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SumVec Polig Trian Productos .pdf



Nombre del archivo original: SumVec_Polig_Trian_Productos.pdf
Título: Diapositiva 1
Autor: Aurora

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Suma de DOS vectores angulares o concurrentes

y
F2

a
o

q=?
F1

x

Suma de DOS vectores angulares o concurrentes
Triángulo oblicuo:
aquel que no tiene
ningún ángulo recto

Ley de los Senos

Ley de los
Cosenos

Suma de DOS vectores angulares o concurrentes

y
F2

q=?
o

F1

x

Suma de DOS vectores angulares o concurrentes
FR= ?

y
40N
A=?



x

60 N


a
b
c


senA senB senC

Suma de MÁS DE DOS vectores angulares o concurrentes
MÉTODO DEL POLÍGONO
d3

d2

N

Diagrama de cuerpo libre
O

y

N

d1=100 km
O

d1



S
d2=60 km

dR=?

d1=100 km
N

d3=120 kmx
O

d3=120 km

E

d2=60 km



E

S

θ
E

Método analítico:

1. Descomponer cada vector en sus componentes rectangulares
2. Calcular para cada vector la magnitud de la componente en X (usando la
función coseno) y la componente Y (usando la función seno).
3. Al conocer las magnitudes de todas las componentes en X y en Y para cada
vector, hacer la suma de las componentes en X y en Y, de tal forma que el
sistema original de vectores se reduzca a dos vectores perpendiculares; uno,
representando la resultante de todas las componentes X, y otro,
representando la resultante de todas las componentes Y.
4. Encontrar la magnitud resultante de los dos vectores perpendiculares
utilizando el teorema de Pitágoras.
5. Calcular el ángulo que forma la resultante con la horizontal, por medio de la
función tangente.

MÉTODO DEL TRIÁNGULO:
SE UTILIZA PARA SUMAR DOS VECTORES
SUPONGAMOS LOS SIGUIENTES VECTORES:


B


A

PROCEDIMIENTO:

 
A B


A

SERÍA:


B
 
A B

SE DIBUJA EL PRIMER VECTOR Y LUEGO,
DESDE LA PUNTA DEL PRIMER VECTOR SE
DIBUJA EL SEGUNDO VECTOR (PUNTA DEL
PRIMERO CON ORIGEN DEL SEGUNDO)
EL VECTOR SUMA SE DIBUJA DESDE EL
ORIGEN DEL PRIMERO HASTA LA PUNTA DEL
SEGUNDO

RESTA DE VECTORES
ES UNA SUMA DE VECTORES, ENTRE EL PRIMER VECTOR Y
EL OPUESTO DEL SEGUNDO VECTOR

 



 
A B  A  B

SUPONGAMOS LOS SIGUIENTES VECTORES:


A


B

APLICAREMOS EL MÉTODO DEL TRIÁNGULO
PARA RESTARLOS

ENTONCES, EL VECTOR RESTA SERÍA:


B
 
A B


A

PRODUCTO ESCALAR
EL PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES A Y B, SE DENOTA

 
A B

CONOCIDO TAMBIÉN COMO PRODUCTO PUNTO

EL RESULTADO DEL PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES,
ES UNA CANTIDAD ESCALAR, DE ALLÍ SU NOMBRE:

• PRODUCTO – POR SER UNA MULTIPLICACIÓN
• ESCALAR – PORQUE EL RESULTADO ES UN ESCALAR


B




A

PARA DEFINIRLO SE DIBUJAN
LOS VECTORES A MULTIPLICAR,
CON SUS ORIGENES JUNTOS
EL ÁNGULO φ ES EL MÁS PEQUEÑO
FORMADO PÒR AMBOS VECTORES

LUEGO, SE PROYECTA UNO DE LOS VECTORES SOBRE EL OTRO
(SE DEBE FORMAR UN ÁNGULO DE 90º)


B
PROYECCIÓN DE
B SOBRE A



B  Cos

90º


A

EN ESTE CASO PROYECTAMOS EL
VECTOR B SOBRE EL VECTOR A
B∙cos f es la magnitud de la
componente Bx

SE DEFINE AL PRODUCTO ESCALAR COMO LA MAGNITUD DEL VECTOR
A, MULTIPLICADA POR LA PROYECCIÓN DE B SOBRE A; ES DECIR,

 
A  B  A  B  Cos

EL PRODUCTO ESCALAR ES CONMUTATIVO:

 
 
A B  B  A

PRODUCTO ESCALAR
 PRODUCTO ESCALAR DE LOS VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS

     
i  i  j  j  k  k  11 Cos0º  1
     
i  j  j  k  i  k  11 Cos90º  0
 PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES
SI CONOCEMOS LAS COMPONENTES DE LOS VECTORES A




MULTIPLICAR:

A  AX i  AY j  AZ k




B  BX i  BY j  BZ k


 




A  B  AX i  AY j  AZ k  BX i  BY j  BZ k



 



PRODUCTO ESCALAR



 



 




A  B  AX i  AY j  AZ k  BX i  BY j  BZ k



APLICANDO PROPIEDAD DISTRIBUTIVA:

 
 
 
 
 
A  B  AX BX i  i  AX BY i  j  AX BZ i  k  AY BX j  i 
 
 
 
 
 
AY BY j  j  AY BZ j  k  AZ BX k  i  AZ BY k  j  AZ BZ k  k
APLICANDO LO QUE OBTUVIMOS EN EL
PRODUCTO ESCALAR DE LOS
VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS:





 A B  A B  A B  A B
X
X
Y Y
Z Z

PRODUCTO VECTORIAL
EL PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES A Y B, SE DENOTA

 
A B

(CONOCIDO TAMBIÉN COMO PRODUCTO CRUZ)

EL RESULTADO DEL PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES,
ES UNA CANTIDAD VECTORIAL, DE ALLÍ SU NOMBRE:
• PRODUCTO – POR SER UNA MULTIPLICACIÓN

• VECTORIAL – PORQUE EL RESULTADO ES UN VECTOR
YA QUE EL RESULTADO ES UN VECTOR, TIENE LAS
TRES CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR:
 MAGNITUD, O MODULO,

 DIRECCIÓN, Y
 SENTIDO

PRODUCTO VECTORIAL


B




A

PARA DEFINIRLO SE DIBUJAN LOS VECTORES A
MULTIPLICAR, CON SUS ORIGENES JUNTOS
EL ÁNGULO φ ES EL MÁS PEQUEÑO
FORMADO PÒR AMBOS VECTORES

SUPONGAMOS QUE EL VECTOR RESULTANTE
DEL PRODUCTO VECTORIAL ES:


 
C  A B

 MAGNITUD, O MODULO, DE C

ESTÁ DETERMINADA POR:


B

ESTA MAGNITUD ES NUMÉRICAMENTE
IGUAL AL ÁREA DEL PARALELOGRAMO
FORMADO POR AMBOS VECTORES




A

C  A  B  Sen

ÁREA=A·B·Sen
φ

PRODUCTO VECTORIAL
 DIRECCIÓN DE


C

EL VECTOR RESULTANTE ES PERPENDICULAR AL PLANO
FORMADO POR LOS VECTORES QUE SE MULTIPLICAN
EJEMPLO:

SUPONGA QUE EL PLANO FORMADO POR LOS DOS
VECTORES ESTÁ SOBRE ESTA DIAPOSITIVA
ENTONCES, EL VECTOR RESULTANTE SALDRÍA
O ENTRARÍA A ESTA DIAPOSITIVA

 SENTIDO DE


C

PARA OBTENER EL SENTIDO DEL VECTOR
RESULTANTE DEL PRODUCTO VECTORIAL, SE
APLICA LA REGLA DE LA MANO DERECHA

?
¿REGLA DE LA MANO DERECHA?

PRODUCTO VECTORIAL


 
C  A B

LA REGLA DE LA MANO DERECHA ESTABLECE LO SIGUIENTE:
1) SE UNEN CUATRO DEDOS DE LA MANO DERECHA (EXCEPTO
EL PULGAR), Y SE APUNTAN SUS EXTREMOS HACIA DONDE
APUNTE EL PRIMER VECTOR A MULTIPLICAR; EN ESTE CASO,
HACIA EL VECTOR A
2) SE ESTIRA EL DEDO PULGAR, HASTA FORMAR UN ÁNGULO
DE 90º CON LOS CUATRO DEDOS RESTANTES DE LA MANO
DERECHA
ok

3) SE CIERRA LA MANO (LOS CUATRO PRIMEROS DEDOS),
HACIA EL SEGUNDO VECTOR A MULTIPLICAR; EN ESTE CASO,
HACIA EL VECTOR B
4) EL SENTIDO DEL VECTOR RESULTANTE, C, SERÁ HACIA
DONDE APUNTE EL DEDO PULGAR DE LA MANO DERECHA


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