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mov parabolico .pdf



Nombre del archivo original: mov_parabolico.pdf
Título: Subtema 1.3.2. Movimiento de proyectiles (tiro horizontal y tiro oblicuo).
Autor:

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Tiro parabólico
(horizontal y oblicuo)
El tiro parabólico es un ejemplo de movimiento
realizado por un cuerpo en dos dimensiones o
sobre un plano. Algunos ejemplos de cuerpos cuya
trayectoria corresponde a un tiro parabólico son:
proyectiles lanzados desde la superficie de la tierra o
desde un avión, el de una pelota de fútbol al ser
despejada por el portero, o el de una de una pelota
de golf al ser lanzada o golpeada con cierto ángulo
respecto del eje horizontal.







El tiro parabólico es la resultante de la
suma vectorial de un movimiento
horizontal uniforme y de un movimiento
vertical
rectilíneo
uniformemente
acelerado.
El tiro parabólico es de dos tipos: tiro
parabólico horizontal y tiro parabólico
oblicuo.



Tiro parabólico horizontal. Se caracteriza
por la trayectoria o camino curvo que sigue
un cuerpo al ser lanzado horizontalmente al
vacío, resultado de dos movimientos
independientes: un movimiento horizontal
con velocidad constante y otro vertical, el
cual se inicia con una velocidad cero y va
aumentando en la misma proporción de otro
cuerpo que se dejará caer del mismo punto
en el mismo instante.





La forma de la curva descrita es abierta,
simétrica respecto a un eje (eje Y) y con un
solo foco, es decir una parábola.
Por ejemplo en la figura siguiente, se grafica
el descenso al mismo tiempo de dos pelotas,
sólo que la pelota del lado derecho es
lanzada con una velocidad horizontal de 15
m/seg.

Al término del primer segundo ambas pelotas han recorrido 4.9 metros en
su caída, sin embargo, la pelota de la derecha también ha avanzado 5
metros respecto de su posición inicial. A los dos segundos ambas
pelotas ya han recorrido en su caída 19.6 metros, pero la pelota de la
derecha ya lleva 10 metros recorridos como resultado de su movimiento
horizontal.

Al cabo de 3 segundos, ambas pelotas habrán descendido 44.1
metros, pero la pelota de la derecha avanza 45 metros
horizontales

Si se desea calcular la distancia recorrida en forma horizontal
puede hacerse con la expresión d = v/t pues la pelota lanzada
con una velocidad horizontal tendrá una rapidez constante
durante su recorrido horizontal e independiente de su
movimiento vertical originado por la aceleración de la
gravedad durante su caída libre.





La trayectoria descrita por
un proyectil cuya caída es
desde un avión en movimiento,
es otro ejemplo de tiro parabólico
horizontal.
Supongamos que un avión vuela
a 250 m/seg y deja caer un
proyectil. La magnitud de la
velocidad adquirida por dicho
proyectil, en los diferentes
momentos de su caída libre, se
puede determinar por medio del
método del paralelogramo;
para ello, basta representar
mediante
vectores
las
componentes horizontal y
vertical del movimiento.





Al primer segundo de su
caída la componente
vertical tendrá un valor de
9.8 m/s, mientras la componente
horizontal de su velocidad será la
misma que llevaba el avión al
soltar el proyectil, es decir 250
m/seg.
Trazamos el paralelogramo y
obtenemos la resultante de las 2
velocidades. A los 2 segundos la
componente vertical tiene un valor
de 19.6 m/seg y la horizontal
como ya señalamos conserva su
mismo valor: 250 m/seg. Así
continuaríamos hasta que el
proyectil llega al suelo.





Las ecuaciones que se utilizan en el
tiro parabólico horizontal son las
mismas de la caída libre (en la
vertical) y las mismas de MRU (en la
horizontal).
En el tiro horizontal se suele calcular la
altura desde la cual se lanza el proyectil,
el tiempo que tarda en caer, la velocidad
vertical que lleva en un tiempo
determinado y la distancia horizontal
que recorre desde el punto en que es
lanzado hasta el punto donde cae al
suelo.

Problemas de tiro horizontal
1.- Se lanza una piedra horizontalmente con una velocidad de 25 m/s desde una
altura de 60 metros.
Calcular:
a) El tiempo que tarda en llegar al suelo,
b) La velocidad vertical que lleva a los 2 segundos
c) La distancia horizontal a la que cae la piedra.

Datos
VH = 25 m/s
h = -60 m
g = - 9.8 m/s2
a) tcaer =?
m/s
b) V2s = ?
c) dH = ?

Fórmulas
____
a) tcaer = √2h/g
b) V2s = gt

c) dH = VH t

Sustitución
_________________
tcaer = √2 (-60 m) / (-9.8 m/s2)
tcaer = 3.5 s

V2s = (-9.8 m/s2) (2s)
V2s = - 19.6
dH = 25 m/s x 3.5 s
dH = 87.5 m

2.- Una pelota es lanzada horizontalmente desde una ventana
con una velocidad inicial de 10 m/s y cae al suelo después
de 5 segundos:
Calcular
a) ¿ A qué altura se encuentra la ventana?
b) ¿A qué distancia cae la pelota?
Datos

Fórmulas

Sustitución y resultados

VH = 10 m/s
tcaer = 5 s
g = -9.8 m/s2

a) h = gt2/2

a) h = (-9.8 m/s2) (5 s)2
2
a) h = -122.5 m

a) h = ?
b) dH =?

b) dH = VHtcaer

b) dH = 10 m/s x 5 s
b) dH = 50 m

3.- Un avión vuela horizontalmente con
una velocidad de 800 km/h y deja caer
un proyectil desde una altura de 500 m
respecto al suelo.
Calcular:
a) ¿Cuánto tiempo transcurre antes de que
el proyectil se impacte en el suelo?
b) ¿Qué distancia horizontal recorre el
proyectil después de iniciar su caída?

Datos
VH = 800 km/h
h = -500 m
g = -9.8 m/s2
a) tcaer =?
b) dH = ?

Fórmulas
a) tcaer = √2h/g
b) dH = VH tcaer

Conversión de unidades de km/h a m/s:
800 km x 1000 m x 1 h = 222.22 m/s
h
1 km
3600 s
Sustitución y resultados
tcaer = √2 (-500 m)/ -9.8
tcaer = 10.10 s
dH = 222.22 m/s x 10.10 s
dH = 2244.42 m

TIRO OBLICUO


Tiro parabólico oblicuo. Se caracteriza por la
trayectoria que sigue un cuerpo cuando es lanzado
con una velocidad inicial que forma un ángulo
con el eje horizontal.



Cuando se lanza un cuerpo con determinada
magnitud de velocidad inicial, tendrá el mismo
alcance horizontal con dos ángulos diferentes
de tiro, la única condición es que la suma de
dichos ángulos sea de 90°.

Ejemplo:
En el siguiente dibujo vemos la trayectoria seguida
por una pelota de golf, lanzada con una velocidad
de 40 m/s formando un ángulo de 60° con respecto
a la horizontal.



Como se observa, la pelota inicia su ascenso con
una velocidad inicial de 40 m/seg y con un ángulo
de 60°, si descomponemos esta velocidad en sus
componentes rectangulares, encontraremos el valor
de la velocidad vertical que le permite avanzar hacia
arriba, como si hubiera sido arrojada en tiro vertical,
por esta razón la velocidad disminuye debido a la
acción de la gravedad de la tierra, hasta anularse y
la pelota alcanza su altura máxima.



Después inicia su descenso y la velocidad vertical
comienza a aumentar, tal como sucede en un
cuerpo en caída libre, de manera que al llegar al
suelo nuevamente tendrá la misma velocidad
vertical que tenía al iniciar su ascenso. Por otra
parte, la componente horizontal nos indica el valor
de la velocidad horizontal que le permite
desplazarse como lo haría un cuerpo en un
movimiento rectilíneo uniforme. Por tal motivo esta
velocidad permanecerá constante todo el tiempo
que el cuerpo dure en el aire.

Para
este
problema
específico,
las
componentes vertical y horizontal de la
velocidad tienen un valor al inicio de su
movimiento de:
Vov = Vo sen 60° = 40 m/s x 0.8660 = 34.64
m/s
VH= Vo cos 60° = 40 m/s x 0.5 = 20 m/s
(permanece constante).

Una vez calculada la componente inicial vertical de la
velocidad (Vov) y utilizando las ecuaciones del tiro
vertical vistas anteriormente, podemos determinar
con facilidad la altura máxima alcanzada por la
pelota, el tiempo que tarda en subir, y el tiempo que
permanece en el aire; así pues, el valor de la
velocidad inicial vertical para la pelota de golf será
igual a 34.64 m/seg. Por lo tanto, sustituyendo este
valor en la ecuación de la altura máxima tenemos:
hmax = -V2ov = -(34.64 m/s)2 = 61.22 m
2g
2 (-9.8 m/s2)

Para calcular el tiempo que tarda en subir la pelota,
hacemos uso de la ecuación correspondiente que
se dedujo para el tiro vertical, sustituyendo el valor
de la componente inicial vertical:
t (subir) = - Vov/g= (- 34.64 m/s) / (-9.8 m/s2)= 3.53 s
El tiempo que dura en el aire es igual al doble del
tiempo que tarda en subir:
t (aire) = - 2 Vov/g, por lo que t (aire) = 2 x 3.53 s = 7.06 s





Para conocer el alcance horizontal dH de la
pelota, debemos considerar que mientras
esté en el aire se mueve en esa dirección
debido al valor de la componente horizontal
de la velocidad, la cual no varía y en nuestro
caso tiene un valor de 20 m/s, por lo tanto,
para calcular dH emplearemos la expresión:
dH = VH t(aire) = 20 m/s x 7.06 s = 141.3 m

dH = VH (– 2 Vo2 sen θ)
g
dH = VH (– 2 Vo2 sen θ)
g
dH = – 2 Vo2 cos θ sen θ
g
De trigonometría sabemos que:
2 sen θ cos θ = sen 2θ
dH = – Vo2 sen 2θ
g

El desplazamiento horizontal también puede ser calculado
con la siguiente ecuación:
dH = - Vo2 sen 2 θ
g

Sustituyendo valores tenemos:
dH = – (40 m/s)2 sen 2 (60°) = 141.3 m
- 9.8 m/s2
La ecuación anterior resulta útil cuando se desea hallar
el ángulo con el cual debe ser lanzado un proyectil que
parte con un determinado valor de velocidad para dar en
el blanco.

Ejercicios de tiro parabólico
oblicuo.
1.- Un jugador le pega a una pelota con un ángulo de
37° con respecto al plano horizontal, comunicándole
una velocidad inicial de 15 m/s. Calcular a) El tiempo
que dura en el aire, b) La altura máxima alcanzada, c)
El alcance horizontal de la pelota.

Ejercicios de tiro parabólico
oblicuo.
1.- Un jugador le pega a una pelota con un ángulo de 37° con respecto al plano
horizontal, comunicándole una velocidad inicial de 15 m/s. Calcular a) El tiempo
que dura en el aire, b) La altura máxima alcanzada, c) El alcance horizontal de
la pelota.
Datos
Vo = 15 m/s
θ= 37°
g = -9.8 m/s2
t (aire) = ?
h max=
?
dH= ?

Fórmulas
Vov = Vo sen θ
VH = Vo cos θ
t (aire) = - 2Vov/g
h max = - V2ov/2g
dH = VH t (aire)

Sustitución
Vov = 15 m/s x sen 37°
Vov = 15 m/s x 0.6018
Vov = 9.027 m/s
VH = 15 m/s x cos 37°
VH = 15 m/s x 0.7986
VH = 11.979 m/s
t aire= - 2 (9.027 m/s)
-9.8 m/s2.
t aire = 1.842 s
h max = - (9.027 m/s)2
2 (- 9.8 m/s2)
h max = 4.157 m
dH = 11.979 m/s x 1.842 s
dH = 22.06 m

2.- Un proyectil se lanza con una velocidad inicial de 200 m/s si se
desea que dé en un blanco localizado a 2500 metros, calcular:
Calcular:
a) El ángulo con el cual debe ser lanzado
b) El tiempo que tarda en llegar al blanco (tiempo en el aire).
Datos
Vo = 200 m/s
dH = 2500 m
g = -9.8 m/s2.
a) θ=

Fórmulas
- sen 2 θ= dHg
Vo2
Vov = Vo sen θ
t (aire)= -2Vov
g

Sustitución
- sen 2 θ= 2500 m x(- 9.8 m/s2)
(200 m/s)2
sen 2 θ = 0.6125
2θ = ángulo cuyo seno es 0.6125
2 θ= 37.76°
θ= 18.88°

b) t aire =?

Vov = 200 m/s x sen 18.88°
Vov = 200 m/s x 0.3230= 64.6 m/s
t (aire) = - 2 x 64.6 m/s = 13.18 s
- 9.8 m/s2

3.- ¿Cuál será la velocidad inicial con que se batea una pelota
de beisbol, si es golpeada con un ángulo de 40° respecto a
la horizontal, si la altura máxima que alcanza es de 10.2
metros y su desplazamiento horizontal es de 48.62 metros?
Datos
Fórmula
Vo = ?
dH = - Vo2 sen 2 θ
Θ = 40°
g
hmax = 10.2 m
despejando Vo tenemos:
dH = 48.62 m
Vo = √ dHg .
g = -9.8 m/s2
-sen 2 θ
Sustitución y resultado:
Vo = √ 48.62 m x -9.8 m/s2. = √ 476.476 m2/s2.
sen (80°)
0.9848
Vo = 22 m/s


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