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matematica aplicada web 2012 1 optimizado .pdf



Nombre del archivo original: matematica_aplicada_web_2012-1_optimizado.pdf
Título: Microsoft Word - CALCULO INTEGRAL p1 COMPUERTAS-BELLAVISTA 2012-1
Autor: Miguel

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Matemáticas
Aplicada

GESTIÓN
DITORIAL

Clemente Mora González
Jefe del Departamento
de Fomento Editorial
Leticia Mejia García
Coordinadora de Fomento Editorial
Ulises Ramírez Hernández
Coordinador de Diseño Gráfico
Miguel Antonio González Vidales
Gestión Administrativa
Mayra Guzmán Gallego
Diseño Gráfico
DIRECCIÓN GENERAL
Av. Panamá #199 Esquina con Buenos Aires.
Col. Cuauhtémoc Sur
Tels. 01 (686) 9 05 56 00 al 08
Correo Electrónico: principal@cecytebc.edu.mx
Página Web: www.cecytebc.edu.mx
CICLO ESCOLAR 2012-1
Prohibida la reproducción total o parcial
de esta obra incluido el diseño tipográfico
y de portada por cualquier medio,
electrónico o mecánico, sin el consentimiento
por escrito del editor.

Nota:
Al personal Docente interesado en enriquecer el contenido del presente
documento, le agradeceremos hacernos llegar sus comentarios o aportaciones
a los siguientes correos:

acaro@cecytebc.edu.mx
fomentoeditorial@cecytebc.edu.mx

José Guadalupe Osuna Millán
Gobernador del Estado
de Baja California
Javier Santillán Pérez
Secretario de Educación
y Bienestar Social del Estado
CECYTE BC
Adrian Flores Ledesma
Director General
Jesús Gómez Espinoza
Director Académico
Ricardo Vargas Ramírez
Director de Administración y Finanzas
Olga Patricia Romero Cázares
Directora de Planeación
Argentina López Bueno
Directora de Vinculación
Ángela Aldana Torres
Jefe del Departamento de Evaluación Académica
MUNICIPIO DE MEXICALI
Cristina de los Ángeles Cardona Ramírez
Directora del Plantel Los Pinos
Laura Gómez Rodríguez
Encargada del Plantel San Felipe
Carlos Zamora Serrano
Director del Plantel Bella Vista

Directorio

Jesús Ramón Salazar Trillas
Director del Plantel Xochimilco
Rodolfo Rodríguez Guillén
Director del Plantel Compuertas
Abraham Limón Campaña
Director del Plantel Misiones
Francisco Javier Cabanillas García
Director del Plantel Guadalupe Victoria
Román Reynoso Cervantes
Director del Plantel Vicente Guerrero
MUNICIPIO DE TIJUANA
Martha Xóchitl López Félix
Directora del Plantel El Florido
María de los Ángeles Martínez Villegas
Directora del Plantel Las Águilas
Amelia Vélez Márquez
Directora del Plantel Villa del Sol
Bertha Alicia Sandoval Franco
Directora del Plantel Cachanilla
Rigoberto Gerónimo González Ramos
Director del Plantel Zona Río
Jorge Ernesto Torres Moreno
Director del Plantel El Niño
Joel Chacón Rodríguez
Director del Plantel El Pacífico
Efraín Castillo Sarabia
Director del Plantel Playas de Tijuana
Benito Andrés Chagoya Mortera
Director del Plantel Altiplano
Juan Martín Alcibia Martínez
Director del Plantel La Presa
MUNICIPIO DE ENSENADA
Alejandro Mungarro Jacinto
Director del Plantel Ensenada
Emilio Rios Macias
Director del Plantel San Quintín
MUNICIPIO DE ROSARITO
Manuel Ignacio Cota Meza
Director del Plantel Primo Tapia
Héctor Rafael Castillo Barba
Director del Plantel Rosarito Bicentenario
MUNICIPIO DE TECATE
Christopher Díaz Rivera
Encargado del Plantel Tecate

 

MENSAJE DEL GOBERNADOR DEL ESTADO
Jóvenes Estudiantes de CECYTE BC:
La educación es un valuarte que deben apreciar durante
su estancia en el Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos
del Estado de Baja California, dado la formación y calidad
educativa que les ofrece la Institución y sus maestros.
Por ello, asuman el compromiso que el Gobierno del Estado
hace para brindarles educación media superior, a fin de que en
lo futuro tengan mejores satisfacciones de vida, y se conviertan
en impulsores y promotores del crecimiento exitoso, con la
visión que tiene nuestra entidad en el plano nacional.
Esta administración tiene como objetivo crear espacios
y condiciones apropiadas para que en un futuro inmediato, el
campo laboral tenga profesionistas técnicos de acuerdo al perfil
de la industria que cada día arriba a nuestra entidad; por lo
que los invito a ser mejores en sus estudios, en su familia
y en su comunidad.
En ustedes se deposita la semilla del esfuerzo y dedicación que
caracteriza a los bajacalifonianos. Son el estandarte
generacional que habrá de marcar la pauta de nuestro
desarrollo.Como Gobierno del Estado, compartimos el reto de
ser formadores de los futuros profesionistas técnicos que saldrán
del CECYTE BC.
Unamos esfuerzos, Gobierno, Sociedad, Maestros y Alumnos,
para brindar y recibir una mejor educación en Baja California,
ser punta de desarrollo humano, crecimiento industrial y
económico, y factor importante del progreso de México.

 

MENSAJE DEL SECRETARIO DE EDUCACIÓN
Alumno de CECYTE BC:
La educación es una herramienta que aumenta tus oportunidades de
desarrollo personal, y permite ampliar tu horizonte de posibilidades
de progreso económico y social.
Bajo esa perspectiva, el Gobierno del Estado de Baja California
asume con responsabilidad su compromiso con los jóvenes en la tarea
de crear espacios educativos en el nivel medio superior, y ofrecerles
programas de estudios tecnológicos que les permitan integrarse con
competencia a fuentes de trabajo y/o continuar estudios superiores.
El Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Baja
California, es un ejemplo de lo anterior. En las escuelas de esta
Institución, los estudiantes pueden encontrar el camino de la
superación, y el apoyo para alcanzar las metas que visualizan para
forjar su futuro.
Entre esos apoyos se encuentran la publicación y entrega de este
material educativo, que el CECYTE BC distribuye, con el objetivo de
que lo utilices en beneficio de tus estudios.
La tarea que han desarrollado maestros, alumnos y autoridades
aducativas en torno a CECYTE BC, han convertido a esta Institución
en un modelo para la formación de generaciones de profesionistas
técnicos que demanda el sector productivo que se asienta en la
región.
Además de eso, el Cole gio se ha destacado por alentar el
acercamiento de los padres de familia con la escuela, como una
acción tendiente a fortalecer los vínculos que deben existir entre
ellos, los docentes y administrativos en el proceso educativo, por ser
esta, una responsabilidad compartida.
Por todo esto, te felicito por realizar tus estudios en un plantel del
CECYTE BC. Te exhorto a valorar este esfuerzo que hace la sociedad
a través de la Administración Estatal, y a que utilices con pertinencia
los materiales que se te otorgan para apoyar tu formación profesional.

 

PRESENTACIÓN
El libro que tienes en tus manos representa un
importante esfuerzo del Colegio de Estudios Científicos y
Tecnológicos del Estado de Baja California, que a través de sus
academias de profesores te proporciona material de calidad
para el estudio de las distintas asignaturas que cursarás en tu
preparación como Bachiller Técnico.
Los contenidos corresponden a los programas establecidos
para cada una de las asignaturas de acuerdo a la reforma
integral de la educación media superior, y enriquecidos por las
competencias comunes del Sistema Nacional de Bachillerato.
Este ejemplar, encierra conocimientos, aprendizaje, análisis y
habilidades que deberás de poner en práctica en tu vida diaria,
convertida en una acción educativa más, que el Colegio
te ofrece para obtener una mejor formación académica.
Te invitamos a que valores y obtengas el mayor provecho a esta
obra, que fue diseñada especialmente para lo más preciado del
Colegio: sus Alumnos.

Atentamente

Adrian Flores Ledesma

DIRECTOR GENERAL DEL CECYTE BC

 

gradecimiento
Un especial agradecimiento a los Docentes y Administrativos de
CECYTE BC, que colaboraron e hicieron posible la edición de estas
Guías de Aprendizaje Básicas y Material Didáctico.
El Colegio
SEGUNDO SEMESTRE
• MANUAL DE QUÍMICA II •
Mario Báez Vázquez

ASESOR ACADÉMICO DEL DIRECTOR GENERAL DEL
CECYTEBC

• GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA •
Andrés Sarabia Ley

COORDINADOR DE FORMACIÓN PROPEDÉUTICA, D.G.

Andrés Aguilar Mezta

DOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCO

• INGLÉS 2 •
Mauro Alberto Ochoa Solano
Alonso Palominos Tapia
Bertha Alicia Canceco Jaime
Alejandra Agúndez
DOCENTES DEL PLANTEL ENSENADA

• FÍSICA I •
Andrés Sarabia Ley
COORDINADOR DE FORMACIÓN PROPEDÉUTICA, D.G.

Juan Francisco Cuevas Negrete
Silvia Elisa Inzunza Ornelas
Manuel Norberto Quiroz Ortega
Javier Iribe Mendoza
María Del Carmen Equihua Quiñonez
Alvaro Soto Escalante
María Guadalupe Bañuelos Cisneros
DOCENTES DEL PLANTEL BELLAVISTA

• ECOLOGÍA •
Aidé Aracely Pedraza Mendoza
Clara Angélica Rodríguez Sánchez
DOCENTES DEL PLANTEL COMPUERTAS

Gloria Mosqueda Contreras
Sulma Loreto Lagarda Lagarda
Petra Cantoral Gómez
Eva Pérez Vargas
DOCENTES DEL PLANTEL BELLAVISTA

• QUÍMICA 2 •
Saúl Torres Acuña
Agustín Valle Ruelas

DOCENTES DEL PLANTEL XOCHIMILCO

• LECTURA, EXPRESIÓN ORAL
Y ESCRITA 2 •
María Guadalupe Valdivia Martínez
DOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS

María Elena Padilla Godoy

COORDINADORA DE FORMACIÓN VALORAL, D.G.

María Trinidad Salas Leyva

CAPTURISTA DEL DEPARTAMENTO DE DOCENCIA, D.G.

Lina Rodríguez Escárpita

ENCARGADA DEL GRUPO OVIEDO MOTA

CUARTO SEMESTRE
• CÁLCULO •
Silvia Elisa Inzunza Ornelas
Manuel Norberto Quiroz Ortega
Javier Iribe Mendoza
María Del Carmen Equihua Quiñonez
Alvaro Soto Escalante
María Guadalupe Bañuelos Cisneros
DOCENTES DEL PLANTEL BELLAVISTA

• INGLÉS 4 •
Adriana Cera Morales

SEXTO SEMESTRE
• MATEMÁTICAS APLICADA •
Manuel Norberto Quiroz Ortega
Silvia Elisa Inzunza Ornelas
DOCENTES DEL PLANTEL BELLAVISTA

Eloísa Morales Collín
Ismael Castillo Ortíz

DOCENTES DEL PLANTEL COMPUERTAS

• BIOQUÍMICA •
José Manuel Soto
DOCENTE DEL GRUPO PORTALES

Aidé Araceli Pedraza Mendoza
DOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS

Alejandra Machuca
Cristina Félix

DOCENTES DEL PLANTEL MISIONES

Enid Quezada Matus
Sergio Alberto Seym Guzmán
DOCENTES DEL GRUPO CENTENARIO

COORDINACIÓN Y
REVISIÓN ACADÉMICA

DOCENTE DEL GRUPO PORTALES

Verónica Murillo Esquivias
DOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS

Manuel Arvizu Ruíz
Joaquín Alberto Pineda Martínez
Lina Roxana Cárdenas Meza
Juan Olmeda González
Juliana Camacho Camacho
DOCENTES DEL PLANTEL BELLAVISTA

Alberto Caro Espino
JEFE DEL DEPARTAMENTO DE DOCENCIA

Denisse Samaniego Apodaca
RESPONSABLE DE FORMACIÓN PROFESIONAL

 

ÍNDICE

UNIDAD I. Métodos de integración…………………………………

18

1.1 Inmediatas………………………………………………………………………… 18
1.2 Integración por partes……………………………………………………………. 21
1.3 Integración por sustitución o cambio de variable……………………………... 24
1.4 Integración por fracciones parciales……………………………………………. 27

UNIDAD II. La integral como área bajo la curva………………….

37

2.1 Áreas por aproximación de límites de sumas…………………………………. 37
2.2 Suma de Riemann……………………………………………………………….. 43
2.3 Integral definida………………………………………………………………...… 45
2.4 Teorema fundamental del cálculo……………………………………………… 54
2.5 Calculo del área de regiones comprendidas entre dos curvas……………… 54

UNIDAD III. Aplicaciones de la integral……………………………

57

3.1 Calculo de volúmenes…………………………………………………………… 57
3.2 Aplicación del cálculo integral en la geometría……………………………….. 61
3.3 Aplicación del cálculo integral en la física……………………………………... 66
3.4 Aplicaciones a la economía…………………………………………………...… 68 
 

BIBLIOGRAFÍA…………………………………………………………

13
 

71

14
 

Objetivo:
El alumno:

Resolverá problemas sobre razones de cambio y la derivada, aplicando sus
principios, conceptos y reglas en la interpretación gráfica de contextos de las
ciencias naturales, económico-administrativas y sociales; contribuyendo a generar
un ambiente escolar colaborativo y responsable.

15
 

UNIDAD I. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
COMPETENCIA: Formula y resuelve problemas relacionados con la integral
indefinida, aplicando diferentes métodos.
SABERES:
1. Inmediatas.
2. Integración por partes.
3. Integración por sustitución o cambio de variable.
4. Integración por fracciones parciales.

1. Inmediatas.
Para el cálculo de integrales indefinidas por el método de integración inmediato se
utilizan las reglas básicas de integración.
Reglas básicas y propiedades de la integral indefinida:
1.

∫ 0dx = C

7.

2.

∫ kdx = kx + C

8. ∫ sec 2 xdx = tan x + C

3.

∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx

9. ∫ sec x tan xdx = sec x + C

4.

∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx

10.

∫ csc

x n+1
+ C,
n +1
la potencia)

11.

∫ csc x cot xdx = − csc x + C

5.

6.

n
∫ x dx =

n ≠ −1

(Regla de

∫ senxdx = − cos x + C

2

xdx = − cot x + C

∫ cos xdx = senx + C

EJEMPLO 1:
Encontrar:

∫ 12 x dx  
5

Utilizando la regla de la potencia

n
∫ x dx =

x n+1
+ C,
n +1

n ≠ −1 :

⎛ x6 ⎞
⎛ x 5+1 ⎞
⎟⎟ = 12⎜⎜ ⎟⎟ = 2 x 6 + C
Solución: = 12⎜⎜
⎝ 6⎠
⎝ 5 +1⎠

16
 

EJEMPLO 2:
Encontrar:

6

∫x

dx

4

⎛ x −3 ⎞
⎛ x −4+1 ⎞
2
⎟⎟ = − 3 + C
⎟⎟ = 6⎜⎜
Solución: reescribimos 6∫ x −4 dx = 6⎜⎜
x
⎝ −3⎠
⎝ − 4 + 1⎠
 

 
EJEMPLO 3:
Encontrar:

∫(

3

)

x + 2 x dx
⎛ 13

Solución: reescribimos ∫ ⎜⎜ x + 2 x ⎟⎟dx



⎞ ⎛ 4
⎛ 1+3
⎜ x 3 3 2 x1+1 ⎟ ⎜ x 3 2 x 2 ⎟ 3 4
⎟ = x 3 + x2 + c
⎟=⎜
+
=⎜
+
4
1
3
2 ⎟ 4
1+1 ⎟ ⎜
⎜ +

⎟ ⎜


⎠ ⎝ 3
⎝3 3

 
 
EJERCICIO 1. “Reescribir antes de integrar”
Individualmente completa la tabla reescribiendo la integral original y
resuelve por el método de integración inmediata.
Integral original

1

1.

∫x

2.



5

Reescribir

Integrar

dx

x dx

3. ∫ 3senxdx
4.



5.

∫ x( x + 4)dx

3

x dx

17
 

Simplificar

EJERCICIO 2. En equipo de tres personas resuelve las siguientes integrales
por el método de integración inmediata utilizando las fórmulas y reglas de
integración.
Ejercicios

Solución

∫ ( x + 4)dx

1 2
x + 4x + c
2

∫ (3 − x)dx

3x −

∫ (4 x − 6 x
∫ (4 x
∫ (x

3

2

1 2
x +c
2

2 x 2 − 2 x3 + c

)dx

3

+ 9 x 2 − 5)dx

x 4 + 3x 3 − 5 x + c

2

+ 4 x + 3)dx

2 2
x + 2 x 2 + 3x + c
5

5

1 ⎞

∫ ⎜⎝ x − x ⎟⎠dx

2 2
x − 2x 2 c
3

∫ ( x + 2)(2 x − 1)dx

2 3 3 2
x + x − 2x + c
3
2

∫ (2t − 3)

4 3
t − 6t 2 + 9t + c
3

2

3

dx

1

∫ (4senx + 2 cos x)dx

− 4 cos+ 2 senx + c

∫ (4 − csc x cot x)dx

4 x + csc x + c

SOLUCIONES:

EJERCICIO 1. “Reescribir antes de integrar”

1
1. − 4 + c
4x
1 3
x + 2x2 + c
3

4

3

2
2. x 2 + c
3

3. − 3 cos + c

18
 

3
4. x 3 + c
4

5.

1.2 Integración por partes.
De la derivada del producto de dos funciones obtenemos la fórmula de la
derivación por partes.
 

(u.v )' = u '.v + u.v ' que se puede escribir d (u.v ) = du .v + u.dv

Tomando integrales en los dos miembros de la igualdad tendremos:

∫ d (u.v) = ∫ du.v + ∫ u.dv  
 

Teniendo en cuenta que la integral de la derivada de una función es la misma
función y utilizando la notación de integral tendremos:
u.v = ∫ du .v + ∫ u.dv  

Despejando llegamos a la fórmula de integración por partes

∫ u.dv = u.v − ∫ v.du
que permite calcular la integral de un producto de dos funciones
Seleccionamos u de manera que se simplifique al derivar, y dv que sea fácilmente
integrable. En caso de reiterar el método, elegimos los mismos tipos de funciones
en cada paso.
Teniendo en cuenta que dv = v’ y que du = u’ La fórmula también se puede
escribir:

 

19
 

Ejemplos:
1.- Hallar la

∫ xsenxdx

Solución:
Sean
u=x

du = dx

dv = senxdx

v = − cos x

Sustituyendo en la formula de integración por partes tenemos:
−x cos x −

∫ − cos xdx = −x cos x + ∫ cos xdx

dado que

∫ xsenxdx

∫ cos udu = senu + c finalmente nos queda:
= −x cos x + senx + c

2.- Hallar la

∫x

2

ln xdx

Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como u y
se repite el proceso n veces.
Solución:
Sean

dx
x3
dv = x 2 dx
v=
x
3
Sustituyendo en la formula de integración por partes tenemos:

u = ln x

x 3 ln x 1

3
3

du =



x3
x 3 ln x 1
dx =

x
3
3



x 2 dx =

x 3 ln x 1 ⎡ x 3 ⎤
− ⎢ ⎥
3
3⎣ 3 ⎦

por lo tanto:



x 3 ln x x 3
− +c
x ln xdx =
3
9
2

20
 

∫x

3.- Hallar la

1 + x dx

Solución:
Sean

du = dx

u= x

dv = 1+ xdx

v=

3
2
(1+ x ) 2
3

Sustituyendo en la formula de integración por partes tenemos:


5
2

3
5
3
3
3
4
2
2
2
2 (1+ x ) ⎥ 2
1+ x ) 2
= x (1+ x ) 2 −
= x (1+ x ) 2 − ∫ (1+ x ) 2 dx = x (1+ x ) 2 − ⎢
(

15
3
3
3
3⎢ 5 ⎥ 3
⎣ 2 ⎦

[

por lo tanto:

∫x

1 + x dx =

4.- Hallar la

3
5
4
2
x (1+ x ) 2 − (1+ x ) 2 + c
15
3

∫ sen

2

xdx

Solución:
Sean
u = senx

du = cosxdx

dv = senxdx

v = −cos x + c

Sustituyendo en la formula de integración por partes tenemos:
−cos xsenx +

∫ cos x cos xdx = − cos xsenx + ∫ cos

2

xdx =

1
Aplicando la identidad senxcos x = sen2x
2
1
1
tenemos: − sen2x + ∫ 1− sen 2 xdx = − sen2x +
2
2

21
 

∫ dx − ∫ sen xdx =
2

]

ya que la expresión original es

∫ sen

2

xdx y nuevamente nos resulta en el

procedimiento, se procederá a sumar ambas expresiones:

∫ sen xdx = − 2 sen2x + ∫ dx − ∫ sen xdx = 2 ∫ sen xdx = − 2 sen2x + ∫ dx = − 2 sen2x + x
1

2

2

2

1

1

por lo tanto:

∫ sen

2

1
4

x
+c
2

xdx = − sen2x +

1.3 Integración por sustitución o cambio de variable.
Con un cambio de variables formal se puede reescribir la integral en términos de u
y du (o cualquier otra variable), esto resulta útil para integrandos complicados. Si
u=g(x) y du=g’(x) dx la integral toma la siguiente forma:

∫ f ( g ( x)) g ' ( x)dx = ∫ f (u )du = F (u) + c
EJEMPLO 1:
Encontrar:



3x − 1dx
Solución: u = 3 x − 1



3x − 1dx = ∫ u

du
3

du = 3dx

dx =

du
3

Integrar en términos de u.

⎛ 3
1
1 2
1⎜u2
u du = ⎜
3∫
3⎜ 3

⎝ 2


3

2
⎟ + c = u2 + c
9




3

2
(3x − 1) 2 + c
9

Resultado en términos de x.

22
 

EJEMPLO 2:

∫x

Encontrar:

3x − 1dx

Solución: u = 3 x − 1

du = 3dx

dx =

du
3

x=

u +1
3

⎛ u + 1 ⎞ ⎛ du ⎞
∫ x 3x − 1dx = ∫ ⎜⎝ 3 ⎟⎠u 2 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ Integrar en términos de u.
1

3
⎛ 5
3
1

2


1
1 u +u2
2
2 ⎟


u
u
du
=
+

9 ∫ ⎜⎝
9
⎜ 5+3


⎝ 2 2
5

=


5
3

2
2
⎟ + c = u2 + u2 + c
45
27




3

2
2
(3x − 1) 2 + (3x − 1) 2 + c Resultado en términos de x.
45
27

EJEMPLO 3:
Encontrar:

∫ (sen2 x)

2

cos 2 xdx

Solución: u = sen2 x

du = 2 cos 2 xdx

∫ (sen2 x)

du
2

2

cos 2 xdx = ∫ u 2
=

Integrar en términos de u.

1 2
1 ⎛ u3 ⎞
1
⎜⎜ ⎟⎟ + c = u 3 + c
=
u
du

2
2⎝ 3 ⎠
6

1
= ( sen2 x) 3 + c
6

Resultado en términos de x.

23
 

du
= cos 2 xdx
2

EJERCICIO 1. “Identificando a u y du”
Individualmente completa la tabla identificando u y du para cada integral.
Integral en términos de x
1.

∫ (4 x

2.

∫x

3.



U

du

+ 2) 2 8 xdx

2

x 3 + 2dx

x
x −2
2

dx

4. ∫ (2 x 3 + 4) 4 (6 x 2 )dx
5.

dx

∫ (5x − 3)

4

EJERCICIO 2. Individualmente integra con cambio de variable.
Ejercicios

Soluciones



3 + 2 x dx

1
3



dx
1− 2x

− 1− 2x + c



x 3 x + 2 dx
2

(3x

)

3

+2 +c

1
ln 2 x 2 + 3 + c
4

x 2 dt

2
3

x −1
3

x3 −1 + c

24
 

2

+c

xdx
2
+3

∫ 2x


1
9

(3 + 2 x )3

∫ (1 + 4 x )

4

1
(1 + 4 x )5 + c
5

( 4 ) dx



3 − x 2 ( − 2 x ) dx

2
(3 − x 2 ) 2 + c
3



1
dt
4t

1
2

3

xdx

∫ (2 − x

∫t

2

2

)

4t + c

1
+c
4(2 − x 2 ) 2

3

1 − t dx

(1 − t )3 − 4 (1 − t )5 + 2 (1 − t )7 + c

2
3

5

SOLUCIONES:
EJERCICIO 1. “Identificando a u y du”
Número

u

Du

1

4x2 + 2

8 xdx

2

x3 + 2

3x 2 dx

3

x2 − 2

2 xdx

4

2 x3 + 4

6 x 2 dx

5

5x − 3

5dx

25
 

7

1.4

Integración por fracciones parciales.

Función Raciona
Una función racional es aquella en que tanto el numerador como el
denominador son expresiones en donde la variable tiene solamente exponentes
enteros y positivos.

Es una función racional, donde P y Q son polinomios.
Si el grado de P es menor que el grado Q entonces f(x) es una fracción
racional propia; en caso contrario es impropia.
Las fracciones racionales propias se pueden expresar como una suma de
fracciones simples.

EJEMPLO 1. Calcular por fracciones parciales

Dividiendo entre x+3, entonces:

Para poder aplicar este método de integración, es importante recordar los
siguientes puntos:
a) Factorización
b) Los procedimientos para la solución de un sistema de ecuaciones lineales
c) Solución de integrales inmediatas.

26
 

Una vez que Q(x) se ha factorizado, el procedimiento para determinar las
fracciones parciales depende de la naturaleza de los factores lineales y
cuadráticos. Se pueden presentar cuatro casos.
CASO 1. Todos los factores lineales del denominador son distintos.

Factorizando denominador:

La descomposición por fracciones parciales seria:

Simplificando la fracción:

A=1

27
 

Sustituyendo:

Simplificando

Caso 2. Algunos de los factores lineales del denominador se repiten

Por división sintética:

28
 

Eliminando A de (1) y (2):

………(4)
Eliminando A de (1) Y (3)

Formando un sistema con (4) y (5)

 
 
 

CASO 3: Todos los factores cuadráticos del denominador son distintos
Resolver:



2x 2 + x
dx =
x 4 + 3x 3 + 4 x 2 + 3x + 1

29
 

Resolviendo el denominador por división sintética
1

3

4

3

1

1

-1

-2

-2

-1

1

2

2

1

0

-1

= x 3 + 2x 2 + 2x + 1

1

2

2

1

1

-1

-1

-1

1

1

1

0

-1

= x 2 + x + 1 = (x + 1)

2

A(x 2 + x + 1)+ B(x + 1)(x 2 + x + 1)+ (Cx + D)(x + 1)
A
B
Cx + D
+
=
=
2 +
2
(x + 1) x + 1 x 2 + x + 1
(x + 1) (x 2 + x + 1)
2

Ax 2 + Ax + A + Bx 3 + 2Bx 2 + 2Bx + B + Cx 3 + 2Cx 2 + Cx + Dx 2 + 2Dx + D

(x + 1) (x 2 + x + 1)
2

x 3 (B + C ) + x 2 (A + 2B + 2C + D) + x (A + 2B + C + 2D) + (A + B + D)

(x + 1) (x 2 + x + 1)
2

Formando un sistema de ecuaciones:
B
+C
A +2B +2C +D
A +2B +C +2D
A +B
+D

=0
=2
=1
=0

(1)
(2)
(3)
(4)

RESOLVIENDO EL SISTEMA DE ECUACIONES
ELIMINANDO B DE (1) Y (2)
(-2)

B
+C
A +2B +2C +D

=0
=2

(1)
(2)

-2B -2C
A +2B +2C +D

=0
=2

(1)
(2)

A

+D
30

 

=2

(5)

=

Eliminando B de (1) y (3)
(-2)

B
+C
A +2B +C

=0
+2D =1

(1)
(3)

-2B

2C
A +2B +C

=0

(1)

+2D =1

(3)

A

+2D =1

(6)

+D

=0
=0

(1)
(4)

+D

=0
=0

(1)
(4)

-C

ELIMINANDO B DE (1) Y (4)
(-1)

B
A +B

+C

-B
A +B

-C

A

-C

+D

=0

(7)

A
A

-C
-C

+2D =1
+D =0

(6)
(7)

A
-A

-C
+C

+2D =1
-D
=0

(6)
(7)

ELIMINANDO C DE (6) Y (7)

(-1)

D

31
 

=1

DESPEJANDO A DE (5)
A=2-D

A=2-1

A=1

Despejando C de (6)
C=A+2D-1

C= (1)+2(1)-1

C=2

Despejando B de (1)
B=-C

B=-(2)

B=-2

Sustituyendo incógnitas en integral:
⎛ 1
−2
2x + 1 ⎞

+
+
∫ ⎜ x + 1 2 x + 1 x 2 + x + 1⎟⎟dx =
)
⎝(




1

(x + 1)

2

dx − 2 ∫

1
dx +
x +1

∫x

2x + 1
dx =
+ x +1

2

u = x +1

u = x2 + x +1

du = dx

du = (2x + 1)dx

=

∫u

=−

−2

du − 2ln[x + 1] + ln[x 2 + x + 1]

1
− 2ln[x + 1] + ln[x 2 + x + 1]+ c
x +1

CASO 4: Algunos factores cuadráticos del denominador se repiten. Por cada
factor de la forma

(ax

2

+ bx + c ) que resulte de la factorización de Q(x), le
n

corresponde una suma de n fracciones de la forma:

Ax + B

(ax

2

+ bx + c )

n

+

Cx + D

(ax

2

+ bx + c )

n−1

= +.........+

Lx + M
(ax 2 + bx + c)

32
 

Ejemplo:



2x3 + x + 3
dx =
x2 + 2x2 + 1

factorizando el denominador:
x 2 + 2x 2 + 1 = (x 2 + 1) = (x 2 + 1)(x 2 + 1)
2

como los factores cuadráticos se repiten:

2x 3 + x + 3

(x

+ 1)

2

2

2x 3 + x + 3

(x

+ 1)

2

2

=

=

Ax + B

(x

2

+ 1)

2

+

Cx + D
x2 +1

Ax + B + (Cx + D)(x 2 + 1)

(x

2

+ 1)

2

=

Ax + B + Cx 3 + Cx + Dx 2 + D

(x

Formando un sistema de ecuaciones:
C
D
A

+C
B

+D

=2
=0
=1
=3

(1)
(2)
(3)
(4)

DESPEJANDO A DE (3)
A=1-C

A=1-2

A=-1

DESPEJANDO B DE (4)
B=3-D

B=3-0

B=3

La integral a resolver es:


2x ⎟
−x + 3

∫ ⎜ 2 2 + x 2 + 1⎟dx =
⎝ (x + 1)




−x + 3

(x

2

+ 1)

2

dx +

∫x

2x
dx
2
+1

33
 

2

+ 1)

2

u = x2 +1

du = 2 xdx

3 ⎡1⎤
du + ln[x 2 + 1]= ⎢ ⎥ + ln[x 2 + 1]+ c =
2 ⎣ u⎦

3
2

∫u

=

2(x + 1)

−2

3

2

+ ln[x 2 + 1]+ c

1.- EJERCICIOS: Individualmente resolver las siguientes integrales por
fracciones parciales

1.-

2.-



x2
dx
x2 + x − 6

∫x

(2x
3

2

9
4
Solución: − ln[x + 3] + ln[x − 2] + c
5
5

+ 3x + 2)

+ 4 x + 6x + 4
2

dx

1
Solución: 2ln[x + 2] − tan−1 [x + 1] + c
2

0

x2
3.- ∫ 2
dx
−1 2x + 2x + 1

4.-



(4 x

2

− 5x − 20)

x + 3x 2 − 10x
3

Solución:

dx

Solución: 2ln[x ] + 3ln[x + 5] − 1ln[x − 2] + c au

 

34
 

1
2

UNIDAD II. LA INTEGRAL COMO ÁREA BAJO CURVA
2.1 Áreas por aproximación de límites de sumas.
 

Notación sigma
En el capitulo anterior se estudio la antiderivada. En esta capitulo se estudiara el
problema de encontrar el área de una región en el plano. A primera vista estas
dos ideas parecen no relacionarse entre sí. Aunque se estudiara que se relacionan
de una manera muy estrecha por medio del teorema fundamental del cálculo. Por
lo cual empezaremos estudiando la notación sigma. Debido a que se nota con la
letra griega mayúscula sigma.∑.
Notación sigma
La suma de n términos a₁,  a₂, a ,……an se escribe en notación matemática
como

                                 

 

Donde i es índice de suma, ai es el i-esimo término de la suma y los limites
superior e inferior de la suma son n y 1

Nota: los límites inferior y superior han de ser constantes respecto al índice de
suma. Sin embargo el límite inferior no siempre tiene que ser uno, puede tomar
cualquier valor menor o igual al límite superior.

Ejemplo 1. Como desarrollar una sumatoria.

35
 

 
d) 

 
 

e) 
f) 

En ocasiones tendremos que realizar el proceso inverso al expresar una suma en
forma de sumatoria, en los siguientes ejemplos intentaremos aclarar cómo se
realiza.

Por ejemplo en la siguiente suma:
 , el termino inicial es i =1
y el termino final es i = 19, la variación que se presenta es que el denominador es
mayor por una unidad que el numerador, por ello una posible representación de la
sumatoria es:

 

Las siguientes propiedades de la suma empleando la notación sigma se dice a las
propiedades asociativas y conmutativas de la suma y de las propiedades
distributivas de la suma sobre la multiplicación.(Primera propiedad, k es una
constante).
 
 
 
 
 
 
 
 

36
 

 

Teorema suma:
 

 
 
 

El problema del área.
Probablemente se tiene una idea intuitiva de que el área de una figura geométrica es la medida que
proporciona el tamaño de la región encerrada por dicha figura. El área de un polígono puede
definirse como la suma de las áreas de los triángulos en que puede ser descompuesto y se puede
demostrar que el área obtenida es independiente de cómo se descompuso el polígono en
triángulos. Esta idea de trabajo es muy antigua y fue propuesta por primera vez por el sabio griego
Antifón alrededor del año 430 a.C. y se conoce como el "método del agotamiento".
Un problema mucho más difícil es hallar el área de una figura curva. El método griego del
agotamiento consistía en inscribir polígonos en la figura y circunscribir otros polígonos en torno a
ella, aumentar el número de los lados de los polígonos y hallar el área buscada. Eudoxo consiguió
de esta manera encontrar la fórmula para calcular el área de un círculo. Teniendo en cuenta el uso
del método dado por Eudoxo, se lo conoce como método de exacción de Eudoxo y el mismo fue
empleado tiempo después por Arquímedes para resolver problemas de este tipo.
Hasta aquí tenemos una idea intuitiva de lo que es el área de una región y que, calcular áreas de
regiones con lados rectos resulta sencillo. Sin embargo no es fácil hallar el área de una región
limitada por lados que son curvos. También podemos observar, sin mayores inconvenientes que:





El área de una región plana es un número (real) no negativo.
Regiones congruentes tienen áreas iguales.
El área de la unión de dos regiones que se superponen sólo por un segmento es la suma de
las áreas de las dos regiones.
Si una región está contenida en una segunda el área de la primera es menor o igual que el
área de la segunda.

37
 

Aproximación del área de una región plana.
¿Cómo encontramos el área de una región limitada por los ejes coordenados positivos si
conocemos la expresión analítica de la función que la limita?
El desafío es encontrar el área bajo la gráfica de

, desde x = 0 a x = 3.

Debemos encontrar el valor del área representada gráficamente.

Si tenemos en cuenta la forma de trabajo usada por Arquímedes una aproximación de esta región
se puede encontrar usando dos rectángulos. La altura del primer rectángulo es f(0) = 3 y la altura
del segundo rectángulo es
 . El ancho de cada rectángulo es 1.5 

El área total de los dos rectángulos es:
 

 

Como observamos en la gráfica esta aproximación es mayor que el área real. Para lograr una
mejor aproximación podemos dividir el intervalo [0, 3] en tres partes iguales, cada uno de una
unidad de ancho.  

38
 

La altura del primer rectángulo es f(0), la del segundo es f(1) y la del tercero f(2). En todos los
casos el ancho del sub-intervalo es 1 es decir, la medida de la base es 1 unidad.
El área total de los tres rectángulos es:
 
 
Área

8,0644 unidades cuadradas.

Aquí podemos observar que esta aproximación se ve mejor que la anterior pero aún es mayor que
el área real buscada. Para mejorar la aproximación podemos dividir el intervalo en seis partes con
anchos iguales, es decir considerar como medida de la base de cada rectángulo 0,5 unidades.

rectángulo 





0.5 




F(x) 


Ancho de base 
0.5 
0.5 

Área 
1.5 
1.4790 



0.5 

1.4142 

1.5 

0.5 

1.2990 

39
 



2.0 

0.5 

1.1180 



2.5 

0.5 

0.8291 

 

 

Área total  

7.6395 U² 

 

¿Debemos seguir haciendo tantos cálculos o intentamos buscar otra forma más sencilla
para resolver este problema...?
Si visualizamos gráficamente esta situación, a medida que el número n de rectángulos es cada vez
más grande observamos que la suma de sus áreas se acerca cada vez más al área real de la
región.

En este caso podemos decir que el área real es el límite de esas sumas cuando n crece
indefinidamente, lo que puede escribirse:
Área =

(suma de las áreas de los n rectángulo)

Es bueno saber que el método de aproximación usado es básico para la comprensión
intuitiva del Cálculo Integral.

Ejercicios de evaluación:
A. Desarrolla las siguientes sumas.
1.

6.-

2.

7.

3.

=

8.

4.

=                                                                9. 

5.

=                                                            10. 
40

 

 

 
  

 
B. expresa las siguientes sumas en notación de sumatorias.
   
11.  
       12.  

   

       13.  

      

       14.  

 

      15.  

  

      16.  

 

      17.  

 

      18.  

 

      19.  

 
 

      20.  
 

2.2 Suma de Riemann.
Suma de Riemann como te darás cuenta las aproximaciones son mejor que las anteriores (entre
mas rectángulos se tengan). Imagínense que ahora podemos dividir el intervalo en una infinidad de
sub-intervalos y no necesariamente del mismo tamaño, es decir, de longitudes diferentes e
inclusive con rectángulos por debajo de la curva, donde la curva seria ahora la función evaluada en
cada sub-intervalo. Luego entonces el procedimiento anterior lo podemos generalizar bajo el
contexto del límite tal como se hizo con la derivada, es decir el área aproximada tanto por debajo
de la curva como por encima de esta. En la definición de área, las particiones tenían sub-intervalos
de igual ancho. Esto se hizo por conveniencia del cálculo. El siguiente ejemplo muestra que no es
necesario tener sub-intervalos de igual ancho.
                                                                                

Ejemplo Una partición con anchos desiguales.
Considere la región acotada por la grafica de
muestra en la figura, encontrar el límite.

                           

, como se

 

41
 

Donde

ci

es

el

punto

terminal

derecho

de

la

partición

dada

por

    y 


Solución: el ancho del i-esimo intervalo esta dado por:

De tal modo el límite es:

       

 
 

Definición de la suma de Riemann.
Sea f definida en el intervalo cerrado

, y sea  una partición de

dada por

 

Donde
es el ancho del i-esimo sub-intervalo. Si ci es cualquier punto en el i-esimo
sub-intervalo entonces la suma.
                                    

Se denomino suma de Riemann de f para la partición

  en n sub-intervalos iguales y finalmente calcule el área del poligonal circunscrito

C.

correspondiente.
21.
22.
23.
24.

f(x) = 2x +3; a=1, b=2 y n=3
f(x) = 3x-2; a=1, b=3 y n= 4
f(x)= x² + 2; a=0, b=2 y n= 6
f(x)= 2x² +1; a=-1, b=1 y n=8

42
 

.

2.3 Integral definida.
Sea f una función continua definida para a ≤ x ≤ b. Dividimos el intervalo [a, b] en n sub-intervalos
de igual ancho

. Sean x0 = a y xn = b y además x0, x1,...., xn los puntos extremos de cada

sub-intervalo. Elegimos un punto ti en estos sub-intervalos de modo tal que ti se encuentra en el iésimo sub-intervalo [xi−1, xi] con i = 1, .., n. Entonces la integral definida de f de a b es el número
.La integral definida es un número que no depende de
x. Se puede utilizar cualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral.
Aunque esta definición básicamente tiene su motivación en el problema de cálculo de áreas, se
aplica para muchas otras situaciones. La definición de la integral definida es válida aún cuando f(x)
tome valores negativos (es decir cuando la gráfica se encuentre debajo del eje x). Sin embargo, en
este caso el número resultante no es el área entre la gráfica y el eje x.
    que aparece en la definición de integral definida se llama

Observación: La suma

suma de Riemann en honor al matemático alemán Bernahrd Riemann. Su definición incluía
además sub-intervalos de distinta longitud.

 
Signo de
integración
                                                              

Límite superior de integración

x, la variable a integrar
 

 
Límite inferior de integración
 
Propiedades de la integral definida:
1.

El valor de la i ntegral definida cambia de signo si se permutan los límites
de integración.

2.

Si los límites que integración coinciden, la integral definida v a l e cero.

43
 

3.

Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la i ntegral definida s e
descompone com o una s u ma de dos integr al es extendidas a los intervalos
[ a , c] y [ c, b ] .

4.

La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de
integrales·

5.

La integr al del producto de una const ante por una función es igual a la
constante por la integral de la función.

Int egr al
Sea f(t) una función cont i n u a e n e l i n t e r v a l o [ a , b ] . A partir de esta función se
define la función integral :

Dep e n d e d e l límite su p e rio r d e int egración.
Para evit ar confusiones cuando se hace refe rencia a la variable de f, se la llam a
t, pero si la referencia es a la variable de F, se la llam a x.
G e o m é t r ic a m e n t e l a f u n c i ó n i n t e g r a l , F ( x ) , r e p r e s e n t a e l á r e a
curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.

limitada por la

A l a f u n c i ó n i n te g ral , F (x), ta m bién se l e l l a m a f u n c i ó n d e á r e a s d e f e n e l
intervalo [a, b].
44
 

La regla de Barrow dice que la integral def inida de una función contin ua f(x) en
un intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma
una función primitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo.

Ejemplos:
C a l c u l a r l a s s i g u i e n t e s i n t e g r a l e s d efinidas aplic and o la regla de Barrow.
1.

                     

2.

 

=
 

3.

 

                

 

El teorema fundamental del cálculo dice que la derivada de la función integral de la
función continua f(x) es la propia f(x).

F'(x) = f(x)
El teorema fundamental del cálculo nos in dica que la derivac ión y la integración
son oper aciones inversas. Al integrar una función c o ntinua y luego de rivarla s e
recupera la función original.

45
 

Problemas propuestos:
1

 
 = 

2

 

3

 
 

 
. Evalúa las siguientes integrales. 
25.       

                                                     37).  

26.       

                                                         38).  

 

27.      

                                                       39 .  

 

28.       

                                                     40). 

29.       

                                        41). 

30.

42)

31.

43

32.

44)

33.

45)

34.

46)

35.

47)

36.

48)

 

46
 

 



 

Te o re ma d e la me d ia o d e l v a lor medio para int egrales
Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe un punto c en el
interior del intervalo tal que:

Ej emp l o :
Hallar el valor de c, del teorema de la m edia, de la función f( x) = 3x 2 e n e l
intervalo [ − 4 , − 1]. Como la función es continua en el intervalo [− 4 , − 1 ] , s e p u e d e
aplic ar el teorema de la media.

63=

f ( c) = 2 1

3

=21

c=

La soluc i ón positiva no es válida porque no pertenece al int ervalo Ár ea entre
una función y el eje de abscisa.

47
 

La función es positiva
Si la función es positiva en un interval o [a, b] entonces la gráfica de la función
está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:

Par a h a l l a r el á rea seg u i re mos los siguientes pasos:
1º Se calculan los puntos de corte con el eje X, hac iendo f(x)=0 y resolviendo l a
ecuación.
2º El área es igual a la int egral def inida de la función que tiene como lí mites de
integración los puntos de corte.

Ejemplo:
 

1. Calcular el área del rec int o limit ado por la curva y = 9 − x 2 y e l e j e X . En
p r i m e r l u g a r h a l l a m o s los puntos de corte con el eje OX para representar la curva
y conocer los límites de integración .

C o m o l a p a r á b o l a e s s im é t r i c a r e s p e c t o a l e j e Y , e l á r e a s e r á i g u a l a l d o b l e d e l
área comprendida entre x = 0 y x = 3.

48
 

2. Calcular el área limitada por la curva

, y el eje X las rectas= 6, x=12

3. Calcular el área del triángulo de vér t i c e s A ( 3 , 0 ) , B ( 6 , 3 ) , C( 8 , 0 ) .
Ecuación de la recta que pasa por AB:

Ecuación de la recta que pasa por BC:

=

=

=

49
 


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