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Capítulo I .pdf



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Autor: HECTOR GUILLERMO CHAVARRIA GARCIA

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Capítulo I

VISION GENERAL
DE LA MATEMÁTICA

Una adecuada presentación de cualquier ciencia no puede consistir
sólo en información detallada, aunque sea extensa; debe también
dar una visión propia de la naturaleza esencial de la ciencia en conjunto. El objeto del presente capítulo es dar un cuadro general de la
naturaleza esencial de la matemática. Para ello no hay gran necesidad de entrar en detalles de teorías matemáticas recientes, puesto
que la matemática elemental y la historia de la ciencia ya proporcionan
base
suficiente
para
obtener
conclusiones
generales.
₴ 1. Rasgos característicos de la matemática
1. Abstracciones, demostraciones, aplicaciones
Incluso con un conocimiento superficial de la matemática, es
fácil reconocer ciertos rasgos característicos: su abstracción, su precisión, su rigor lógico, el irrefutable carácter de sus conclusiones, y,
finalmente, el campo excepcionalmente amplio de sus aplicaciones.
Es fácil reconocer el carácter abstracto de la matemática. Operamos con números abstractos sin preocuparnos de cómo relacionarlos

en cada caso a objetos concretos. En la escuela se estudia la tabla
abstracta de multiplicar, esto es, una tabla para multiplicar un
número abstracto por otro, no un número de muchachos por un número de manzanas o un número de manzanas por el precio de una
manzana.
De modo similar, en geometría consideramos, por ejemplo, líneas
rectas y no hilos gruesos, llegándose al concepto de línea geométrica
por abstracción de todas las propiedades excepto la extensión en
una dirección. En general, el concepto de figura geométrica es el
resultado de la abstracción de todas las propiedades de un objeto
exceptuadas su forma espacial y dimensiones.
Abstracciones de esta clase son características en toda la matemática. Los conceptos de número y de figura geométrica son solo
dos de sus primeros y más elementales ejemplos, seguidos luego por
muchos otros, demasiado numerosos para describirlos, y que tienen
que ver con abstracciones tales como números complejos, funciones,
integrales, diferenciales, funcionales, espacios n-dimensionales e
incluso espacios de infinitas dimensiones, etc. Estas abstracciones,
apoyadas unas en otras, han alcanzado tal grado de generalización
que pierde aparentemente toda conexión con la vida diaria, y el
hombre medio no entiende nada de ellas salvo el simple hecho de
que <<todo esto es incomprensible>>.
La realidad, naturalmente, no es esa en absoluto. Aunque el
concepto de espacio n-dimensional es, sin duda, extremadamente
abstracto, todavía tiene un contenido completamente real, que no
es muy difícil de entender. En este libro nuestro propósito será el
de dar a conocer y aclarar el contenido concreto de conceptos abstractos tales como los ya mencionados, de modo que el lector pueda
convencerse por sí mismo de que todos ellos están relacionados con
la vida real, tanto en su origen como en sus aplicaciones.
Pero la abstracción no es algo exclusivo de la matemática; es
característica de toda ciencia, incluso de toda actividad mental en
general. Consecuentemente, la abstracción de los conceptos matemáticos no proporciona por sí misma una descripción del carácter
peculiar de la matemática.
Las abstracciones de la matemática se distinguen por tres rasgos.
En primer lugar, tratan fundamentalmente de las relaciones cuantitativas y formas espaciales, abstrayéndolas de todas las demás propiedades de los objetos. En segundo lugar, aparecen en una sucesión
de grados de abstracción creciente, llegando mucho más lejos en esta
dirección que la abstracción en las de más ciencias. Más tarde ilus-

traremos estas dos cualidades en detalle, empleando como ejemplos
las nociones fundamentales de número y figura. Finalmente, y esto
es obvio, la matemática como tal se mueve casi por completo en el
campo de los conceptos abstractos y sus interrelaciones. Mientras
el científico de la naturaleza experimenta constantemente para demostrar sus aseveraciones, el matemático emplea solo razonamientos y
cálculos.
Es cierto que los matemáticos también hacen constante uso – como
ayuda en el descubrimiento de teoremas y métodos -- de modelos
y analogías físicas, y que recurren con frecuencia a ejemplos bien
concretos. Estos constituyen la fuente real de la teoría y un medio
de descubrir teoremas; pero ningún teorema pertenece definitivamente
a la matemática hasta que no ha sido rigurosamente demostrado por
un razonamiento lógico. Si un geómetra diese cuenta de un teorema
recientemente descubierto mediante simples modelos y se limitara a
tal demostración, ningún matemático admitiría que el teorema había
sido probado. La necesidad de demostrar los teoremas es ya normal
en la geometría del bachillerato y se extiende a toda la matemática.
Podríamos medir ángulos de la base de miles de triángulos isósceles con extrema precisión, pero ese procedimiento nunca nos daría
una demostración matemática del teorema que dice que esos dos
ángulos son iguales. La matemática pide que este resultado se deduzca
de los conceptos fundamentales de la geometría, conceptos que,
teniendo en cuenta el hecho de que la geometría de nuestros días
esta desarrollada sobre una base rigurosa, se hallan formulados con
toda precisión en los axiomas. Y es así en todos los casos. Demostrar
un teorema significa que el matemático lo deduzca, mediante un
razonamiento lógico, a partir de propiedades fundamentales de los
conceptos que aparecen en ese teorema. De este modo, no solo
los conceptos, sino también los métodos de la matemática, son abstractos y teóricos.
Los resultados de la matemática se distinguen por su alto grado
de rigor lógico, y los razonamientos matemáticos se desarrollan con
una minuciosidad tal que lo hagan incontestable y convincente para
todo el que lo entienda. La minuciosidad y fuerza de las demostraciones matemáticas son ya bien conocidas en los cursos de bachillerato superior. Las verdades matemáticas son de hecho el prototipo
de lo completamente incontestable. Por algo se dice: <<tan claro como
que dos y dos con cuatro>>. Aquí la relación <<dos y dos son cuatro>>
se emplea como paradigma de lo irrefutable e incontestable.
Pero el rigor de la matemática no es absoluto; está en proceso

de continuo desarrollo; los principios de la matemática no se han
congelado de una vez para siempre sino que tienen su propia vida y
pueden incluso ser objeto de discusiones científicas.
En él ultimo termino la vitalidad de la matemática se debe al hecho
de que, a pesar de su abstracción, sus conceptos y resultados tienen
su origen, como veremos, en el mundo real y encuentran muchas y
diversas aplicaciones en otras ciencias, en ingeniería y en todos los
aspectos prácticos de la vida diaria; reconocer esto es el requisito
previo más importante para entender la matemática.
La excepcional amplitud de sus aplicaciones es otro rasgo característico de la matemática.
En Primer lugar hacemos constante uso, en la industria y en la
vida social y privada, de los más variados conceptos y resultados de la
matemática sin pensar en ello; por ejemplo empleamos la aritmética
para calcular nuestros gastos o la geometría para calcular la superficie de un apartamento. Naturalmente, las reglas a emplear son muy
sencillas, pero deberíamos recordar que en algún periodo de la antigüedad representaron los logros matemáticos más avanzados de
la época.
Segundo, la tecnología moderna sería imposible sin la matemática.
No hay probablemente un solo proceso técnico que pueda realizarse
sin cálculos más o menos complicados; y la matemática juega un
papel muy importante en el desarrollo de nuevas ramas de la tecnología.
Finalmente, es cierto que toda ciencia, en mayor o menor grado,
hace un uso esencial de la matemática. Las <<ciencias exactas>>, mecánica, astronomía, física y un gran parte de la química, expresan sus
leyes, como todo estudiante sabe, por medio de fórmulas, y utilizan
ampliamente el aparato matemático en el desarrollo de sus teorías.
El progreso de estas ciencias habría sido completamente imposible
sin la matemática. Por esta razón, las necesidades de la mecánica,
astronomía y física han ejercido siempre una directa y decisiva influencia en el desarrollo de la matemática.
En otras ciencias la matemática tiene un papel menor, pero también encuentra importantes aplicaciones. Naturalmente, en el estudio
de fenómenos tan complicados como los que aparecen en biología
y sociología, los métodos matemáticos no pueden desempeñar el
mismo papel, que por ejemplo, en la física. En todos los casos, pero
especialmente allí donde los fenómenos son más complicados, debemos tener en cuenta que si no queremos perder el tiempo manejando
fórmulas desprovistas de significado, la aplicación de la matemática

es útil solo si se amplía a fenómenos concretos que ya han sido objeto
de una profunda teoría. De un modo u otro, la matemática se aplica
en casi todas las ciencias, desde la mecánica hasta la economía política.
Recordaremos algunas aplicaciones particularmente brillantes de la
matemática en las ciencias exactas y en la tecnología.
El planeta Neptuno, uno de los más distantes del sistema solar,
fue descubierto en el año 1846 mediante cálculos matemáticos. Analizando ciertas irregularidades en el movimiento de Urano, los astrónomos Adams y Leverrier llegaron a la conclusión de que estas irregularidades eran producidas por la atracción gravitatoria de otro
planeta. Leverrier calculó, basándose en las leyes de la mecánica, el
lugar exacto donde debía estar el planeta; y un observador a quien
comunico sus resultados lo localizo con su telescopio en la posición
indicada por Leverrier. Este descubrimiento fue un triunfo no solo
para la mecánica y la astronomía (y en particular para el sistema de
Copérnico), sino también para la potencia del cálculo matemático.
Otro ejemplo, no menos impresionante, fue el descubrimiento de
las ondas electromagnéticas. Generalizando las leyes de los fenómenos electromagnéticos establecidos experimentalmente, el físico ingles
Maxwell logro expresarlas en forma de ecuaciones. A partir de estas
ecuaciones dedujo, por métodos puramente matemáticos, que las
ondas electromagnéticas podían existir y que debían propagarse con
la velocidad de la luz. A partir de este resultado propuso la teoría
electromagnética de la luz, que fue más tarde desarrollada y profundizada en todas direcciones. Además, los resultados de Maxwell
llevaron a la búsqueda de ondas electromagnéticas de origen puramente eléctrico, obteniéndose, por ejemplo, de una carga oscilante.
Estas ondas fueron observadas experimentalmente por Hertz. Poco
después, A. S. Popov, al descubrir el modo de excitar, transmitir y
recibir oscilaciones electromagnéticas las hizo útiles para un gran
campo de aplicaciones y de ese modo puso los cimientos de toda la
radiotécnica. En el descubrimiento de la radio, ahora posesión común
de todos, tuvieron un papel muy importante los resultados de una
deducción puramente matemática.
Así, partiendo de la observación --como por ejemplo de la desviación de una aguja magnética por una corriente eléctrica --, la
ciencia procede por generalización a una teoría de los fenómenos, a
una formulación de las leyes y a expresiones matemáticas de ellas.
De estas leyes vienen nuevas deducciones y, finalmente, la teoría
es llevada a la práctica, que a su vez proporciona nuevos y poderosos
impulsos al desarrollo de la teoría.

Es particularmente notable que incluso las construcciones más
abstractas de la matemática, aquellas que surgen dentro de la misma
ciencia sin motivación inmediata de las ciencias naturales o de la
tecnología, tienen sin embargo fructíferas aplicaciones. Por ejemplo,
los números imaginarios vieron por primera vez la luz en álgebra,
y durante largo tiempo su significado en el mundo real permaneció
desconocido, circunstancia indicada por su propio nombre. Pero
cuando alrededor de 1800 se les dio una interpretación geométrica
(ver cap. 4 y 2), los números imaginarios quedaron firmemente
afincados en la matemática, dando lugar a la extensa teoría de funciones de una variable compleja, es decir, de una variable de la
forma x+y√−1. Esta teoría de funciones <<imaginarias>> de una
variable imaginaria demostró que lejos de ser imaginaria era un
medio muy práctico de resolver problemas tecnológicos. Así, los
resultados fundamentales de N. E. Jukovski referentes a la fuerza
ascensional del ala de un aeroplano en vuelo se demostraron por
medio de esta teoría. La misma teoría es útil, por ejemplo, para
la resolución de problemas referentes al encenagamiento del agua
de un pantano, problemas cuya importancia es obvia en el momento actual de construcción de enormes estaciones hidroeléctricas.
Otro ejemplo, igualmente expresivo, lo ofrece la geometría
no-euclídea1, que apareció como culminación de una labor de
dos mil años, iniciada en tiempos de Euclides para demostrar el
axioma de las paralelas, un problema de interés puramente matemático. N. I. Lobachevski, fundador de la nueva geometría, tuvo cuidado
en denominar a su geometría imaginaria, puesto que no veía sentido para ella en el mundo real, aunque esperaba que algún día se
encontraría. Los resultados de su geometría se les antojaban a la
mayoría de los matemáticos no sólo imaginarios, sino incluso
inimaginables y absurdos. Sin embargo, sus ideas fueron el fundamento para un nuevo desarrollo de la geometría, con la aparición de
teorías de espacios no-euclídeos; y posteriormente estas mismas ideas
fueron la base de la teoría general de la relatividad, en la cual el
aparato matemático consiste en una cierta forma de geometría
no-euclídea de un espacio de cuatro dimensiones. Así, las construcciones abstractas de la matemática, que al principio parecieron
incomprensibles, demostraron ser un poderoso instrumento para el
desarrollo de una de las más importantes teorías de la física. Igual-

1

Aquí nos limitamos a dar este ejemplo sin más explicaciones; para ello
el lector puede consultar el capítulo 16.

mente, en la teoría actuadle los fenómenos atómicos, en la llamada
mecánica cuántica, es esencial el uso de numerosos conceptos matemáticos extremadamente abstractos, como por ejemplo el concepto
de espacio de dimensión infinita.
No hay necesidad de dar otros ejemplos, puesto que ya hemos demostrado con suficiente énfasis que la matemática encuentra extensa
aplicación en la vida diaria, en la tecnología y en la ciencia; en las
ciencias exactas y en los problemas más complicados de la tecnología
encuentran aplicación incluso aquellas teorías que nacen de la matemática misma. Esta es una de las características peculiares de la
matemática, junto con su abstracción y el rigor y conclusión de sus
resultados.
2.- Naturaleza esencial de la matemática
Discutiendo estos rasgos especiales de la matemática estamos lejos
de explicar su esencia; más bien hemos mostrado simplemente sus
signos externos. Nuestra tarea ahora es explicar la naturaleza esencial
de estos rasgos característicos. Para ello, será necesario responder,
por lo menos, a las siguientes preguntas:
¿Qué reflejan estos conceptos matemáticos abstractos? En otras
palabras, ¿cuál es el verdadero objeto de la matemática?
¿Por qué los resultados abstractos de la matemática parecen tan
convincentes, y sus conceptos iniciales tan obvios? En otras palabras,
¿sobre qué cimientos reposan los métodos matemáticos?
¿Por qué, a pesar de toda su abstracción encuentra la matemática tan amplias aplicaciones y no se queda simplemente en un juego
fútil de abstracciones? En otras palabras, ¿cómo se explica el significado de la matemática?
Finalmente, ¿qué fuerzas llevan a nuevos desarrollos de la matemática, permitiendo unir la abstracción con la amplitud de sus aplicaciones? ¿Cuál es la base para su continuo crecimiento?
Resolviendo estas cuestiones formaremos un cuadro general del
contenido de la matemática, de sus métodos, de su significado y su
desarrollo; esto es, entenderemos su esencia.
Idealistas y metafísicos no solo se ven sumidos en un mar de
confusiones al intentar responder a estas cuestiones básicas, sino
que llegan a distorsionar completamente la matemática, volviéndola
literalmente del revés. Así, viendo la extrema abstracción y fuerza
lógica de los resultados matemáticos, los idealistas imaginan que la
matemática brota del pensamiento puro.

En realidad, la matemática no ofrece el más ligero soporte para
el idealismo o la metafísica. De esto nos convenceremos cuando
intentemos resolver, en un esquema general, las cuestiones que acabamos de enunciar acerca de la esencia de la matemática. Para una
clarificación preliminar de estas cuestiones, es suficiente examinar
los fundamentos de la aritmética y geometría elemental, a las cuales
dirigimos ahora nuestra atención.
₴ 2. Aritmética
1. El concepto de número entero
El concepto de número (por el momento hablaremos sólo de
números enteros positivos), que tan familiar nos es hoy a nosotros,
fue elaborado muy lentamente. Esto puede verse en el modo de contar
de distintas razas que hasta tiempos muy recientes han permanecido
en un nivel relativamente primitivo de vida social. En algunas de
ellas los números mayores que dos o tres no tenían ya nombre;
en otras llegaban algo más lejos pero terminaban al cabo de pocos
números; para los restantes decían simplemente <<muchos>> o <<incontables>>. Sólo gradualmente se fueron acumulando en los pueblos
un conjunto de nombres claramente distintos para los números.
Al principio estos pueblos no tenían la noción de número, aunque
podían, a su manera, juzgar sobre el tamaño de una u otra colección
de objetos con los que se encontraban a diario. Debemos concluir que
los números eran directamente percibidos por ellos como una propiedad inseparable de una colección de objetos, una propiedad que
ellos, sin embargo, no podían claramente distinguir. Hoy día estamos
tan acostumbrados a contar que difícilmente podemos imaginar este
estado de cosas, pero es posible entenderlo2.
A un nivel inmediatamente superior, el número aparece ya como
una propiedad de una colección de objetos, aunque no se distingue
todavía de la colección en cuanto (número abstracto), en cuanto
número no relacionado con objetos concretos. Esto es obvio si
observamos los nombres que reciben algunos números entre ciertos
2

De hecho, toda colección de objetos, tanto si es un rebaño de ovejas como
un haz de leña, existe y es inmediatamente percibida en toda su concreción y
complejidad. Distinguir en ella propiedades y relaciones es resultado de un análisis consciente. El pensamiento primitivo no realiza todavía este análisis, sino
que considera los objetos como un todo. De modo semejante, un hombre que no
ha estudiado música percibe una composición musical sin distinguir en ella detalles de la melodía, tonalidad, etc., mientras que un músico analiza fácilmente
incluso una complicada sinfonía.
3 En la formación de los conceptos referentes a propiedades de los objetos,
tales como el color o la extensión de una colección, es posible distinguir tres

pueblos: <<mano>> para cinco y <<hombre completo>> para veinte.
Aquí cinco se entiendo no en sentido abstracto, sino simplemente en
el sentido de <<tantos como los dedos de una mano>>; veinte es <<<tantos
como los dedos de la mano y los pies de un hombre>>, y así sucesivamente. De un modo completamente análogo, ciertos pueblos no tenían
los conceptos de <<negro>>, <<duro>> o <<circular>>. Para decir que un
objeto es negro, lo comparaban con un cuervo, por ejemplo y para
decir que había cinco objetos, comparaban directamente estos objetos
con una mano. De este modo también ocurrió que se utilizaron distintos nombres para un mismo número de objetos distintos; ciertos
números para contar personas, otros para contar botes, y así sucesivamente, hasta llegar incluso a diez diferentes clases de números.
Pero no se trata de números abstractos, sino simplemente de una
especie de <<apelación>> referida solo a una clase concreta de objetos.
Otros pueblos no tenían en general nombres para designar los números; por ejemplo, no existía la palabra <<tres>>, aunque podían decir
<<tres hombres>> o <<en tres lugares>>, etc.
Entre nosotros mismos ocurre algo parecido: a menudo decimos
que este o aquel objeto es negro, pero pocas veces hablamos acerca
de la <<negrura>> en sí misma, que es un concepto más abstracto3.
El número de objetos de una colección dada es una propiedad
de la colección, pero el número en sí, el <<número abstracto>>, es una
propiedad abstraída de la colección concreta y considerada simplemente en sí misma, al igual que <<negrura>> o <<dureza>>. Y lo mismo
que la negrura es una propiedad común de todos los objetos del color
del carbón, así él número (cinco) es la propiedad común a todas las
colecciones que contienen objetos como dedos hay en una mano.
En este caso la igualdad de los dos números se establece por simple
comparación: tomamos un objeto de la colección, doblamos un dedo,
y así hasta terminar la colección. En general, apareando los objetos
de dos colecciones es posible establecer, sin hacer uso para nada de
los números, si las colecciones tienen o no el mismo número de objetos. Por ejemplo, cuando los huéspedes pasan a ocupar sus lugaetapas, que no se deben, naturalmente, intentar separar tajantemente unas de
otras. En la primera etapa la propiedad se define comparando directamente los
objetos: <<como un cuervo>>, <<tantos como en una mano>>. En la segunda aparece
un adjetivo: <<una piedra negra>> o <<cinco árboles>> (el adjetivo numérico es muy
análogo en este sentido). En la tercera etapa se abstrae la propiedad de los objetos y puede aparecer <<como tal>>; por ejemplo <<negrura>> o el numero abstracto <<5>>.

res en la mesa, la patrona sabe inmediatamente, sin necesidad de
contar, si ha puesto o no un cubierto de menos, para lo cual basta
mirar si algún comensal ha quedado sin lugar en la mesa.
De este modo es posible dar la siguiente definición: (un número
tal como dos, cinco, etc ) es aquella propiedad de las colecciones de objetos que es común a todas las colecciones cuyos objetos
pueden ponerse en correspondencia biunívoca unos con otros, y que
es diferente en aquellas colecciones para las cuales tal correspondencia es imposible. Para descubrir esta propiedad y distinguirla
claramente --esto es, para formar el concepto de número y darle
un nombre: <<seis>>, <<diez>>, etc.-- fue necesario comparar entre sí
muchas colecciones de objetos. Durante generaciones y generaciones
la gente repitió la misma operación millones de veces y de este modo
descubrió los números y las relaciones entre ellos.
2 Relaciones entre los números enteros
Las operaciones con números aparecen como reflejo de las relaciones entre los objetos concretos. Esto se observa incluso en los
nombres de los números. Por ejemplo, entre ciertos indios americanos el número <<veintiséis>> se pronuncia como <<encima de dos dieces
coloco un seis>>, que es claramente reflejo de un método concreto de
contar objetos. La adición de números corresponde a situar juntas o
unidades dos o más colecciones, y es igualmente fácil entender el significado concreto de la sustracción, multiplicación y división. La multiplicación en particular se debió en gran parte, como parece claro, al
hábito de contar colecciones iguales: esto es, por dos es, por treses, etc.
En el proceso de contar, los hombres no sólo descubrieron y asimilaron las relaciones entre los números, como por ejemplo, que dos
y tres son cinco, sino que también fueron estableciendo gradualmente
ciertas leyes generales. Experimentalmente se descubrió que una suma
no depende del orden de los sumandos y que el resultado de contar
un conjunto dado de objetos no depende del orden en que se cuente,
hecho que se refleja en la identidad esencial de los números <<ordinal>>
y <<cardinal>>: Primero, segundo, tercero, y uno, dos, tres. De este
modo los números aparecen no como entidades separadas e independientes,
sino
relacionadas
unas
con
otras.
4

La palabra (aritmética), que, significando (arte de calcular), deriva del adjetivo
griego (aritmética), formado a partir del sustantivo (arithmos), que significa (numero.
El adjetivo modifica el nombre (techne) (arte, técnica) que aquí se sobreentiende.
5 Esto se deduce de consideraciones muy generales. Cualquier abstracción, eliminada
su base concreta (igual que un número ase abstrae de una colección completa de
objetos), carece de sentido (en sí misma); solo existe en sus relaciones con otros

Algunos números se expresan y se escriben en términos de otros.
Así, en inglés <<veinte>> denota <<dos (veces) diez>>; en francés ochenta es
<<cuatro-veintes>> (quatre vingt), noventa es <<cuatro veintes diez>>; y los
números romanos VIII y IX, por ejemplo denotan que 8=5+3
y que 9=10-1.
En general, los números no aparecieron como entidades separadas, sino como un sistema con sus relaciones mutuas y sus reglas.
El objeto de la aritmética es exactamente este, el sistema de números con sus relaciones mutuas y sus reglas4. Los números abstractos
en si no tienen propiedades tangibles y en general se puede decir
muy poco sobre ellos. Si nos preguntamos, por ejemplo, por las propiedades
del
número
seis,
observamos
que
6=5-1,
6=3*2,
que 6 es factor de 30 etc. Pero aquí el numero 6 está siempre relacionado con otros números; De hecho las propiedades de un numero
dado consisten precisamente en sus relaciones con otros números5.
Está claro, por consiguiente, que toda operación aritmética determina una conexión o relación entre números. Así, el objeto de la
aritmética son las relaciones entre números. Pero estas relaciones
son las imágenes abstractas de las relaciones cuantitativas reales
entre colecciones de objetos; así podemos decir que la aritmética
es la ciencia de las relaciones cuantitativas reales consideradas abstractamente, esto es, simplemente como relaciones. La aritmética,
como vemos, no surge del pensamiento puro, como pretenden los
idealistas, sino que es reflejo de propiedades definidas de las cosas
reales; surge de una larga experiencia práctica de muchas generaciones.

3 Símbolos numéricos
A medida que la vida social se hizo más intensa y complicada,
fueron apareciendo problemas más complejos. No solo fue necesario
anotar él número de objetos de un conjunto y comunicárselo a otros
--necesidad que ya había conducido a la formulación del concepto
de número y su denominación--, sino que llego un momento en que
fue esencial aprender a contar colecciones cada vez mayores de animales en un rebaño, de objetos para trueque, de días anteriores a una
conceptos. Estas relaciones ya están implícitas en cualquier afirmación sobre la
abstracción, en su más imperfecta definición. Sin ellas la abstracción pierde todo
contenido y significado, es decir, sencillamente no existe. El contenido del concepto
de número abstracto reside en las reglas, en las relaciones mutuas del sistema de
números.

fecha fijada, etc. Y comunicar el resultado de la operación a otras
personas. Esta situación pedía sin demora un perfeccionamiento en
los nombres y símbolos de los números.
La introducción de los símbolos numéricos, que aparentemente
se produjo al mismo tiempo que la escritura, jugo un gran papel
en el desarrollo de la aritmética. Además fue la primera etapa hacia
los signos matemáticos y las formulas en general. La segunda etapa,
que consistió en la introducción de signos para las operaciones aritméticas y de una designación literal para la incógnita (x), tuvo lugar
mucho más tarde.
El concepto de número, como el de cualquier otro concepto
abstracto, no tiene una imagen inmediata; no puede ser exhibido,
sino solo concebido en la mente. Pero el pensamiento se formula
en el lenguaje, y esto hace que sin nombres no pueda haber conceptos. El símbolo es también un nombre, excepto que no es oral sino
escrito y se presenta a la mente en forma de una imagen visible.
Por ejemplo, si digo <<siete>> ¿Qué se imagina el lector? Probablemente no un conjunto de siete objetos de una u otra clase, sino más
bien el símbolo <<7>>, que forma una especie de marco tangible para
él numero abstracto (siete. Además, un numero como 18273 es
mucho más difícil pronunciar que de escribir y no puede ser
imaginado con ninguna precisión en forma de un conjunto de objetos.
De este modo ocurrió (aunque solo pasado cierto tiempo) que los
símbolos dieron lugar a la concepción de números tan grandes que
nunca habrían podido ser descubiertos por observación directa o
por enumeración. Con la aparición del Estado surgió la necesidad
de recoger impuestos, reclutar y equipar ejércitos, etc., todo lo cual
requirió operaciones con números muy grandes.
Así pues, la importancia de los símbolos numéricos reside en
primer lugar en que suministran una materialización sencilla del concepto de número abstracto6. Y este es el papel de las notaciones
matemáticas en general: conferir una estructura <<tangible>> a los
conceptos matemáticos abstractos. Así, + nota adición, x nota
un número desconocido, a un número cualquiera dado, etc. En segundo
lugar, los símbolos numéricos proporcionan un medio particularmente sencillo de realizar operaciones con ellos. Todo el mundo sabe

cuanto más fácil es <<coger el lápiz y papel>> que <<calcular de cabeza>>.
Los signos matemáticos y las formulas tienen esta ventaja en general;
permiten reemplazar una parte del razonamiento con cálculos, por
algo que es casi mecánico. Además, los cálculos escritos poseen ya
una autenticidad categórica; todo es visible, todo puede ser comprobado, y todo está definido por reglas exactas. Como ejemplos se
podrían mencionar la adición por columnas o cualquier transformación algebraica tal como <<pasar al otro miembro de la ecuación
cambiando el signo>>. De lo dicho se desprende claramente que sin
símbolos convenientes para los números la aritmética no habría
podido hacer muchos progresos. Y lo que es más, las matemáticas
contemporáneas serían imposibles sin la ayuda de signos especiales
y formulas.
Es obvio que ese método sumamente conveniente de escribir
los números que esta hoy en uso no se pudo inventar de una vez.
Desde los tiempos antiguos aparecieron en los distintos pueblos, en
los comienzos de sus culturas, símbolos numéricos que eran muy
diferentes de los actuales, no solo en su apariencia en general, sino también en los principios en que se fundaban.
Por ejemplo, el sistema decimal no se empleaba en absoluto y
los antiguos babilonios tenían un sistema que era parcialmente decimal y parcialmente sexagesimal. La tabla 1 da algunos de los símbolos numéricos empleados por distintos pueblos. En particular
vemos que los antiguos griegos, y más tarde también los rusos,
hicieron uso de letras para designar los números. Nuestros actuales
símbolos (arábigos), y en general nuestro método de formar los
números, fueron traídos, de la India a Europa por los árabes en el
siglo X y arraigaron firmemente en el transcurso de pocos siglos.
La primera particularidad de nuestro sistema es que es un sistema decimal. Pero esto no es de gran importancia, puesto que habría
sido posible usar, por ejemplo, un sistema duodecimal introduciendo
símbolos especiales para diez y once. La particularidad más importante
de nuestro sistema de designar números es que es <<posicional>>;
esto es, un mismo digito tiene distinto significado según sea su posición. Por ejemplo en 372 el número 3 nota él número de centenas, y
7, él número de decenas. Este método de escritura no solo es conciso
y sencillo, sino que facilita grandemente el cálculo. Los numerales
romanos eran a este respecto mucho menos manejables; el mismo

6

Pero una segunda razón y a esta es a la que deseamos prestar especial atención, es
que el niño ya dispone de palabras y signos para los números. Aprende primero estos
símbolos numéricos y solo más tarde comprende su significado.

Es importante señalar que el concepto de número, que fue elaborado con tanta
dificultad a lo largo de tanto tiempo, lo domina hoy cualquier niño con relativa
facilidad. ¿Por qué? La primera razón es naturalmente que el niño oye y ve a los
adultos hacer constante uso de los números, e incluso le enseñan a hacer lo mismo.

número 372 se escribe CCCLXXII; además, es una tarea muy laboriosa multiplicar dos números elevados escritos en caracteres romanos.
La escritura posicional requiere que de un modo u otro se especifique que una cierta categoría de números ha sido omitida, puesto
que de no hacerlo así confundiríamos, por ejemplo, treinta y uno
con trescientos uno, En el lugar de la categoría omitida debemos
colocar un cero, y de ese modo distinguimos 31 y 301. En forma
rudimentaria, el cero ya aparece en las últimas escrituras cuneiformes
babilónicas, pero su introducción sistemática fue obra de los indios7;
ello les permitió elaborar un sistema de escritura completamente
posicional como el que tenemos hoy en día.
De esta forma, el cero llega también a considerarse como un
número y entró a formar parte del sistema de numeración. Pero en
sí mismo el cero no es nada; en el lenguaje sánscrito de la antigua
India se le llamaba exactamente eso: <<vacío>> (cunga); no obstante,
en conexión con otros números el cero adquiere sentido y propiedades conocidas; por ejemplo, un número arbitrario más cero es el
mismo número; un número arbitrario multiplicado por cero da cero.
4. La teoría de los números como una rama de la matemática pura.
Volvamos a la aritmética de los antiguos. Los textos más antiguos
que se conservan de los tiempos de babilonia y Egipto, datan del
segundo milenio a.C. Estos y otros textos posteriores contienen
diversos problemas aritméticos con sus soluciones, entre ellos algunos que hoy pertenecen al álgebra, tales como la solución de ecuaciones cuadráticas e incluso cúbicas y progresiones; todo ellos presentado, por supuesto, en forma de problemas concretos y ejemplos
numéricos. Entre los babilonios también se encuentran tablas de
cuadrados, cubos y recíprocos. Ellos hacen suponer que por entonces
la matemática ya empezaba a suscitar cierto interés aparte del puramente relacionado con los problemas prácticos.
En cualquier caso, la aritmética estaba bien desarrollada en la
antigua Babilonia y Egipto, aun cuando no era todavía una teoría
matemática de los números, sino más bien una colección de soluciones a ciertos problemas y de reglas de cálculo. Es exactamente
de este modo como la aritmética se desarrolla actualmente en nues-

7

El primer manuscrito indio en el que figura el cero apareció a finales del
siglo IX; en él el número 270 se escribe exactamente como hoy. Pero es probable
que el cero fuese introducido en la India bastante antes en el siglo VI.

tras escuelas primarias y es entendida por aquellos que no están
especialmente interesados en la matemática. Lo cual es perfectamente
legítimo, pero sin olvidar que la aritmética en esta forma no es
todavía una teoría matemática al no haber problemas generales sobre
los números.
La transición a la aritmética teórica, tuvo lugar gradualmente.
Como ya hemos dicho, la existencia de los símbolos permite operar
con números tan grandes que sería imposible visualizarlos como
colecciones de objetos o llegar a ellos por el proceso de contar a
partir del número uno. Las tribus primitivas tenían números especiales hasta 3, 10, 100, etc; Pero después venía el indefinido <<muchos>>.
En contraste con esta situación, el uso de los símbolos para los números
permitió a los chinos, babilonios y egipcios llegar a las decenas de
millares e incluso a los millones. Fue en esta etapa cuando se descubrió la posibilidad de prolongar indefinidamente la serie de los
números, aunque no sabemos el momento en que esta posibilidad fue
claramente percibida. Arquímedes (287 – 212 a.C.), por ejemplo, en
su notable ensayo <<El Arenario>>, se toma el trabajo de describir un
método para designar un número mayor que el número de granos
de arena suficientes para llenar <<La esfera de las estrellas fijas>>. Esto
indica que la posibilidad de nombrar y escribir tal número requería
todavía en su tiempo una explicación detallada.
En el siglo III a.C., los griegos habían reconocido claramente dos
ideas importantes: primera, que la sucesión de números era susceptible de ser prolongada indefinidamente. ; Y segunda, que no solo era
posible operar con números cualesquiera dados, sino también referirse a los números en general y formular y probar teoremas sobre
ellos. Esta idea representa la generalización de una cantidad inmensa
de experiencias anteriores con números concretos, de las cuales entresacaron las reglas y métodos para razonamientos generales sobre los
números. Se había operado una transición a un nivel más alto de
abstracción: de números concretos (entes individuales, aunque abstractos) a números en general, es decir, a cualquier número posible.
A partir del sencillo proceso de contar objetos uno a uno, pasamos
al proceso ilimitado de formación de números añadiendo una unidad al número anterior. La sucesión de números aparece como
indefinidamente prolongable, y con ello entra en la matemática la

noción del infinito. Naturalmente, en la práctica es imposible llegar,
por el proceso de añadir una unidad tras otra, tan lejos como queramos en la sucesión de números: ¿Quién podrá alcanzar tanto como
un millón de millones, que es casi cuarenta veces el número de segúndos que hay en mil años? Pero no es eso a lo que vamos; el proceso
de añadir unidades, el proceso de formar colecciones arbitrariamente
grandes de objetos es el principio ilimitado, por lo que existe la posibilidad de continuar la sucesión de los números más allá de todo
límite. El hecho de que en la práctica real el proceso de contar sea
limitado no se hace aquí al caso. Es con ésta sucesión indefinidamente
prolongada con la que tienen que ver los teoremas generales sobre
números.
Los teoremas generales sobre cualquier propiedad de un número
arbitrario contienen ya en forma implícita infinidad de asertos sobre
las propiedades de cualquier número y son por tanto cualitativamente
más ricos que cualesquiera asertos particulares que pudieran verificarse para números específicos. Por esta razón los teoremas generales
deben ser probados por razonamientos generales derivados de la
regla fundamental de formación de la sucesión de los números.
Aquí percibimos una profunda particularidad de la matemática: la
matemática tiene como objetivo no solo relaciones cuantitativas dadas,
sino todas las posibles relaciones cuantitativas, y entre ellas el infinito.
En los famosos <<Elementos>> de Euclídes, escritos en el siglo III
antes de C., ya encontramos teoremas generales sobre los números,
en particular aquel que afirma que existen números primos infinitamente grandes.
Así es como la aritmética se transforma en la teoría de números:
alejándose de los problemas concretos particulares para internarse
en la región de los conceptos y razonamientos abstractos. Se ha
convertido en una parte de la matemática pura. En rigor este fue el
momento del nacimiento de la matemática pura con los rasgos característicos discutidos en la primera sección. Debemos, naturalmente,
anotar el hecho de que la matemática pura nació simultáneamente
de la aritmética y de la geometría, y que ya habían sido encontrados en las reglas generales de la aritmética algunos rudimentos del álgebra, parte de que se separó de la aritmética en una etapa
posterior, Pero esto se discutirá más tarde.
Queda ahora resumir nuestras conclusiones hasta este punto,
puesto que hemos trazado ya, aunque en grandes rasgos, el proceso
por el cual la aritmética teórica surge a partir del concepto de
número.

5. La naturaleza esencial de la aritmética
Puesto que el nacimiento de la aritmética teórica es parte del nacimiento de la matemática, resulta razonable esperar que nuestras conclusiones acerca de la aritmética arrojen luz sobre nuestras primeras
preguntas referidas a la matemática en general. Recordemos estas
preguntas, particularmente en sus aplicaciones a la aritmética.
1. ¿Cómo surgieron los conceptos abstractos de la aritmética
y que reflejan en el mundo real?
Esta pregunta esta respondida por las primeras observaciones
acerca del nacimiento de la aritmética. Sus conceptos se corresponden con las relaciones cuantitativas de las colecciones de los objetos.
Estos conceptos surgen por la vía de la abstracción, como resultado
del análisis y generalización de una inmensa cantidad de experiencia
práctica. Aparecen gradualmente; primero aparecieron los números
relacionados con objetos concretos, luego los números abstractos y
finalmente el concepto de número en general, de cualquier número
posible. Cada uno de estos conceptos surgió por combinación de la
experiencia práctica y de los conceptos abstractos anteriores. Esta es, de
paso, una de las leyes de información fundamentales de los conceptos
matemáticos: los conceptos aparecen tras una serie de sucesivas
abstracciones y generalizaciones, cada una de las cuales reposa en
la combinación de experiencias con conceptos abstractos previos.
La historia de los conceptos de la aritmética muestra cuan equivocado
es el punto de vista idealista que surge de <<Pensamiento puro>>,
de la <<Intuición Innata>>, de la <<Contemplación de formas a priori>>,
o algo similar.
2. ¿Por qué son las conclusiones de la aritmética tan convincentes e inalterables?
También la historia nos corresponde a esta pregunta. Ya vimos que
las conclusiones de la aritmética fueron apareciendo lentas y gradualmente; reflejan la experiencia acumulada en el curso de incontables
generaciones y de esta forma se han fijado indeleblemente en la
mente del hombre. Dichas conclusiones también se han fijado en el
lenguaje: en los nombres de los números, en sus símbolos, en la constante repetición de las mismas operaciones con los números, en su
constante aplicación a la vida diaria. Es de este modo como han ido
ganando en claridad y certidumbre. Los métodos de razonamiento
lógico también tienen el mismo origen. Lo esencial no es sólo el
hecho de que pueden repetirse cuando se desee, sino el de su validez
y claridad, que poseen en común con las relaciones entre los seres

del mundo real, relaciones que se reflejan en los conceptos de la
aritmética y en las reglas de la deducción lógica.
Esta es la razón por la cual los resultados de la aritmética son
tan convenientes; sus conclusiones se siguen lógicamente de sus conceptos básicos; y unos y otros, los métodos de la lógica y los conceptos
de la aritmética. Fueron elaborados y fijados en nuestro conocimiento
tras tres mil años de experiencia práctica, sobre la base de regularidades objetivas del mundo que no rodea.
3. ¿Por qué tiene la aritmética tantas aplicaciones a pesar de
la abstracción de sus conceptos?
La respuesta es sencilla. Los conceptos y conclusiones de la aritmética, que generalizan una enorme cantidad de experiencia, reflejan
en forma abstracta aquellas relaciones del mundo real que se encuentran constantemente y en todas partes. Es posible contar los objetos
de una habitación, las estrellas la gente, los átomos, etc. La aritmética considera algunas de las propiedades generales, haciendo abstracción de todo lo particular y lo concreto, y es precisamente porque se
consideran únicamente estas propiedades generales por lo que sus
conclusiones son aplicables a tantos casos. La posibilidad de un amplio
rango de aplicaciones está garantizada por la gran abstracción de la
aritmética, aunque es importante hacer notar que esta abstracción
no es vacía, sino que se deriva de una gran experiencia práctica.
Lo mismo es cierto para toda la matemática y para cualquier concepto abstracto o teoría. Las posibilidades de aplicación de una teoría
dependen en gran medida del material original que ella generaliza.
Al mismo tiempo, todo concepto abstracto, y el particular el
concepto del número, está limitado en su significado como resultado
de su misma abstracción. En primer lugar, cuando es aplicado a
cualquier objeto concreto refleja sólo un aspecto de éste, y por tanto
sólo proporciona una imagen incompleta de él. A menudo sucede,
por ejemplo, que el simple dato numérico dice muy poco sobre la
naturaleza del objeto. En segundo lugar, los conceptos abstractos no
pueden aplicarse indiscriminadamente sino con ciertas limitaciones;
es posible aplicar la aritmética a problemas concretos sin asegurarnos primero de que su aplicación tiene sentido en ese caso particular. Si hablamos de adición, por ejemplo, y simplemente unimos los
objetos en el pensamiento, entonces naturalmente no realizamos
ningún proceso con los objetos mismos. Pero si aplicamos la adición
a la reunión real de los objetos, si de hecho ponemos los objetos
juntos -por ejemplo, apilándolos en un montón o colocándolos
en una mesa-, entonces habremos efectuado una adición abs-

tracta, pero también un proceso real. Este proceso no consiste únicamente en una adición aritmética, que a veces puede ser incluso imposible de realizar. Por ejemplo, si arrojamos un objeto al montón,
puede romperse; si se junta a animales salvajes de diversas especies,
pueden despedazarse unos a otros; ciertos materiales puestos en
contacto pueden reaccionar químicamente: un litro de agua y un
litro de alcohol vertidos en un mismo recipiente producen no 2,
sino 1.9 litros de mezcla, como resultado de la disolución parcial de
los líquidos, etc. Ejemplos de este tipo son fáciles de encontrar.
Resumiendo, la realidad es concreta; y resulta particularmente
importante recordar este hecho en relación con la matemática debido
precisamente a su abstracción.
4. Finalmente, en la última cuestión nos preguntamos por
las fuerzas que condujeron al desarrollo de la matemática.
En el caso de la aritmética la respuesta también la proporciona
la historia. Vimos como los pueblos aprendieron a contar y llegaron
al concepto de número, y como las necesidades de la vida, planteando
problemas más difíciles, requirieron la introducción de símbolos
numéricos. En una palabra, las fuerzas que condujeron al desarrollo
de la aritmética fueron las necesidades prácticas de la vida social.
Estas necesidades prácticas, y el pensamiento abstracto que surgió
de ellas ejercieron unos sobre otros una constante interacción. Los
conceptos abstractos constituyeron en sí una valiosa herramienta para
la vida práctica y fueron constantemente mejorados debido a sus
muchas aplicaciones. Al hacer abstracción de lo accidental se desvela
lo esencial y garantiza el éxito en aquellos casos en que el papel
importante corresponde precisamente a esas propiedades y relaciones
elegidas y preservadas por la abstracción, y que son, en el caso de la
aritmética, las relaciones cuantitativas.
Además, la reflexión abstracta a menudo va más lejos que las
necesidades inmediatas de un problema práctico. Así, el concepto
de número tan grandes como un millón o un billón surgió sobre la
base de los cálculos prácticos, pero apareció antes que la necesidad
práctica de hacer uso de ellos. En la historia de la ciencia abundan
tales ejemplos; basta con recordar los números imaginarios que mencionamos anteriormente. Este es justamente un caso particular de
un fenómeno conocido de todos: la interacción de la experiencia y
el
pensamiento
abstracto,
de
la
práctica
y
la
teoría.


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