/s2) de la Tierra contra la altura h (km)
arriba de la superficie de la Tierra.

1.20 Determine la elevación h (km) donde el peso de un objeto es de un décimo
de su peso sobre la superficie de la Tierra.

1.21 Calcule la fuerza gravitacional entre la Tierra y la Luna en newtons. La distancia entre la Tierra y la Luna es 384 × 103 km.

1.3

Propiedades fundamentales de los vectores

Un conocimiento de los vectores es un prerrequisito para el estudio de la estática.
En esta sección se describen las propiedades fundamentales de los vectores y en
secciones siguientes se analizan algunos de los elementos más importantes del álgebra vectorial. (El cálculo de vectores se introducirá según se necesite en Dinámica.)
Suponemos que ya está familiarizado con el álgebra vectorial, por lo que nuestro
análisis sólo tiene el fin de ser un repaso de los conceptos básicos.

1.3 Propiedades fundamentales de los vectores
Se deben comprender las diferencias entre cantidades escalares y vectoriales:
Un escalar es una cantidad que sólo tiene magnitud. Un vector es una cantidad
que posee magnitud y dirección; obedece la ley del paralelogramo para la suma.
Debido a que los escalares sólo poseen magnitudes, son números reales que
pueden ser positivos, negativos o cero. Entre las cantidades físicas que son escalares
se incluyen la temperatura, tiempo y velocidad. Como se mostrará más adelante,
la fuerza, velocidad y desplazamiento son ejemplos de cantidades físicas que son
vectores. La magnitud de un vector siempre se toma como un número no negativo.
Cuando un vector representa una cantidad física, las unidades del vector se toman
como las mismas unidades de su magnitud (libras, metros por segundo, pies, etc.).
La notación algebraica utilizada para una cantidad escalar por supuesto que debe
ser diferente de la empleada para una cantidad vectorial. En este libro, adoptamos
las convenciones siguientes: 1. los escalares se escriben con letras inglesas o griegas
cursivas, por ejemplo, t para el tiempo y θ para un ángulo; 2. los vectores se escriben
con letras negritas, por ejemplo, F para la fuerza, y 3. la magnitud de un vector A se
denota como |A| o simplemente como A (cursiva).
No existe un método universal para indicar cantidades vectoriales al escribir a
S
mano. Las notaciones más comunes son A , A , A y A . A menos que se le indique
S
de otra forma, puede utilizar la convención que le sea más cómoda. Sin embargo,
es imperativo que siempre tenga cuidado en distinguir entre escalares y vectores al
escribirlos.
En los párrafos siguientes se resumen varias propiedades importantes de los
vectores.
Vectores como segmentos de recta dirigidos Cualquier vector A se puede representar geométricamente como un segmento de línea dirigido (una flecha), como
se muestra en la figura 1.2(a). La magnitud de A se denota por A y su dirección se
especifica por el sentido de la flecha y por el ángulo θ que forma con una línea de
referencia fija. Al emplear métodos gráficos, la longitud de la flecha se traza proporcional a la magnitud del vector. Observe que la representación que se muestra en
la figura 1.2(a) está completa debido a que tanto la magnitud como la dirección del
vector están indicadas. En algunos casos también es conveniente emplear la representación que se muestra en la figura 1.2(b), donde al carácter del vector de A se le
da un énfasis adicional utilizando negritas. Las dos representaciones anteriores para
vectores son las que se utilizan en este texto.
A

A

θ

θ
Línea de referencia fija

(a)

(b)

Fig. 1.2
Se observa que un vector no posee una línea de acción única ya que al moverlo
a una línea de acción paralela no cambia su magnitud ni su dirección. En algunas
aplicaciones ingenieriles, la definición de un vector es más restrictiva para incluir
una línea de acción o incluso un punto de aplicación, consulte la sección 2.2.

11

12

CAPÍTULO 1

Introducción a la estática
Igualdad de vectores Se dice que dos vectores A y B son iguales, escritos como
A = B, si: 1. sus magnitudes son iguales, es decir, A = B y 2. si tienen la misma
dirección.
Multiplicación escalar-vector La multiplicación de un escalar m y un vector A,
escrita como mA o Am, se define como sigue:
1. Si m es positivo, mA es el vector de magnitud mA que tiene la misma dirección
que A.
2. Si m es negativo, mA es el vector de magnitud |m|A que está opuestamente dirigido a A.
3. Si m = 0, mA (denominado vector cero o nulo) es un vector de magnitud cero y
dirección arbitraria.
Para m = –1, se observa que (–1)A es el vector que tiene la misma magnitud que
A, pero opuestamente dirigido a A. El vector (–1)A, suele escribirse como –A y se
denomina el negativo de A.
Vectores unitarios Un vector unitario es adimensional con magnitud 1. Por tanto,
si λ representa un vector unitario (|λ| = 1) con la misma dirección que A, se puede
escribir
A = Aλ

Esta representación de un vector con frecuencia es útil ya que separa la magnitud A
y la dirección λ del vector.

B

C

=A

+B

A
(a) Ley del paralelogramo

B

C

=A

+B

Ley del paralelogramo para la suma y ley del triángulo La suma de dos vectores
A y B se define como el vector C que resulta de la construcción geométrica que se
muestra en la figura 1.3(a). Observe que C es la diagonal del paralelogramo formado
por A y B. La operación representada en la figura 1.3(a), escrita como A + B = C
se denomina ley del paralelogramo para la suma. A los vectores A y B se les refiere
como componentes de C, y C se denomina la resultante de A y B. El proceso de
remplazar una resultante por sus componentes se llama descomposición. Por ejemplo, C en la figura 1.3(a) se descompone en sus componentes A y B.
Un enunciado equivalente de la ley del paralelogramo es la ley del triángulo, que
se muestra en la figura 1.3(b). Aquí, la cola de B se coloca en la punta de A y C es
el vector que completa el triángulo, trazado desde la cola de A hasta la punta de B.
El resultado es idéntico si la cola de A se coloca en la punta de B y C se traza desde
la cola de B hasta la punta de A.
Si E, F y G representan tres vectores cualesquiera, se tienen las dos propiedades
importantes siguientes (cada una se deduce directamente de la ley del paralelogramo):
• La suma es conmutativa: E + F = F + E
• La suma es asociativa: E + (F + G) = (E + F) + G

A
(b) Ley del triángulo

Fig. 1.3

A menudo es conveniente encontrar la suma E + F + G (no es necesario utilizar
paréntesis) sumando los vectores desde la punta hasta la cola, como se muestra en la
figura 1.4. La suma de los tres vectores se observa que es el vector trazado desde
la cola del primer vector (E) hasta la punta del último vector (G). Este método, que
se denomina regla del polígono para la suma, se puede ampliar con facilidad a cualquier número de vectores.

1.3 Propiedades fundamentales de los vectores
F
E
E+

F

G
E+F+G

Fig. 1.4
La resta de dos vectores A y B, escrita como A – B, se define como A – B =
A + (–B), como se muestra en la figura 1.5.
A

A
–B

B

–B

Fig. 1.5
Debido a la naturaleza geométrica de la ley del paralelogramo y de la ley del
triángulo, la suma vectorial se puede realizar de manera gráfica. Una segunda técnica es determinar las relaciones entre las varias magnitudes y ángulos de forma
analítica aplicando las leyes de los senos y cosenos a un bosquejo del paralelogramo
(o del triángulo), consulte la tabla 1.1. Tanto el método gráfico como el analítico se
ilustran en el problema de ejemplo 1.4.

Ley de los senos
a

β

γ

b

a 2 = b2 + c2 − 2bc cos α

α
c

a
b
c
=
=
sen α
sen β
sen γ

Ley de los cosenos

b2 = c2 + a 2 − 2ca cos β
c2 = a 2 + b2 − 2ab cos γ

Tabla 1.1

Algunas palabras de advertencia: desafortunadamente los símbolos +, – e =
es común que se utilicen tanto en el álgebra escalar como en la vectorial, debido a
que tienen significados completamente diferentes en los dos sistemas. Por ejemplo,
observe los significados distintos para + e = en las dos ecuaciones siguientes: A +
B = C y 1 + 2 = 3. En la programación de computadoras, esto se conoce como sobrecarga del operador, donde las reglas de la operación dependen de los operandos
implicados en el proceso. A menos que se tenga mucho cuidado, este significado doble de los símbolos puede conducir fácilmente a expresiones inválidas, por ejemplo,
A + 5 (¡un vector no se puede sumar a un escalar!) y A = 1 (¡un vector no puede
ser igual a un escalar!)

13

Problema de ejemplo 1.4
En la figura (a) se muestran dos vectores de posición de magnitudes A = 60 pies
y B = 100 pies. (Un vector de posición es un vector trazado entre dos puntos en el
espacio.) Determine la resultante R = A + B utilizando los métodos siguientes: 1.
analíticamente, empleando la ley del triángulo y 2. gráficamente, empleando la ley
del triángulo.

100

pies

B

A

60

s
pie
30°

70°
(a)

Solución
Parte 1

B=

100

pies

El primer paso en la solución analítica es elaborar un bosquejo (aproximadamente
a escala) de la ley del triángulo. Después la magnitud y dirección de la resultante se
determinan aplicando al triángulo las leyes de los senos y cosenos.
En este problema, la ley del triángulo para la suma de los vectores A y B se
muestra en la figura (b). La magnitud R de la resultante y el ángulo α son las incógnitas que se deben determinar. Aplicando la ley de los cosenos, se obtiene

R
140°

α

A=

60

70°
p

ies

R 2 = 602 + 1002 − 2(60)(100) cos 140°

lo que produce R = 151.0 pies.
Ahora se puede determinar el ángulo α a partir de la ley de los senos:

30°
(b)

R
100
=
sen α sen 140°

Sustituyendo R = 151.0 pies y despejando α, se obtiene α = 25.2°. Con referencia
a la figura (b), se observa que el ángulo que R forma con la horizontal es 30° + α =
30° + 25.2° = 55.2°. Por tanto, la resultante de A y B es
R = 151.0 pies
55.2°

14

Respuesta

Parte 2
En la solución gráfica, la figura (b) se traza a escala con ayuda de una regla y un
transportador. Primero trazamos el vector A a 30° con respecto a la horizontal y después agregamos el vector B a 70° con respecto a la horizontal. Luego la resultante
R se obtiene trazando una línea desde la cola de A hasta la cabeza de B. Ahora se
puede medir directamente en la figura la magnitud de R y el ángulo que forma con
la horizontal.
Por supuesto, los resultados no serán tan precisos como los obtenidos en la solución analítica. Si se tiene cuidado al elaborar el dibujo, la mejor precisión que se
puede esperar es de dos cifras. En este problema debemos obtener R L 150 pies,
inclinada a 55° con respecto a la horizontal.

Problema de ejemplo 1.5
La fuerza vertical P de magnitud 100 kN se aplica al marco que se muestra en la
figura (a). Resuelva P en componentes que sean paralelas a los miembros AB y AC
de la armadura.

A

P = 100 kN

70°
B

P

35°
PAC
110°

35°
70°
C
(a)

35°
PAB
(b)

Solución
El triángulo de fuerzas en la figura (b) representa la suma vectorial P = PAC + PAB.
Los ángulos en la figura se dedujeron de las inclinaciones de AC y AB con la vertical: PAC está inclinada a 35° (paralela a AC) y PAB está inclinada a 70° (paralela a
AB). Aplicando la ley de los senos al triángulo, se obtiene

100
PAB
PAC
=
=
sen 35° sen 35° sen 110°

lo que da las magnitudes de las componentes
PAB = 100.0 kN

PBC = 163.8 kN

Respuesta

15

16

CAPÍTULO 1

Introducción a la estática

Problemas
Resuelva los problemas de este grupo de manera analítica, a menos que su maestro
le especifique una solución gráfica.

v1

30°
60°

v2

Fig. P1.22, P1.23

1.22 Las magnitudes de dos vectores son v1 = 3 m/s y v2 = 2 m/s. Determine su
resultante v = v1 + v2.
1.23

Determine las magnitudes de los vectores v1 y v2 tal que su resultante sea un
vector horizontal de magnitud 4 m/s dirigida hacia la derecha.

1.24

La fuerza aerodinámica total F que actúa sobre el avión tiene una magnitud
de 6250 lb. Resuelva esta fuerza en componentes vertical y horizontal (denominadas
sustentación y resistencia al avance, respectivamente).

6°

1.25 Resuelva la fuerza de 200 lb en componentes a lo largo: (a) de los ejes x y y
y (b) de los ejes x′ y y.

F

Fig. P1.24

1.26

El vector velocidad del bote tiene dos componentes: v1 es la velocidad del
agua y v2 es la velocidad del bote relativa al agua. Si v1 = 3 mi/h y v2 = 5 mi/h,
determine el vector velocidad del bote.

y
200 lb
30°

v2

x
20°

40°
v1

x'

Fig. P1.25

Fig. P1.26

1.27 Dos remolcadores aplican las fuerzas P y Q a la barcaza, donde P = 76 kN
y Q = 52 kN. Determine la resultante de P y Q.

16 m

32 m

P

Q
24 m

Fig. 1.27

12 m

1.22-1.39 Problemas
1.28 Un peso de 500 N está soportado por dos cables, las fuerzas en los cables

y
F2

F1

son F1 y F2. Si se sabe que la resultante de F1 y F2 es una fuerza de magnitud 500 N
que actúa en la dirección y, determine F1 y F2.

50°

35°

1.29 Determine la resultante de los vectores posición A y B.

500 N

B

3m

Fig. P1.28
A

3m
65°
2m

B

O

C

3500 pies

Fig. P1.29

2000 pies

A
1.0 m

17

Fig. P1.30

1.30 Resuelva el vector posición A del automóvil (medido desde el punto fijo O)
en componentes paralelas a OB y OC.
1.31 Resuelva la fuerza de 360 lb en componentes a lo largo de los cables AB y
AC. Utilice α = 55° y β = 30°.

B

C

Los cables de soporte AB y AC están orientados de manera que las componentes de la fuerza de 360 lb a lo largo de AB y AC son 185 lb y 200 lb, respectivamente. Determine los ángulos α y β.

1.33 Las dos fuerzas que se muestran actúan sobre el miembro estructural AB.
Determine la magnitud de P tal que la resultante de estas fuerzas esté dirigida a lo
largo de AB.

β

α

1.32

A
360 lb

Fig. P1.31, P1.32

P
5 kN
60°

40°

θ

A

70°
B

60°
500 lb

Fig. P1.33

Fig. P1.34

T

P
W

Fig. P1.35

1.34 La resultante de las dos fuerzas tiene una magnitud de 650 lb. Determine la
dirección de la resultante y la magnitud de P.
Las fuerzas que actúan sobre la plomada del péndulo son su peso W (W =
2 lb) y la tensión T en la cuerda. Cuando el péndulo alcanza el límite de su oscilación en θ = 30°, se puede demostrar que la resultante de W y T es perpendicular a
la cuerda. Determine la magnitud de T en esta posición.

1.35

C
Norte
a
b
42.5°

63.8°

A 200 m B

1.36 Un topógrafo visualiza un objetivo en C desde los puntos A y B; registra los
ángulos que se muestran. Determine las magnitudes de los vectores posición a y b.

Fig. P1.36

Este

CAPÍTULO 1

Introducción a la estática

1.37 Determine las resultantes siguientes de los vectores posición dados en la

A
C

4m

figura y muéstrelas en un bosquejo de la “caja”: (a) A + B y (b) B + C.

m

*1.38
B

3

18

Para mover el barril de petróleo, la resultante de las tres fuerzas que se
muestran debe tener una magnitud de 500 N. Determine la magnitud y dirección de
la fuerza F mínima que ocasionaría que se mueva el barril.

5m
250 N

Fig. P1.37

F

50 lb

α

Pet
ról
e

R

β

30 lb

25°

o

300 N

Fig. P1.38

1.39 La resultante de las fuerzas de 50 y 30 lb es R. Si R = 65 lb, determine los
ángulos α y β.
Fig. P1.39

Representación de vectores utilizando
componentes rectangulares

1.4

Las propiedades fundamentales de los vectores analizadas en la sección anterior son
independientes de los sistemas coordenados. Sin embargo, en aplicaciones ingenieriles, se acostumbra describir los vectores empleando sus componentes rectangulares y después realizar las operaciones vectoriales, como la suma, en términos de
estas componentes.

Componentes rectangulares y cosenos directores

a.

El marco de referencia que se utiliza en todo este libro se muestra en la figura 1.6(a).
Es un sistema coordenado cartesiano rectangular de mano derecha. Para comprobar
la alineación, curve los dedos de su mano derecha y extienda su dedo pulgar, como
se muestra en la figura. Ahora los ejes coordenados deben estar alineados con su
z

z

Azk

𝛌

k

A

j

θz
y

θx

θy

i
Axi

x

x

(a)

Fig. 1.6

(b)

Ay j

y

1.4 Representación de vectores utilizando componentes rectangulares
mano como sigue: la palma está paralela a la dirección x, los dedos apuntan en
la dirección y y el dedo pulgar se encuentra en la dirección z. En la figura 1.6(a)
también se muestran los vectores base i, j y k del sistema coordenado, que son vectores adimensionales de magnitud unitaria dirigidos en las direcciones coordenadas
positivas.
Si un vector A se resuelve en sus componentes rectangulares, como se ilustra en
la figura 1.6(b), se puede escribir como

A = Ax i + A y j + Az k

(1.5)

donde Axi, Ayj y Azk son las componentes vectoriales de A. Las componentes escalares de A son
A x = A cos θx

A y = A cos θ y

A z = A cos θz

(1.6)

donde θx, θy y θz son los ángulos entre A y los ejes coordenados positivos. Las componentes escalares pueden ser positivas o negativas, dependiendo de si la componente vectorial correspondiente apunta en la dirección coordenada positiva o negativa. La magnitud de A está relacionada con sus componentes escalares mediante

A=

A2x + A2y + A2z

(1.7)

La dirección de A se acostumbra especificarla por sus cosenos directores definidos como
λx = cos θx

λ y = cos θ y

λz = cos θz

(1.8)

Ahora las componentes escalares de A en la ecuación (1.6) son Ax = Aλx, Ay = Aλy
y Az = Aλz, por lo que la ecuación (1.5) adopta la forma

A = A(λ x i + λ y j + λz k) = Aλ

(1.9)

𝛌 = λ x i + λ y j + λz k

(1.10)

donde

es un vector unitario en la dirección de A, como se muestra en la figura 1.6(b). Dado
que la magnitud de 𝛌 es uno, sus componentes satisfacen la identidad
λ2x + λ2y + λ2z = 1

(1.11)

19

CAPÍTULO 1

Introducción a la estática

b.

Suma de vectores empleando componentes rectangulares

Considere los dos vectores A = Axi + Ayj + Azk y B = Bxi + Byj + Bzk. Designando a C como la suma de A y B, se tiene
C = A + B = ( A x i + A y j + A z k) + ( Bx i + B y j + Bz k)

que se puede escribir igual a
C = Cx i + C y j + Cz k
= ( A x + Bx )i + ( A y + B y )j + ( A z + Bz )k

(1.12)

Agrupando componentes iguales, se obtiene que las componentes rectangulares de
C son
C x = A x + Bx

C y = A y + By

C z = A z + Bz

(1.13)

Las ecuaciones (1.13) muestran que cada componente de la suma es igual a la suma
de las componentes. Este resultado se representa en la figura 1.7, donde, sólo por
simplicidad, el plano xy se eligió como un plano que contiene los vectores A y B.
Las ecuaciones (1.12) y (1.13) se pueden, por supuesto, ampliar para incluir la suma
de cualquier número de vectores.

y

B

C

O

=

A

+B

By

A

Ay

Ax

Cy = Ay + By

20

x

Bx

Cx = Ax + Bx

Fig. 1.7

c.

Vectores de posición relativa

El vector trazado desde el origen O de un sistema coordenado hasta el punto B,
S
S
denotado por OB, se denomina vector posición de B. El vector AB, trazado desde el
punto A hasta el punto B, se denomina vector posición de B relativo a A. (Observe
que el vector posición de B relativo a A es el negativo del vector posición de A relaS
S
tivo a B; es decir, AB = −BA.)
S
En la figura 1.8 se muestra el vector de posición relativa AB: el vector trazado
desde A(xA, yA, zA) hasta B(xB, yB, zB). La representación rectangular de este vector es
S
AB = (x B − x A )i + ( y B − y A )j + (z B − z A )k

(1.14)

1.4 Representación de vectores utilizando componentes rectangulares

21

zB – zA

𝛌

d
AB

z

B

y
A

–x
xB

x

A

yB – yA

Fig. 1.8
S
La magnitud de AB (la distancia d en la figura 1.8) es
S
| AB| = d = (x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 + (z B − z A ) 2

(1.15)

S
El vector unitario 𝛌 en la dirección de AB se puede determinar dividiendo el vector
S
AB entre su magnitud:
S
AB
(x B − x A )i + ( y B − y A )j + (z B − z A )k
𝛌= S =
d
| AB|

(1.16)

Por tanto, las componentes de 𝛌 son

λx =

d.

xB − xA
d

λy =

yB − y A
d

λz =

zB − zA
d

(1.17)

Cómo formular un vector en forma rectangular

En estática con frecuencia se encuentra el problema siguiente: dada la magnitud de
un vector y dos puntos de su línea de acción, determine la representación rectangular
del vector. En la figura 1.9 se muestra un vector F que actúa a lo largo de la línea
AB. Suponga que la magnitud de F y las coordenadas de A y B se conocen y que se
quiere escribir el vector F en la forma rectangular F = Fxi + Fyj + Fzk. El procedimiento recomendado es:

F = F𝛌 = F λx i + λ y j + λz k

(1.18)

F𝛌

B
z

F=

S
1. Escriba el vector de posición relativa AB. Las componentes rectangulares de
S
AB se pueden obtener inspeccionando un bosquejo similar a la figura 1.9 o bien
sustituyendo las coordenadas de los puntos A y B en la ecuación (1.14).
S S
2. Evalúe el vector unitario 𝛌 = AB/| AB|.
3. Escriba F en la forma rectangular

𝛌

y
A
x

Fig. 1.9

Problema de ejemplo 1.6
El cable colocado en la armella en la figura (a) se tensiona con la fuerza F de magnitud 500 lb. Determine la representación rectangular de esta fuerza.

z
6 pies

ies
4p
F
A
O

3 pies

B

y

x
(a)

Solución
Debido a que las coordenadas de los puntos A y B en la línea de acción de F se
conocen, el siguiente es un método conveniente para obtener la representación rectangular de F.
S
1. Escriba AB, el vector desde A hasta B, en forma rectangular.
S
El vector AB y sus componentes rectangulares se muestran en la figura (b).
Dos errores comunes que cometen los estudiantes en este punto son elegir los
signos equivocados y mezclar los componentes escalares. Estas dificultades se
pueden evitar tomando un momento para mostrar el vector en un bosquejo hecho
con cuidado del paralelepípedo apropiado. De la figura (b) se observa que

z
ies

p
A 4

6 pies

S
AB = − 4i + 6j − 3k pies

AB
3 pies

O

B

y

x

2. Evalúe 𝛌, el vector unitario desde A hacia B:

(b)

S
AB
𝛌= S =
| AB|

−4i + 6j − 3k
(−4) 2 + 62 + (−3) 2

= −0.5122i + 0.7682j − 0.3841k

3. Escriba F = F𝛌:

z
b

6l

5
A 2

192 lb

F = 500(−0.5122i + 0.7682j − 0.3841k)

384 lb
y

O

= −256i + 384j − 192k lb

x
(c)

22

Las componentes rectangulares de F se muestran en la figura (c).

Respuesta

Problema de ejemplo 1.7
Con referencia a la figura (a), determine: 1. la representación rectangular del vector
posición A y 2. los ángulos entre A y cada uno de los ejes coordenados positivos.

z

Solución

A
30°

Primero se descompone A en dos componentes, como se muestra en la figura (b):
Az a lo largo del eje z y Axy en el plano xy. (Una vez más se observa que un bosquejo
hecho con cuidado es una ayuda esencial al realizar la descomposición vectorial.)
Como A, Az y Axy se encuentran en el mismo plano (un plano diagonal del paralelepípedo), por trigonometría se obtiene

12 m

Parte 1

y

O
40°
x
(a)

A z = A cos 30° = 12 cos 30° = 10.392 m
A x y = A sen 30° = 12 sen 30° = 6 m

z

El paso siguiente, ilustrado en la figura (c), es descomponer Axy en las componentes a lo largo de los ejes coordenados:

Por tanto, la representación rectangular de A es
A = A x i + A y j + A z k = 4.60i + 3.86j + 10.39k m

30° A

Az = A cos 30°

A x = A x y cos 40° = 6 cos 40° = 4.596 m
A y = A x y sen 40° = 6 sen 40° = 3.857 m

Respuesta

Parte 2

y

40°
Axy = A sen 30°

x

(b)

Los ángulos entre A y los ejes coordenados se pueden calcular a partir de las ecuaciones (1.6):

θ y = cos−1
θz = cos−1

Ax
4.596
= cos−1
= 67.5°
A
12
Ay
3.857
= cos−1
= 71.3°
A
12
Az
10.392
= cos−1
= 30.0°
A
12

Respuesta

Estos ángulos se muestran en la figura (d). Observe que no fue necesario calcular θz,
debido a que ya estaba dada en la figura (a).

Az = A cos 30°

θx = cos−1

z

Ay = Axy sen 40°
y

Ax = Axy cos 40°
40°
x

Axy
(c)

z

θz = 30°
A

θy = 71.3°

θx = 67.5°

y

x
(d)

23

Problema de ejemplo 1.8
La polea que se muestra en la figura (a) se somete a las fuerzas P y Q de la banda. Utilizando componentes rectangulares, determine la magnitud y dirección de la
fuerza resultante.
P = 120 lb

y
30°

x

70°
Q = 100 lb
(a)

Solución
Con referencia a la figura (b), las representaciones rectangulares de P y Q son
P = 120 cos 30°i + 120 sen 30°j = 103.9i + 60.0j lb
Q = −100 cos 70°i − 100 sen 70°j = − 34.2i − 94.0j lb

20

1
P=

70°

lb

30°

Q = 100 lb
y
x
(b)

La resultante de P y Q se calcula sumando sus componentes:
R = P + Q = (103.9 − 34.2)i + (60.0 − 94.0)j
= 69.7i − 34.0j lb

Al calcular de la magnitud y la dirección de R, se obtiene
69.7 lb
34.0 lb

θ

Respuesta
R

R = 34.02 + 69.72 = 77.6 lb

24

θ = tan−1

34.0
= 26.0°
69.7

1.40-1.56 Problemas

25

Problemas
1.40 Obtenga la representación rectangular de la fuerza P, dada su magnitud de
30 lb.

z
P

50°
30°

y

z

x

Fig. P1.40

A
r
40°

1.41 La longitud del vector posición r es 240 mm. Determine las componentes
rectangulares de (a) r y (b) el vector unitario dirigido desde O hacia A.

1.42 (a) Calcule el ángulo θz entre el vector fuerza F y el eje. z (b) Determine la
representación rectangular de F dado que F = 240 N.

O

y

50°
x

1.43 Las coordenadas de los puntos A y B son (–3, 0, 2) y (4, 1, 7) pies, respectivamente. Determine: (a) la distancia entre A y B y (b) la representación rectangular
del vector unitario dirigido desde A hacia B.

Fig. P1.41

z

1.44 La corredera se mueve a lo largo de la barra guía AB con una velocidad de

F

v = 6 m/s. Determine las representaciones rectangulares de (a) el vector unitario
dirigido desde A hacia B y (b) el vector velocidad v.

θz
50°
60°

z
y

x

16

8m

v

A
10

m

m

Fig. P1.42
B
12 m

z

5m

x

A
y
3m

F

Fig. P1.44

x

O

4m
y

1.45 Encuentre la representación rectangular de la fuerza F, dado que su magnitud es 240 N.

Fig. P1.45

26

CAPÍTULO 1

Introducción a la estática

1.46 La magnitud de la fuerza F es 120 lb. Encuentre su representación rectangular.

z
15 pies B
18

s
pie

F
A

25 pies

z

80 pies
v

y
x

210

s

pie

s

A
x

B

Fig. P1.46

160
y

pie

Fig. P1.47

1.47

Un rifle en A dispara hacia un objetivo en B. Si la velocidad de la bala es
1800 pies/s, determine la forma rectangular del vector velocidad v.

1.48 Determine los ángulos entre la fuerza F = 1200i + 800j – 1500k N y los
ejes x, y y z. Muestre sus resultados en un bosquejo del sistema coordenado.
1.49 Determine la resultante de las dos fuerzas, cada una con magnitud P.

z

z
120 lb
A
z
F3

5 pies

100 lb

P
a
y
O

a

P
a

B

x

x

ies

3p

ies

4p

y

65°
y
35°

Fig. P1.49

Fig. P1.50

F2

F1

1.50 Determine la resultante de las dos fuerzas que se muestran en la figura.

x

1.51 Las magnitudes de las tres fuerzas son F1 = 1.6 kN, F2 = 1.2 kN y F3 = 1.0
Fig. P1.51

kN. Calcule su resultante en la forma: (a) R = Rxi + Ryj + Rzk y (b) R = Rλ.

1.5 Multiplicación de vectores
1.52 Dadas P = 120 lb y Q = 130 lb, encuentre la representación rectangular de

27

y
P

P + Q.

3

1.53 Si sabe que P = 120 lb y que la resultante de P y Q se encuentra en la direc-

4

x

ción x positiva, determine Q y la magnitud de la resultante.

1.54 Si R es la resultante de las fuerzas P y Q, determine P y Q.

12
5

y

Q

P

Fig. P1.52, P1.53
30°

y
x

P = 3 kN

25°
R = 360 lb

θ

30°

z

x

A
55°

F

R = 2 kN
Q

Q

Fig. P1.54

P

Q

12 pies
D

Fig. P1.55

8p

6p

ies

ies

6

1.55 La fuerza R es la resultante de P y Q. Determine Q y el ángulo θ.

x

8p

B

de modo que la resultante de las fuerzas de los cables F, Q y P está dirigida a lo
largo del eje z. Si F = 120 lb, encuentre P y Q.

1.5
a.

ies

ies

1.56 El poste vertical está asegurado por tres cables. Los cables están pretensados

C

s
pie

6p

Fig. P1.56

Multiplicación de vectores*
B

Producto punto (escalar)

En la figura 1.10 se muestran dos vectores A y B con el ángulo θ entre sus direcciones positivas. El producto punto de A y B se define como
A ⋅ B = AB cos θ

(0 ≤ θ ≤ 180°)

A

θ

(1.19)
Fig. 1.10

Dado que el producto punto es un escalar, también se denomina producto escalar.
Observe que el producto punto es positivo si θ < 90°, negativo si θ > 90° y cero si
θ = 90°.
Las dos propiedades siguientes del producto punto se deducen de su definición
en la ecuación (1.19).
• El producto punto es conmutativo: A ⋅ B = B ⋅ A
• El producto punto es distributivo: A ⋅ (B + C) = A ⋅ B + A ⋅ C
*Observe que la división entre un vector, como 1/A o B/A, no está definida.

y

28

CAPÍTULO 1

Introducción a la estática
De la definición del producto punto, también observe que los vectores base de un
sistema coordenado rectangular satisfacen las identidades siguientes:
i â‹… i = j â‹… j =k â‹… k =1
i â‹… j = j â‹… k =k â‹… i =0

(1.20)

Cuando A y B se expresan en forma rectangular, su producto punto adopta la
forma
A â‹… B = ( A x i + A y j + A z k) â‹… ( Bx i + B y j + Bz k)

lo que, aplicando la propiedad distributiva del producto punto y las ecuaciones
(1.20), se reduce a
A â‹… B = A x B x + A y B y + A z Bz

(1.21)

La ecuación (1.21) es un método poderoso y relativamente simple para calcular el
producto punto de dos vectores que se encuentran en forma rectangular.
Las siguientes son dos de las aplicaciones más importantes del producto punto.
Determinación del ángulo entre dos vectores El ángulo θ entre los dos vectores
A y B en la figura 1.11 se puede determinar a partir de la definición del producto
punto en la ecuación (1.19), que se puede reescribir como

λB
B

λA

cos θ =

A

θ

Aâ‹…B A B
= â‹…
AB
A B

Si λA = A/A y λB = B/B son los vectores unitarios que tienen las mismas direcciones que A y B, como se muestra en la figura 1.11, la última ecuación toma la
forma

Fig. 1.11

cos θ = λ A ⋅ λ B

(1.22)

Si los vectores unitarios se escriben en forma rectangular, este producto punto se
evalúa fácilmente con la ecuación (1.21).
B

λA
A

θ

Determinación de la componente ortogonal de un vector en una dirección
dada Si se proyecta B sobre A como en la figura 1.12, la longitud proyectada
B cos θ se denomina componente ortogonal de B en la dirección de A. Dado que θ
es el ángulo entre A y B, la definición del producto punto, A ⋅ B = AB cos θ, da

os θ

B cos θ =

Bc

Fig. 1.12

Aâ‹…B
A
=B â‹…
A
A

Como A/A = 𝛌A (el vector unitario en la dirección de A), como se muestra en la
figura 1.12, la última ecuación se transforma en
B cos θ = B ⋅ 𝛌 A

(1.23)

La componente ortogonal de B en la dirección de
A es igual a B ⋅ 𝛌 A .

(1.24)

Por tanto,

1.5 Multiplicación de vectores
b.

Producto cruz (vectorial)

El producto cruz C de dos vectores A y B, denotado por
C =A × B

tiene las características siguientes (consulte la figura 1.13):
• La magnitud de C es
C = AB sen θ

(1.25)

donde θ (0 ≤ θ ≤ 180°) es el ángulo entre las direcciones positivas de A y B.
(Observe que C siempre es un número positivo.)
• C es perpendicular a A y B.
• El sentido de C se determina por la regla de la mano derecha, que establece que
cuando los dedos de su mano derecha se enrollan en la dirección del ángulo θ
(dirigido de A hacia B), su dedo pulgar apunta en la dirección de C.*

C = A×B

B

θ
A

Fig. 1.13

El producto cruz de dos vectores también se denomina producto vectorial.
Se puede demostrar que el producto cruz es distributivo; es decir,
A × (B + C) = (A × B) + (A × C)

Sin embargo, el producto cruz no es asociativo ni conmutativo. En otras palabras,
A × (B × C) ≠ (A × B) × C
A × B ≠B × A

De hecho, se puede deducir de la regla de la mano derecha que A × B = – B × A.
De la definición del producto cruz C = A × B, se observa que: 1. si A y B son
perpendiculares (θ = 90°), entonces C = AB y 2. si A y B son paralelos (θ = 0° o
180°), entonces C = 0.
*Un enunciado alternativo de la regla de la mano derecha es: la dirección de C es la dirección en que un
tornillo derecho avanza cuando se gira en la dirección de θ (dirigido de A hacia B).

29

30

CAPÍTULO 1

Introducción a la estática
De las propiedades del producto cruz, se deduce que los vectores base de un
sistema coordenado rectangular satisfacen las identidades siguientes:
i × i=0

j × j =0

k × k =0

i × j=k

j × k =i

k × i =j

(1.26)

donde las ecuaciones en la fila inferior ahora son válidas en un sistema coordenado
de mano derecha. Si los ejes coordenados se identifican tal que i × j = –k, j × k =
–i y k × i = –j, se dice que el sistema es de mano izquierda. En la figura 1.14* se dan
ejemplos de sistemas coordenados de mano derecha e izquierda.

z

z

k

k
j

i

O

i

y
j

O

x

y

x
Sistema coordenado de mano
derecha (i × j = k, etcétera)

Sistema coordenado de mano
izquierda (i × j = –k, etcétera)

Fig. 1.14

Cuando A y B se expresan en forma rectangular, su producto cruz es
A × B = ( A x i + A y j + A z k) × ( Bx i + B y j + Bz k)

Utilizando la propiedad distributiva del producto cruz y las ecuaciones (1.26), esta
ecuación se vuelve
A × B = ( A y Bz − A z B y )i
− ( A x Bz − A z Bx )j

(1.27)

+ ( A x B y − A y Bx )k

Se obtiene una expresión idéntica cuando las reglas para desarrollar un determinante
de 3 × 3 se aplican al arreglo siguiente de nueve términos (debido a que no todos
éstos son escalares, el arreglo no es un determinante verdadero):
i
A × B = Ax
Bx

j
Ay
By

k
Az
Bz

(1.28)

*En este libro se supone que todos los sistemas coordenados rectangulares son de mano derecha.

1.5 Multiplicación de vectores
Usted puede emplear cualquier método para el desarrollo de los determinantes,
pero encontrará que la técnica siguiente, denominada desarrollo por menores utilizando la primera fila, es muy conveniente.
a
d
g

b
e
h

c
e
f =a
h
i

d
f
−b
g
i

d
f
+c
g
i

e
h

= a(ei − f h) − b(di − f g) + c(dh − eg)

Al desarrollar la ecuación (1.28) mediante este método, se tiene que los determinantes de 2 × 2 son iguales a las componentes i, j y k del producto cruz.

c.

Triple producto escalar

De los productos vectoriales que comprenden tres o más vectores, el que es más útil
en estática es el triple producto escalar. El triple producto escalar se origina cuando
el producto cruz de dos vectores se multiplica escalarmente con un tercer vector, por
ejemplo, A × B ⋅ C. Al escribir este producto no es necesario mostrar el paréntesis
ya que A × B sólo se puede interpretar de una manera, el producto cruz se debe
efectuar primero; de lo contrario la expresión no tiene sentido.
Suponiendo que A, B y C se expresan en forma rectangular y recordando la
ecuación (1.27), el triple producto escalar adopta la forma
A × B ⋅ C = ( A y Bz − A z B y ) i − ( A x Bz − A z Bx )j
+ ( A x B y − A y Bx )k ⋅ (C x i + C y j + C z k)

Empleando la ecuación (1.21) y las propiedades del producto punto de los vectores
base rectangulares, esta expresión se simplifica a
A × B ⋅ C = ( A y Bz − A z B y )C x − ( A x Bz − A z Bx )C y
+ ( A x B y − A y Bx )C z

(1.29)

Por tanto, el triple producto escalar se puede escribir en la siguiente forma de determinante, que es fácil de recordar:
Ax
A × B ⋅ C = Bx
Cx

Ay
By
Cy

Az
Bz
Cz

(1.30)

Las identidades siguientes relativas al triple producto escalar son útiles:
A × B ⋅ C =A ⋅ B × C =B ⋅ C × A =C ⋅ A × B

(1.31)

Observe que el valor del triple producto escalar no se altera si se intercambian las
ubicaciones del punto y cruz o si se cambian las posiciones de A, B y C, siempre que
se mantenga el orden cíclico A-B-C.

31

Problema de ejemplo 1.9
Dados los vectores
A = 8i + 4j − 2k lb
B = 2j + 6k pies
C = 3i − 2j + 4k pies

calcule lo siguiente: 1. A ⋅ B; 2. la componente ortogonal de B en la dirección de C;
3. el ángulo entre A y C; 4. A × B; 5. un vector unitario λ que es perpendicular a A
y B, y 6. A × B ⋅ C.

Solución
Parte 1
De la ecuación (1.21), el producto punto de A y B es
A ⋅ B = A x Bx + A y B y + A z Bz = 8(0) + 4(2) + (−2)(6)
= −4 lb ⋅ pie

Respuesta

El signo negativo indica que el ángulo entre A y B es mayor que 90°.

Parte 2
Si θ es el ángulo entre B y C, de la ecuación (1.23) se obtiene

B cos θ = B ⋅ 𝛌 C = B ⋅

=

C
= (2j + 6k) â‹…
C

3i − 2j + 4k
32 + (−2) 2 + 42

(0)(3) + (2)(−2) + (6)(4)
√29

= 3.71 pies

Parte 3
Si α es el ángulo entre A y B, de la ecuación (1.22) se obtiene

cos α = λ A ⋅ λ C =
=

=

32

A C
â‹…
A C
8i + 4j − 2k
82 + 42 + (−2) 2

â‹…

3i − 2j + 4k
32 + (−2) 2 + 42

(8)(3) + (4)(−2) + (−2)(4)
84

29

= 0.162 09

Respuesta

lo que da
α = 80.7°

Respuesta

Parte 4
Con referencia a la ecuación (1.28), el producto cruz de A y B es

i
A × B = Ax
Bx
=i

4
2

j
Ay
By

i j
k
Az = 8 4
Bz
0 2

k
−2
6

8 4
8 −2
−2
+k
−j
0 2
0
6
6

= 28i − 48j + 16k lb ⋅ pie

Respuesta

Parte 5
El producto cruz A × B es perpendicular a A y B. Por tanto, un vector unitario en esa
dirección se obtiene dividiendo A × B, que fue evaluado antes, entre su magnitud
A×B
|A × B|

=

28i − 48j + 16k
282 + (−48) 2 + 162

= 0.484i − 0.830j + 0.277k

Como el negativo de este vector también es un vector unitario que es perpendicular
a A y B, se obtiene
𝛌 = ± (0.484i − 0.830j + 0.277k)

Respuesta

Parte 6
El triple producto escalar A × B ⋅ C se evalúa con la ecuación (1.30)

Ax
A × B ⋅ C = Bx
Cx
=8

2
−2

Ay
By
Cy

8
4
Az
Bz = 0
2
Cz
3 −2

−2
6
4

0
0 6
6
+ (−2)
−4
3
3 4
4

= 160 + 72 + 12 = 244 lb â‹… pie 2

2
−2

Respuesta

33

CAPÍTULO 1

34

Introducción a la estática

Problemas
1.57 Calcule el producto punto A ⋅ B para cada uno de los casos siguientes. Identifique las unidades de cada producto.
(a) A = 6j + 9k pies
B = 7i − 3j + 2k pies
(b) A = 2i − 3j m
B = 6i − 13k N
(c) A = 5i − 6j − k m B = − 5i + 8j + 6k m

1.58 Calcule el producto cruz C = A × B para cada uno de los casos indicados en
el problema 1.57. Identifique las unidades de cada producto.

1.59 Dados
r = 5i + 4j + 3k m (vector posición)

z

F = 30i − 20j − 10k N (vector fuerza)
λ = 0.6j + 0.8k ((vector unitario adimensional)
1.5 m

calcule (a) r × F ⋅ 𝛌 y (b) 𝛌 × r ⋅ F.
A

C

1.60 Calcule A × B y C × B para los vectores que se muestran en la figura.

B
y
x

1.2

2m

m

1.61 Utilice el producto punto para encontrar el ángulo entre los vectores posición
A y B. Verifique sus resultados por trigonometría.
1.62 Utilice el producto punto para encontrar el ángulo entre los vectores posición A y B que se muestran en la figura.

Fig. P1.60, P1.61

1.63

Si A y B son dos vectores no paralelos que se encuentran en un plano común S. Si C = A × (A × B), ¿cuál de los enunciados siguientes es válido: i. C = 0;
ii. C se encuentra en el plano S y iii. C es perpendicular al plano S?

m

z

12

0

m

1.64 Determine cuál de los vectores posición B siguientes es perpendicular a
A = 3i – 5j + 2k m:

B
50°

A

18

0

m

m

y

x

200 mm

Fig. P1.62

(a)
(b)
(c)
(d)

B = 5i + 3j − 2k m
B = 2i + 3j + 4k m
B =i + j + k m
B = 3i + j − 2k m

1.65 Encuentre un vector unitario que sea perpendicular a A = 5i – 2j + 2k pies
y B = –3i + 2j + 4k pies.
1.66 Los tres puntos A(0, –2, 2), B(–1, 4, 1) y C(3, 0, 0) definen un plano. Las
coordenadas están en pulgadas. Determine un vector unitario que sea perpendicular
a este plano.

1.67 Determine la componente ortogonal de C = r × F en la dirección del

vector unitario λ donde r = 0.2i + 0.3j – 0.2k m, F = 300i – 100j + 50k N y
𝛌 = (i + j + k)/ 3

1.57-1.76 Problemas
Calcule la componente ortogonal de F = 6i + 20j – 12k lb en la dirección
del vector A = 2i – 3j + 5k pies.

1.68

y

x'
v

y'

1.69 Utilizando el producto punto, encuentre las componentes del vector veloci-

dad v = 20i + 12j km/h en la dirección de los ejes x′ y y′.

35

60°

30°

x

O

*1.70 Descomponga A = 3i + 5j – 4k pulg en dos componentes vectoriales, una

paralela a y la otra perpendicular a B = 6i + 2k pulg. Exprese cada una de sus respuestas como una magnitud multiplicada por un vector unitario.

Fig. P1.69

1.71 SDemuestre que la distancia más corta entre el punto P y la línea AB es

P

d = | AP × 𝛌 AB | donde 𝛌AB es un vector unitario en la dirección de la línea.

d

B

1.72 Determine el valor del escalar a si los tres vectores siguientes tienen que

encontrarse en el mismo plano: A = 2i – j + 2k m, B = 6i + 3j + ak m y C = 16i
+ 46j + 7k m.

λAB

A

*1.73 Descomponga la fuerza F = 20i + 30j + 50k lb en dos componentes, una

Fig. P1.71

perpendicular al plano ABC y la otra en el plano ABC.
z

1.74

Se puede demostrar que un área plana se puede representar por un vector
A = A𝛌, donde A es el área y 𝛌 representa un vector unitario normal al plano del
área. Demuestre que el vector área del paralelogramo formado por los vectores a y b
que se muestran en la figura es A = a × b.

F

z
A

λ

b

A = Aλ

5 pulg

B

ulg
2p O

6p

ulg

x
C

Área = A

y

Fig. P1.73
a
y

O
x

Fig. P1.74

1.75 Las coordenadas de las aristas de un triángulo ABC son A(3, –1, 0), B(–2, 2,
3) y C(0, 0, 4). Las unidades son pulgadas. Calcule el área del triángulo ABC. (Sugerencia: consulte el problema 1.74.)

1.76 Demuestre que |a × b ⋅ c| es igual al volumen de un paralelepípedo que tiene
bordes a, b y c. (Sugerencia: consulte el problema 1.74.)

36

CAPÍTULO 1

Introducción a la estática

Repaso de ecuaciones
Ley universal de la gravitación
F = Gm A m B /R 2
G = 6.67 × 10−11 m3 /(kg ⋅ s2 )
= 3.44 × 10−8 pie4 /(lb ⋅ s4 )

Componentes rectangulares de vectores
A = Ax i + A y j + Az k
A + B = ( A x + Bx )i + ( A y + B y )j + ( A z + Bz )k
S
AB = (x B − x A )i + ( y B − y A )j + (z B − z A )k

Multiplicación de vectores
A ⋅ B = A x Bx + A y B y + A z Bz = AB cos θ
i
A × B = Ax
Bx

j
Ay
By

k
Az
Bz

Ax
A × B ⋅ C = Bx
Cx

Ay
By
Cy

Az
Bz
Cz

θ = ángulo entre A y B

|A × B| = AB sen θ

2
Operaciones básicas
con sistemas de fuerzas

2.1

Introducción

La utilidad del álgebra vectorial en problemas del mundo real se origina del hecho
de que varias cantidades físicas encontradas comúnmente poseen propiedades de los
vectores. Una de esas cantidades es la fuerza. Stevenius (1548-1620) demostró que
ésta obedece la ley del paralelogramo o la suma.
En este capítulo se inicia el estudio de los efectos de fuerzas sobre partículas y
cuerpos rígidos. En particular, aprenderemos cómo utilizar el álgebra vectorial para
reducir sistemas de fuerzas a un sistema equivalente más simple. Si las fuerzas son
concurrentes (todas ellas se intersecan en el mismo punto), se demostrará que el
sistema equivalente es una sola fuerza. La reducción de un sistema de fuerzas no
concurrentes requiere dos conceptos vectoriales adicionales: el momento de una
fuerza y el par. En este capítulo se analizan los dos conceptos.

2.2

Un concepto fundamental de la estática es la equivalencia de fuerzas. Por
ejemplo, una fuerza simple puede producir el mismo efecto sobre la plataforma de perforación flotante que las
dos fuerzas aplicadas por los remolcadores. La equivalencia de fuerzas
es uno de los temas que se analizan
en este capítulo. Don Farrall/Photodisc/Getty Images

Equivalencia de fuerzas

Recordemos que los vectores son cantidades que tienen magnitud y dirección y que
se suman de acuerdo con la ley del paralelogramo. Se dice que dos vectores que tienen la misma magnitud y dirección son iguales.

37

38

CAPÍTULO 2

Operaciones básicas con sistemas de fuerzas
En mecánica, el término equivalencia implica intercambio; dos vectores se consideran equivalentes si se pueden intercambiar sin cambiar el resultado del problema. La igualdad no siempre resulta en equivalencia. Por ejemplo, una fuerza aplicada a un cierto punto en un cuerpo no necesariamente produce el mismo efecto sobre
el cuerpo que una fuerza igual actuando en un punto diferente.
Desde el punto de vista de la equivalencia, los vectores que representan cantidades físicas se clasifican en los tres tipos siguientes:
• Vectores fijos: vectores equivalentes que tienen la misma magnitud, dirección y
punto de aplicación.
• Vectores deslizantes: vectores equivalentes que tienen la misma magnitud, dirección y línea de acción.
• Vectores libres: vectores equivalentes que tienen la misma magnitud y dirección.
Es posible que una cantidad física sea un tipo de vector, digamos, fijo, en una
aplicación y otro tipo de vector, como deslizante, en otra aplicación. En el álgebra
vectorial, repasada en el capítulo 1, todos los vectores se trataron como vectores
libres.

2.3

Fuerza

Fuerza es el término asignado a la interacción mecánica entre cuerpos. Una fuerza
puede afectar tanto el movimiento como la deformación del cuerpo sobre el que
actúa. Las fuerzas se pueden originar del contacto directo entre cuerpos o se pueden
aplicar a una distancia (como la atracción gravitacional). Las fuerzas de contacto se
distribuyen sobre un área superficial del cuerpo, en tanto que las fuerzas que actúan
a una distancia se distribuyen sobre el volumen del cuerpo.
En ocasiones el área sobre la que se aplica una fuerza de contacto es tan pequeña
que se puede aproximar por un punto, caso en el cual se dice que la fuerza está concentrada en el punto de contacto. El punto de contacto también se denomina punto
de aplicación de la fuerza. La línea de acción de una fuerza concentrada es la línea
que pasa por el punto de aplicación y es paralela a la fuerza. En este capítulo sólo
se consideran fuerzas concentradas; el análisis de las fuerzas distribuidas inicia en
el capítulo siguiente.
La fuerza es un vector fijo, debido a que una de sus características (además de
su magnitud y dirección) es su punto de aplicación. Como una prueba informal,
considere las tres barras idénticas que se muestran en la figura 2.1, cada una cargada por dos fuerzas de magnitud P iguales pero opuestas. Si las fuerzas se aplican
como se muestra en la figura 2.1(a), la barra está en tensión y su deformación es un
alargamiento. Si se intercambian las fuerzas, como se observa en la figura 2.1(b),
la barra se pone en compresión, lo que resulta en su acortamiento. Las cargas en la
figura 2.1(c), donde las dos fuerzas actúan en el punto A, no producen deformación.
Observe que las fuerzas en los tres casos tienen la misma línea de acción y la resultante es cero; sólo los puntos de aplicación son diferentes. Por tanto, se concluye
que el punto de aplicación es una característica de una fuerza, en lo que se refiere
a la deformación.
Sin embargo, si la barra es rígida (lo que significa que la deformación es depreciable), no habrá diferencias apreciables en el comportamiento de las tres barras en


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