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mcu mcua .pdf



Nombre del archivo original: mcu_mcua.pdf
Título: SUBTEMA 1.3.4. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Y NO UNIFORME.
Autor:

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MOVIMIENTO
CIRCULAR
UNIFORME
(MCU)

Ángulo
• Es la abertura comprendida entre dos radios
abiertos que limitan un arco de circunferencia.

B
A
_
r

θ
_
r

Θ= desplazamiento angular
r = vector de posición
A = posición inicial
B = posición final del objeto
después de un intervalo de
tiempo.

Radián
Se define al radián como el ángulo central al que
corresponde un arco del círculo cuya longitud es igual al
radio del mismo círculo. El radian (rad) es una unidad de
medida angular, así como el metro es la unidad de
medida lineal.
radián

r

Un radián equivale a 57.3°

Puesto que la circunferencia entera de un círculo es
justo 2 veces el radio r, hay 2 radianes en un
círculo completo.
1ciclo=1revolución = 2  radian = 360
Puesto que  = 3.14
1 rad = 360 = 57.3
2

De las relaciones anteriores se deduce que
el ángulo  en radianes, en cualquier punto
sobre la circunferencia de un círculo, está
dado por d, la longitud del arco entre los
dos puntos, dividida por el radio r. En otras
palabras:
Ángulo en radianes = longitud del arco
Radio
 = d_
r

Desplazamiento angular ():
Es la magnitud física que cuantifica la magnitud de
la rotación que experimenta un objeto de acuerdo
con su ángulo de giro. Su unidad de medida es el
radián.
Es una distancia recorrida por una partícula en una
trayectoria circular y se expresa frecuentemente en
radianes (rad), grados () y revoluciones (rev); es
conveniente expresar toda rotación en radianes.
El movimiento circular uniforme presenta en su
trayectoria el paso en un punto fijo, equivalente a
un ciclo por cada vuelta o giro completo de 360.
En física son también llamados revoluciones para
un determinado tiempo, por ejemplo RPM
(revoluciones por minuto).

Periodo y frecuencia
El periodo de un movimiento circular es el tiempo
que tarda una partícula en realizar una vuelta
completa, revolución o ciclo completo. La unidad
utilizada para el periodo es el segundo o, para
casos mayores unidades mayores.
T = segundos transcurridos/ciclo
La frecuencia es el número de vueltas, ciclos o
revoluciones completas que realiza un móvil en un
segundo.
f = #ciclos/ 1 segundo

La unidad utilizada para medir la frecuencia
de un movimiento es el hertz (Hz), que
indica el número de revoluciones o ciclos por
cada segundo.

El periodo equivale al inverso de la
frecuencia y la frecuencia al inverso del
periodo, es decir:
f = 1/T
T= 1/f

VELOCIDAD ANGULAR.
La magnitud de la velocidad angular representa el cociente
entre la magnitud del desplazamiento angular de un cuerpo y
el tiempo que tarda en efectuarlo:
=
t
 = velocidad angular en rad/s
 = desplazamiento angular en rad
t = tiempo en segundos en que se efectuó el
desplazamiento angular.
El símbolo  (omega) se usa para denotar la velocidad
angular. Aunque se puede expresar en revoluciones por
minuto (rev/min, rpm) o revoluciones por segundo (rev/s) en
la mayor parte de los problemas físicos se hace necesario usar
radianes por segundo (rad/s) para adaptarse a fórmulas más
convenientes.

La magnitud de la velocidad angular se puede
expresar en función de los cambios de la
magnitud de su desplazamiento angular con
respecto al cambio en el tiempo, esto es:

 = D = 2 - 1
Dt
t1 - t2
La velocidad angular también se puede
determinar si conocemos el periodo (el tiempo
que tarda en dar una vuelta completa):
 = 2
T

Y como: T = 1/F entonces  = 2f
[]= rad/s

VELOCIDAD ANGULAR
MEDIA
Cuando a velocidad angular no es constante o uniforme
podemos estimar la magnitud de la velocidad media al
conocer las magnitudes de las velocidades angular inicial y
final.

m = f + 0
2

donde:
m = velocidad angular media en rad/ s
f = velocidad angular final en rad/s
0 = velocidad angular inicial en rad/s

MOVIMIENTO CIRCULAR
UNIFORME (MCU)
• Este movimiento se presenta cuando
un cuerpo o partícula, con una
magnitud de velocidad angular
constante, describe ángulos iguales
en tiempos iguales.
• En el MCU sólo permanece constante
la rapidez, o sea, la magnitud de la
velocidad lineal o tangencial, ya que
ésta cambia de dirección.

Problemas de Movimiento
circular uniforme.
1.- Un móvil con trayectoria circular
recorrió 820° ¿Cuántos radianes
fueron?
Solución: 1 rad = 57.3°
820° x 1 rad = 14.31 radianes.
57.3°

2.- Un cuerpo A recorrió 515 radianes y un
cuerpo B recorrió 472 radianes. ¿A
cuántos grados equivalen los radianes en
cada caso?
Solución: Cuerpo A: 515 rad x 57.3°
1 rad
= 29509.5°.
Cuerpo B : 472 rad x 57.3° = 27045.6°.
1 rad

3.- ¿Cuál es el valor de la velocidad angular
de una rueda que gira desplazándose 15
radianes en 0.2 segundos?
Datos
Fórmula Sustitución
ω=¿
=θ
 = 15 rad
θ = 15 rad
t
0.2 seg
t = 0.2 seg
 = 75 rad/seg.

4.- Determinar el valor de la velocidad angular y la
frecuencia de una piedra atada a un hilo, si gira
con un periodo de 0.5 segundos.
Datos
Fórmula
ω = ? = 2 π
f=?
T
T = 0.5 seg
 = 2 x 3.14 = 12.56 rad/seg.
0.5seg
f = 1/T f = 1/ 0.5 seg =2 ciclos/seg

o 2 Hz.

5.- Hallar la velocidad angular y el periodo de una
rueda que gira con una frecuencia de 430
revoluciones por minuto.
Datos Fórmulas
ω = ¿ = 2 π F
T = ¿ T = 1/F
F = 430 rpm
Sustitución y resultado:
430 rpm x 1 min = 7.17 rev/seg
60 seg
 = 2 x 3.14 x 7.17 rev/seg = 45 rad/seg.
T = 1/7.17 rev/seg = 0.139 seg/rev.

6.- Encontrar la velocidad angular de un disco de 45
rpm, así como su desplazamiento angular, si su
movimiento duró 3 minutos.
Datos
Fórmulas
ω=?
=2πF
θ=?
θ=ωt
F = 45 rpm
t = 3 min = 180 seg
45 rpm x 1 min = 0.75 rev/seg
60 seg
 = 2 x 3.14 x 0.75 rev/seg
 = 4.71 rad/seg.
θ = 4.71 rad/seg x 180 seg=847.8 rad.

MOVIMIENTO
CIRCULAR
UNIFORMEMENTE
ACELERADO
(MCUA)

• Este movimiento se presenta cuando
un móvil con trayectoria circular
aumenta o disminuye en cada
unidad de tiempo su velocidad
angular en forma constante, por
lo que la magnitud de su
aceleración angular permanece
constante.

ACELERACIÓN ANGULAR
MEDIA
Como el movimiento lineal o rectilíneo, el movimiento circular
puede ser uniforme o acelerado. La rapidez de rotación puede
aumentar o disminuir.
La aceleración angular se define como la variación de la
velocidad angular con respecto al tiempo y esta dada por:

am= D
Dt

= f - 0
tf – t0

donde:
a = velocidad angular final en rad/ s2

f = velocidad angular final en rad/s
0= velocidad angular inicial en rad/s

Dt = tiempo durante el cual varía la magnitud de la velocidad
angular en s

• Esta ecuación es también similar a una ecuación derivada
para el movimiento lineal. De hecho las ecuaciones para la
aceleración angular tienen las mismas formas básicas que
las que se derivan de la aceleración lineal, estableciendo las
analogías siguientes:
• d (m) ------------------  (rad)
• v (m/s)---------------- (rad/s)
• a (m/s2)--------------a (rad/s2)
• RELACION
ENTRE
ANGULARES
• d=r
• vt =  r
• at = a r

MAGNITUDES

LINEALES

Y

ECUACIONES DEL MOVIMIENTO
CIRCULAR UNIFORMEMENTE
ACELERADO (MCUA)
• Las ecuaciones empleadas para el movimiento
circular uniformemente acelerado son las mismas
que se utilizan para el rectilíneo uniformemente
acelerado con las siguientes variantes:
• 1.- en lugar de desplazamiento en metros
hablaremos de desplazamiento angular en
radianes (θ en lugar de d).
• 2.- la velocidad en m/s se dará como velocidad
angular en rad/s (ω en lugar de v).
• 3.- la aceleración en m/s2 se cambiara a
aceleración angular en rad/s2 (a en lugar de a)

• En conclusión las ecuaciones serán:
• a).- Para calcular el valor de los desplazamientos angulares
cuando el cuerpo no parte del reposo:

1.- θ = ω0 t + a t 2

2

2.- θ = ωf 2 – ω0 2

2a





3.- θ = ωf + ω0 t

2

• Si el cuerpo parte del reposo su
velocidad angular inicial (ω0) es cero, y las
tres ecuaciones anteriores se reducen a:

1.- θ = a t 2

2

2.- θ = ωf 2

2a

3.- θ = ωf t

2

• b).- Para calcular el valor de velocidades
angulares finales cuando el cuerpo no
parte del reposo.

1.- ωf = ω0 + at

2.- ωf2 = ω02 + 2 a
• Si el cuerpo parte del reposo su
velocidad inicial (ω0) es cero, y las dos
ecuaciones anteriores se reducen a:

1.- ωf = at

2.- ωf2 = 2 a

• 2.- Un mezclador eléctrico incremento su velocidad angular de 20
rad / s a 120 rad / s en 0.5 s. calcular: a) ¿Cuál fue el valor de su
aceleración media? B) cual fue el valor de su desplazamiento
angular en ese tiempo?

• Datos
formula
• ω0 = 20 rad/ s
am = ωf – ω0
• ωf = 120 rad/ s
t
• t = 0.5 s
• a) am = ?
θ = ω0 t + a t 2
• b) θ = ?
2
• Sustitución y resultado:
 am = 120 rad/ s – 20 rad/ s = 200 rad / s2.

0.5 s
• θ = 20 rad/ s x 0.5 + 200 rad/ s2 (0.5 seg)2
• = 10 rad/ s + 25 rad θ = 35 radianes.

• 4.- Una rueda que gira a 4 rev/ s aumenta su frecuencia a 20 rev/
s en 2 segundos. Determinar el valor de su aceleración angular.
• Datos
formulas
• F0 = 4 rev/ s
ω 0 = 2 π F0
Ff = 20 rev/ s
ωf = 2 π Ff
 a =?
• t=2s
• Sustitución y resultado:
• ω0 = 2 x 3.14 x 4 rev/s= 25.12 rad/s

ωf = 2 x 3.14 x 20 rev/s = 125.6 rad/ s


 a = ωf - ω0

t


a = 125.6 rad/ s – 25.12 rad/ s
2s
a = 50.24 rad / s2.

• 5.- Una rueda gira con una velocidad angular inicial cuyo
valor es de 18.8 rad/seg experimentando una aceleración
angular de 4 rad/seg2 que dura 7 segundos. Calcular: a)
¿Qué valor de desplazamiento angular tiene a los 7
segundos? b) ¿Qué valor de velocidad angular lleva a los 7
segundos?
• Datos
Fórmula







ωo = 18.8 rad/seg
t = 7 seg
a = 4 rad /seg2.
θ=¿
ωf = ¿

a) θ = ωot + at2
2
b) ωf = ωo + at

RELACIÓN ENTRE
MOVIMIENTO
CIRCULAR Y LINEAL
VELOCIDAD LINEAL O
TANGENCIAL
Cuando un cuerpo se encuentra girando, cada una de las
partículas de mismo se mueve a lo largo de la circunferencia
descrita por él con una velocidad lineal mayor a medida que
aumenta el radio de la circunferencia. Esta velocidad lineal
también recibe el nombre de tangencial, porque la dirección
del movimiento
siempre es tangente a la circunferencia
recorrida por la partícula y representa la velocidad que llevaría
disparada tangencialmente como se verá a continuación.

La velocidad tangencial o lineal representa
la velocidad que llevará un cuerpo al salir
disparado
en
forma
tangencial
a
la
circunferencia que describe.
VL

VL

VL

Para calcular el valor de la velocidad
tangencial o lineal se usa la ecuación:
VL= 2r
T
Donde:
r = radio de la circunferencia en metros (m).
T= periodo en segundos (s)
VL= Velocidad lineal en m/s
Como ω=2r la velocidad lineal puede escribirse:
T
VL= ωr
VL= Velocidad lineal en m/s
ω=valor de la velocidad angular en rad/s
r= radio de la circunferencia en metros (m)

ACELERACIÓN LINEAL Y RADIAL
ACELERACIÓN
LINEAL
Una partícula
presenta esta
aceleración cuando
durante su
movimiento circular
cambia su velocidad
lineal (VLf – VL0):
aL=VLf – VL0
t
Como VL= ωr

(1)

(2)

aL=ωf r - ω0 r= ωf-ω0 r
t
t
Sabemos que
a =ωf-ω0 (4)
t
Sustituyendo 4 en 3
nos queda:
aL= a r
aL = valor de la aceleración lineal
m/s2
a= valor de la aceleración angular
en rad/s2
r= radio de la circunferencia en
metros (m)

(3)

ACELERACION RADIAL
En un MCU la magnitud de la velocidad lineal
permanece constante, pero su dirección
cambia permanentemente en forma tangencial
a la circunferencia. Dicho cambio
en la
dirección
de la velocidad se debe a la
existencia de la llamada aceleración radial o
centrípeta.
Es
radial
porque
actúa
perpendicularmente a la velocidad lineal y
centrípeta porque su sentido
es hacia el
centro de giro o eje de rotación.

Su expresión es:
ar = VL2
r
Donde
ar =Valor de la aceleración radial m/s2
VL=Valor de la velocidad lineal del cuerpo en m/s
r= Radio de la circunferencia n metros (m)

Como VL= ωr
ar=(ωr)2 = ω2r2
r
r
ar= ω 2r
Donde:
ar =Valor de la aceleración radial en m/s
ω=Valor de la velocidad angular en rad/s
r= Radio de la circunferencia en metros
(m)

Como la aceleración lineal representa
un cambio en la velocidad lineal y la
aceleración radial representa un cambio
en la dirección de la velocidad, se
puede encontrar la resultante de las
dos aceleraciones mediante la suma
vectorial de ellas, como se ve.
La resultante de la
suma vectorial de la
aceleración lineal y la
aceleración radial es
igual a:
aresultante = aL2+ar2

aL
ar

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
1.Calcular el valor de la velocidad
lineal de una partícula cuyo radio de
giro es de 25 cm y tiene un periodo
de 0.01 s. Dar el resultado en cm/s y
m/s.

3. calcular el valor de la aceleración lineal de
una partícula cuya aceleración angular es de
3 rad/seg2 y su radio de giro es de 0.4m.
Datos

Fórmula

aL =?
aL = ά r
ά= 3 rad/seg2.
r = 0.4m
Sustitución y resultado
aL = 3 rad/seg2 x 0.4 m= 1.2 m/seg2.

4. Encontrar el valor de la aceleración radial
de una partícula que tiene una velocidad
angular de 15 rad/s y su radio de giro es
de 0.2 m.
Datos
formula
ar =?
ar = ω2r
ω = 15 rad/seg.
r = 0.2 m
Sustitución y resultado
ar=(15 rad/s)2 x 0.2 m= 45 m/seg2.

5. Calcular los valores de la velocidad
angular y lineal de una partícula que
gira con un periodo de 0.2 s, si su
radio d giro es de 0.3 m, determinar
también los valores de su aceleración
lineal y radial así como la resultante
de estas dos aceleraciones.


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