Caja PDF

Comparta fácilmente sus documentos PDF con sus contactos, la web y las redes sociales.

Compartir un archivo PDF Gestor de archivos Caja de instrumento Buscar PDF Ayuda Contáctenos



FTDelaCadena .pdf



Nombre del archivo original: FTDelaCadena.pdf
Título: canek.azc.uam.mx
Autor: Ernesto J. Espinosa H.

Este documento en formato PDF 1.3 fue generado por LaTeX with hyperref package / dvips + GPL Ghostscript 8.01, y fue enviado en caja-pdf.es el 18/06/2014 a las 22:22, desde la dirección IP 189.170.x.x. La página de descarga de documentos ha sido vista 1099 veces.
Tamaño del archivo: 91 KB (12 páginas).
Privacidad: archivo público




Descargar el documento PDF









Vista previa del documento


CAPÍTULO

6
Reglas de derivación

1

6.2 Regla de la cadena
En las reglas básicas de derivación se aplican fórmulas apropiadas para calcular las derivadas de las
f
funciones f C g (suma), f g (diferencia), fg (producto) y (cociente). Pero no se presentó en esa
g
sección una regla que nos diga cómo calcular la derivada de una composición de funciones; esto es,
no sabemos cómo calcular la derivada de f ı g (g compuesta con f o bien g seguida de f ).
Es, precisamente, la regla de la cadena la que nos dice cómo obtener la derivada de y D .f ı g/.x/.

Regla de la cadena:

x

g



u D g.x/

f

y D f .u/





f ıg

1

canek.azc.uam.mx: 22/ 5/ 2008

1

y D .f ı g/.x/ D f Œg.x/

2

Cálculo Diferencial e Integral I

Si u D g.x/ es una función derivable en x0 , donde u0 D g.x0 / y si y D f .u/ es una función derivable
en u0 , entonces la función y D .f ı g/.x/ es derivable en x0 :
.f ı g/ 0.x0 / D f 0 .u0 /g 0 .x0 / D f 0 Œg.x0 / g 0 .x0 / :
H En la demostración de esta regla desempeña un papel relevante el comportamiento de la función
u D g.x/ cuando x está cerca de x0 , ya que si existen puntos x cerca de x0 tales que g.x/ D g.x0 /,
entonces la diferencia g.x/ g.x0 / D 0 genera problemas.
Por eso en esta demostración suponemos que g.x/ ¤ g.x0 / para x cerca de x0 y x ¤ x0 .
Sea .x/ D .f ı g/.x/ D f Œg.x/ D f .u/ con u D g.x/,
.x/
x!x0
x

0 .x0 / D lím

.x0 /
.f ı g/.x/
D lím
x!x0
x0
x

.f ı g/.x0 /
f Œg.x/
D lím
x!x0
x0
x

f Œg.x0 /
:
x0

Se multiplica y divide por el número diferente de cero g.x/ g.x0 /:


f Œg.x/ f Œg.x0 / g.x/ g.x0 /
0
.x0 / D lím
D
x!x0
x x0
g.x/ g.x0 /


f Œg.x/ f Œg.x0 / g.x/ g.x0 /
D lím
:
x!x0
g.x/ g.x0 /
x x0

(*)

Pero la derivabilidad de g en x0 asegura la continuidad de g en x0 .
Luego, cuando x ! x0 , sucede que g.x/ ! g.x0 /; o sea que u ! u0 , cuando x ! x0 .
Volviendo a . / vemos



f Œg.x/ f Œg.x0 /
g.x/ g.x0 /
0
.x0 / D lím
lím
D
x!x0
x!x0
g.x/ g.x0 /
x x0



g.x/ g.x0 /
f .u/ f .u0/
lím
D
D lím
x!x0
u!u0
u u0
x x0
D Œf 0 .u0 /Œg 0 .x0 / D f 0 Œg.x0 / g 0 .x0 / :
Por lo tanto,
.f ı g/ 0.x0 / D f 0 Œg.x0 / g 0 .x0 / ;
que es lo que se quería demostrar.

En general si u D g.x/ es una función derivable en x & y D f .u/ es una función derivable en u,
entonces la función y D .f ı g/.x/ es derivable en x. Además
dy
d
d
d f Œg.x/ d g.x/
d f .u/ du
D
.f ı g/.x/ D
f Œg.x/ D
D

D
dx
dx
dx
d g.x/
dx
du
dx



d
d
D
f .u/
g.x/ :
du
dx
Esto se acostumbra sintetizar como:
dy
D
dx
2



dy
du



du
dx



:

6.2 Regla de la cadena

3

Un caso particular de la regla de la cadena es cuando y D f .u/ D un con n 2 N & u D g.x/,
situación que se conoce como la regla de la potencia:
y D .f ı g/.x/ D f Œg.x/ D Œg.x/n
y entonces,
dy
D
dx



dy
du



du
dx



D



d n
u
du



du
dx



n 1

D .nu

/



du
dx



n 1

D nŒg.x/




d
g.x/ :
dx

Es decir,
d
Œg.x/n D nŒg.x/n
dx

1d

g.x/
D nŒg.x/n
dx

1

g 0 .x/ :

En palabras: la derivada de una potencia de una función derivable es el exponente por la potencia
una unidad menor de la función base, por la derivada de la función (“la derivada de lo de adentro",
como se decía anteriormente).
Ejemplo 6.2.1 Para g.x/ D 2x 3 C 5 & f .u/ D u10 .
1. Obtener .f ı g/.x/.
2. Calcular

d
.f ı g/.x/.
dx

H
1. Calculamos y D .f ı g/.x/ D f Œg.x/ D f .2x 3 C 5/ D .2x 3 C 5/10 .

x


g

u D 2x 3 C 5


f

y D u10 D .2x 3 C 5/10


f ıg

Entonces, .f ı g/.x/ D .2x 3 C 5/10 .

2. d
dy
dy
du
.f ı g/.x/ D
D
dx
dx
du
dx



d 10
d
3
D
u
.2x C 5/ D
du
dx
D .10u9 /Œ2.3x 2 / C 0 D 10u9 .6x 2 / D

D 10.2x 3 C 5/9 6x 2 D 60x 2 .2x 3 C 5/9 :
3

4

Cálculo Diferencial e Integral I

Lo cual es exactamente lo que se obtiene con la regla de la potencia:
d
d
.2x 3 C 5/10 D 10.2x 3 C 5/9 .2x 2 C 5/ D 10.2x 3 C 5/9 6x 2 D 60x 2 .2x 3 C 5/9 :
dx
dx

Demostraremos ahora la regla 2 para el caso en que el exponente es un número racional, esto es:
p
Regla 2 . Si f .x/ D x n con n D 2 Q . p 2 Z y q 2 N /, entonces f 0 .x/ D nx n 1 .
q
H
p
En efecto, tenemos que f .x/ D x q ; elevando ambos miembros a la potencia q, tenemos que Œf .x/q D
x p ; ahora derivando con respecto a x ambos miembros de esta última igualdad:
d p
d
Œf .x/q D
x ) qŒf .x/q
dx
dx

1d

f .x/
D px p
dx

1

:

Lo primero por la regla de la potencia y lo segundo por la regla 2 . De aquí que
d f .x/
px p 1
D
dx
qŒf .x/q

1

D

px p 1
p q
q xq

1

D

px p

1

p
p
qx q

D

p p
x
q

1 .p

p
/
q

D

p pq
x
q

1

D nx n

1

:

Que es lo que queríamos demostrar.

Ejemplo 6.2.2 Sean u D g.x/ & f .u/ D ur con r 2 Q .
1. Obtener .f ı g/.x/.
2. Calcular

d
.f ı g/.x/.
dx

H
1. .f ı g/.x/ D f Œg.x/ D Œg.x/r .

x


g

u D g.x/


f ıg

4

f

y D f .u/ D ur D Œg.x/r


6.2 Regla de la cadena

5

Entonces, .f ı g/.x/ D Œg.x/r .
2.



d
dy
dy
du
d r
d
.f ı g/.x/ D
D
D
u
g.x/ D
dx
dx
du
dx
du
dx
D .rur 1 /g 0 .x/ D rŒg.x/r 1 g 0 .x/ )
d
)
.f ı g/.x/ D rŒg.x/r 1 g 0 .x/ )
dx
d
)
Œg.x/r D rŒg.x/r 1 g 0 .x/ :
dx


Ejemplo 6.2.3 Calcular la derivada de w D

p

2t 3 C 4.

H Por la regla de la potencia
1
d
dw
d
1
1
D
.2t 3 C 4/ 2 D .2t 3 C 4/ 2 1 .2t 3 C 4/ D
dt
dt
2
dt
2
6t
1 3
3t 2
1
p
D .2t C 4/ 2 .6t 2 / D
D
:
1
2
2t 3 C 4
2.2t 3 C 4/ 2


Ejemplo 6.2.4 Calcular la derivada de u D p
3
2

5
y4

.

H Por la regla de la potencia

"
#
5
d
d
1
4
3 D
p
D
D
Œ5.2
y
/
1
3
dy .2 y 4 / 3
dy
2 y4


d
1
d
1
1
1
4
4
4
D 5 .2 y / 3 D 5
.2 y / 3
.2 y / D
dy
3
dy
5
20y 3
1
20y 3
4
4
3
3
D
.2 y / . 4y / D
D p
:
3
3 .2 y 4 / 34
3 3 .2 y 4 /4

d
du
D
dy
dy

5

!

Ejemplo 6.2.5 Calcular la derivada de y D



1 2x 3
1 C 2x 3

5



.
5

6

Cálculo Diferencial e Integral I

H Por la regla de la potencia y luego por la del cociente

5
dy
d
1 2x 3
D
D
dx
dx 1 C 2x 3

5 1


1 2x 3
d
1 2x 3
D5
D
1 C 2x 3
dx 1 C 2x 3
d
d
3
3
3


.1
2x
/
.1
2x
/
.1 C 2x 3 /
3 4 .1 C 2x /
1 2x
dx
dx
D
D5
1 C 2x 3
.1 C 2x 3 /2
4

1 2x 3
.1 C 2x 3 /. 6x 2 / .1 2x 3 /.6x 2 /
D5
D
1 C 2x 3
.1 C 2x 3 /2

4
1 2x 3
. 6x 2 /.1 C 2x 3 C 1 2x 3 /
D5
D
1 C 2x 3
.1 C 2x 3 /2
5.1 2x 3 /4 . 6x 2 /.2/
D
D
.1 C 2x 3 /4 .1 C 2x 3 /2
60x 2 .1 2x 3 /4
D
:
.1 C 2x 3 /6


Ejemplo 6.2.6 Calcular la derivada de z D .u3 C 1/5 .u3

2/8 .

H Por la regla del producto y luego por la de la potencia
dz
d
D
Œ.u3 C 1/5 .u3 2/8  D
du
du
d
d
D .u3 C 1/5 .u3 2/8 C .u3 2/8 .u3 C 1/5 D
du
du
d
D .u3 C 1/5 8.u3 2/8 1 .u3 2/ C .u3 2/8 5.u3 C 1/5
du
D .u3 C 1/5 8.u3 2/7 .3u2 / C .u3 2/8 5.u3 C 1/4 .3u2 / D
D 24u2 .u3 C 1/5 .u3

2/7 C 15u2 .u3

1

d 3
.u C 1/ D
du

2/8 .u3 C 1/4 :

Para simplificar, factorizamos
dz
D 3u2 .u3 C 1/4 .u3
du
D 3u2 .u3 C 1/4 .u3
D 3u2 .u3 C 1/4 .u3

2/7 Œ8.u3 C 1/ C 5.u3
2/7 .8u3 C 8 C 5u3

2/7 .13u3

2/ :

2/ D
10/ D


Ejemplo 6.2.7 Calcular la derivada de w D
6

.3t
.2

2

4/

3

t 2 /4

.

6.2 Regla de la cadena

7

H Primero por la regla del cociente y luego por la de la potencia


dw
d .3t 2 4/3
D
D
dt
dt .2 t 2 /4
d
d
.2 t 2 /4 .3t 2 4/3 .3t 2 4/3 .2 t 2 /4
dt
dt
D
D
Œ.2 t 2 /4 2
d
.2 t 2 /4 3.3t 2 4/3 1 .3t 2 4/ .3t 2 4/3 4.2 t 2 /4
dt
D
.2 t 2 /8
2 4
2
2
2
.2 t / 3.3t
4/ .6t/ .3t
4/3 4.2 t 2 /3 . 2t/
D
D
.2 t 2 /8
18t.2 t 2 /4 .3t 2 4/2 C 8t.3t 2 4/3 .2 t 2 /3
D
:
.2 t 2 /8

1

d
.2
dt

t 2/
D

Para simplificar, factorizamos
4/2 Œ9.2 t 2 / C 4.3t 2 4/
D
.2 t 2 /8
t 2 /3 .3t 2 4/2 .18 9t 2 C 12t 2 16/
D
.2 t 2 /3 .2 t 2 /5
2t.3t 2 4/2 .2 C 3t 2 /
D
:
.2 t 2 /5

2t.2
dw
D
dt
2t.2
D

t 2 /3 .3t 2



Ejemplo 6.2.8 Calcular la derivada de f .x/ D

q


H Puesto que f .x/ D .1

1=2

x/2 C .x


1
f .x/ D
.1
2
0

2

1/1=2

x/ C .x

x/2 C

.1

1
1/ 2

p
x

1. .

:



1
2


2.1

1
x/. 1/ C .x
2

1/

1
p
2.1 x/ C p
4.1 x/ x 1 C 1
2
x
1
q
D q
D p
p
p
2
2 .1 x/ C x 1
4 x 1 .1 x/2 C x
p
4.x 1/ x 1 C 1
q
D p
:
p
2
4 x 1 .1 x/ C x 1

1
2

1



D

D


q
p
p
Ejemplo 6.2.9 Calcular la derivada de y D x C x C x .

7

8

Cálculo Diferencial e Integral I

H

1
q
2
p
d
xC xC x D
xC xC x
D
dx


q
p
1
d
q
xC xC x D
p
p dx
2 xC xC x


q
p
1
d
d
q
.x/ C
xC x D
p
p dx
dx
2 xC xC x


p 1
1
d
2
q
1C
D
xC x
p
p
dx
2 xC xC x


1 d
p
p
1
1
q
D
1 C .x C x/ 2
xC x
p
p
2
dx
2 xC xC x
(

)
1
1
1
d
d
q
1C p
.x/ C
.x 2 /
D
p
p
p
dx
dx
2
x
C
x
2 xC xC x
"

#
1
1
1
q
1C p
1C p
:
p
p
p
2 x
2
x
C
x
2 xC xC x

dy
d
D
dx
dx
D
D
D
D
D
D

r

q

!

p



Ejemplo 6.2.10 Utilizando 3 procedimientos diferentes, obtener la derivada de
s
3x 2 1
yD
:
3x 2 C 1
H

1. Considerando que: y D



3x 2 1
3x 2 C 1

Pero
d
dx

8



3x 2 1
3x 2 C 1

12

es potencia de una función

2
1
dy
d
3x
1 2
D
D
dx
dx 3x 2 C 1

12
2

1 3x 2 1
3x
1
d
D
:
2 3x 2 C 1
dx 3x 2 C 1



D

.3x 2 C 1/

d
.3x 2
dx

1/

.3x 2

1/

d
.3x 2 C 1/
dx
D

.3x 2 C 1/2
.3x 2 C 1/.6x/ .3x 2 1/.6x/
D
D
.3x 2 C 1/2
18x 3 C 6x 18x 3 C 6x
12x
D
D
:
2
2
.3x C 1/
.3x 2 C 1/2

(*)

6.2 Regla de la cadena

9

Entonces, sustituyendo en . /
1

1

dy
1 .3x 2 1/ 2
12x
12x.3x 2 1/ 2
D
D
D
3
dx
2 .3x 2 C 1/ 12 .3x 2 C 1/2
2.3x 2 C 1/ 2
6x
6x
p
D
D
p
3
1 D
.3x 2 C 1/ 3x 2 C 1 3x 2 1
.3x 2 C 1/ 2 .3x 2 1/ 2
6x
6x
p
p
D
:
D
.3x 2 C 1/ .3x 2 C 1/.3x 2 1/
.3x 2 C 1/ 9x 4 1
.3x 2

2. Considerando que y D

1

1/ 2

es un cociente de potencias de funciones:
1
.3x 2 C 1/ 2
#
"
1
d .3x 2 1/ 2
dy
D
D
dx
dx .3x 2 C 1/ 12
1

D

.3x 2 C 1/ 2

d
.3x 2
dx

1

1/ 2

.3x 2

1

1/ 2

1

Œ.3x 2 C 1/ 2 2

d
1
.3x 2 C 1/ 2
dx
:

(**)

Pero
d
1
1
.3x 2 1/ 2 D .3x 2 1/
dx
2
d
1
1
.3x 2 C 1/ 2 D .3x 2 C 1/
dx
2

d
1
3x
1
.3x 2 1/ D .3x 2 1/ 2 6x D
1
dx
2
.3x 2 1/ 2
1
3x
1 d
1
2
.3x 2 C 1/ D .3x 2 C 1/ 2 6x D
:
1
dx
2
.3x 2 C 1/ 2

1
2

Entonces, al sustituir en . /
3x

1

dy
D
dx

.3x 2 C 1/ 2

.3x 2

.3x 2

1
2

1/
.3x 2 C 1/

3x

1

1/ 2

1

.3x 2 C 1/ 2

D

"
#
1
1
1
3x.3x 2 C 1/ 2
3x.3x 2 1/ 2
D 2
D
1
1
3x C 1
.3x 2 1/ 2
.3x 2 C 1/ 2
"
#
1
3x.3x 2 C 1/ 3x.3x 2 1/
D 2
D
1
1
3x C 1
.3x 2 1/ 2 .3x 2 C 1/ 2
3

1
9x C 3x 9x 3 C 3x
6x
p
p
D 2
D
p
3x C 1
3x 2 1 3x 2 C 1
.3x 2 C 1/ 9x 4
3. Considerando que y D .3x 2

1

1/ 2 .3x 2 C 1/

dy
d
D
Œ.3x 2
dx
dx
D .3x 2

1
2

1

1

d
.3x 2 C 1/
dx

:

es un producto de potencias de funciones:

1/ 2 .3x 2 C 1/

1/ 2

1

1
2

1
2

D
C .3x 2 C 1/

1
2

d
.3x 2
dx

1

1/ 2 :

(***)
9

10

Cálculo Diferencial e Integral I
Pero
d
1
1
3
.3x 2 C 1/ 2 D
.3x 2 C 1/ 2 6x D 3x.3x 2 C 1/
dx
2
d
1
3x
1
1
.3x 2 1/ 2 D .3x 2 1/ 2 6x D
1 :
2
dx
2
.3x
1/ 2

3
2

D

3x
3

.3x 2 C 1/ 2

Entonces, al sustituir en . /
dy
D .3x 2
dx
D

3x.3x 2

3x

1

1/ 2

.3x 2 C 1/
1

1/ 2

C .3x 2 C 1/

1
2

3x
.3x 2

1

1/ 2

D

3x

1
1 D
.3x 2 C 1/
.3x 2 C 1/ 2 .3x 2 1/ 2
3x.3x 2 1/ C 3x.3x 2 C 1/
D
D
3
1
.3x 2 C 1/ 2 .3x 2 1/ 2
9x 3 C 3x C 9x 3 C 3x
6x
p
p
D
D
p
.3x 2 C 1/ 3x 2 C 1 3x 2 1
.3x 2 C 1/ 9x 4
3
2

C

3
2

1

:


Ejercicios 6.2.1 Soluciones en la página 12
Utilizando reglas de derivación, calcular la derivada de las funciones siguientes.
1. y D .3x 4 2/5 .


1 10
2. u D t C
.
t
p
3. z D 4 1 y 2 .
4. w D

5
.
.3u2 C 1/2

6
5. x D p
.
3
y5 2
s
r
1
6. y D x C
.
x
r
1 3x 2
7. f .x/ D
.
x
p
p
8. f .z/ D 4z 2 C 27
r
4t C 1
9. y D 3
.
2 5t
10

2z .

6.2 Regla de la cadena
10. y D x

p

11. x D p

xC

p

3y 2

y2 C 1

11

xC1.

.

1
p
.
x
x2 1
p
zC1
13. f .z/ D p
.
. z C 3/2
p
wC1C3
14. Si f .w/ D
; calcular f 0 .1/ .
.w 2 C 1/3
p
15. Sean ˆ.s/ D 1
.s/, . 2/ D 3 &
12. y D

0

. 2/ D 3, calcule ˆ 0. 2/ .

11

12

Cálculo Diferencial e Integral I

Ejercicios 6.2.1 Regla de la cadena, página 10
dy
D 60x 3 .3x 4 2/4 .
dx


1 9
du
2.
D 10 t C
1
dt
t

1
8. f .z/ D p
p
2
2 4z C 27

1.

3.
4.
5.

0


1
.
t2

dw
60u
D
.
2
du
.3u C 1/3

11.




dy
1
1
1 C r
D s
r

dx
1
1
2
2 xC
x
x
r
3x 2 C 1
x
0
7. f .x/ D
.
2
2x
1 3x 2
6.

12

dy
13
.
D p
3
dt
3 .2 5t /4 .4t C 1/2
p
dy
6x x C 1 C 5x C 4
p
.
10.
D p
p
dx
4 xC1 xC xC1
9.

dz
4y
Dp
.
dy
1 y2

dx
10y 4
D p
.
3
dy
.y 5 2/4

2z








1 
.
x2 

dx
3y.y 2 C 2/
.
Dp
dy
.y 2 C 1/3
1

12. y 0 D p
x x2

1 x2 C 1
p
zC1
.
13. f 0 .z/ D p p
2 z. z C 3/3
14. f 0 .1/ 1:6111.
15. ˆ 0. 2/ D

3
.
4

.

8z

p

1
27

2z



:


Documentos relacionados


Documento PDF ftdelacadena
Documento PDF matem ticas iii yobal antologia
Documento PDF examen equipo 1
Documento PDF ejercicios equipo 1
Documento PDF reticula
Documento PDF cap tulo i


Palabras claves relacionadas