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Simulación y Análisis de Sistemas con ProModel .pdf



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Simulación y análisis
de sistemas con ProModel
Eduardo García Dunna
Heriberte) García Reyes
Leopoldo Eduardo Cárdenas Barrón

REVISIÓN TÉCNICA:
Dr. Lino AA N o t a r a n t o n i o
D e p a r t a m e n t o d e ingeniería industrial
Instituto T e c n o l ó g i c o y de Estudios Superiores de M o n t e r r e y
C a m p u s Santa F e
Bonifacio R o m á n Tapia
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional A u t ó n o m a d e México

@
Mexico • Argentina • Brasil • Colombia • Costa Rica • Chile • Ecuador
Espana • Guatemala • Panama • Peru • Puerto Rico • Uruguay »Venezuela

/

Datos de catalogación bibliográfica

GARCÍA DUNNA EDUARDO. GARCÍA REYES HERIBERTO y
CÁRDENAS BARRÓN LEOPOLDO EDUARDO
Simulación y análisis de sistemas con ProModel
Primera edición
PEARSON EDUCACIÓN. México. 2006
ISBN: 970-26-0773-6
Formato: 18.5 x 23.5 cm

Páginas: 280

Edición en español:
Editor:

Pablo Miguel Guerrero Rosas
e-mail: pablo.guerrero@pearsop,ed.com

Editor de desarrollo:

Bernardino Gutiérrez Hernández

Supervisor de producción: Enrique Trejo Hernández
Primera edición. 2006
D.R.© 2006 por Pearson Educación de México. S.A. de C.V.
Atlacomulco 500-5° Piso
Colonia Industrial Atoto
53519. Naucalpan de Juárez. Edo. de México
e-mail: editorial.universidades@pearsoned.com
Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031.
Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México. S.A. de C.V.
Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse,
registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni
por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico. por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.
El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también
la autorización del editor o de sus representantes.
ISBN: 970-26-0773-6
Impreso en México. Printed in México.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 0 9 08 07 06

Contenido
Prólogo

¡x

Capítulo 1

Principios básicos de la simulación
1.1
Introducción a la simulación
1.2
Definiciones de simulación
1.3
Ventajas y desventajas de la simulación
1.4
Elementos clave para garantizar el éxito de un modelo de simulación
1.5
Pasos para realizar un estudio de simulación
1.6
Problemas

1
2
3
7
8
10
13

Capítulo 2

Números pseudo aleatorios
2.1
Los números pseudo aleatorios
2.2
Generación de números pseudo aleatorios
2.2.1
Algoritmo de cuadrados medios
2.2.2
Algoritmo de productos medios
2.2.3
Algoritmo de multiplicador constante
2.2.4
Algoritmo lineal
2.2.5
Algoritmo congruencial multiplicativo
2.2.6
Algoritmo congruencial aditivo
2.2.7
Algoritmos congruenciales no lineales
2.3
Propiedades de los números pseudo aleatorios entre 0 y 1
2.4
Pruebas estadísticas para los números pseudo aleatorios
2.4.1
Prueba de medias
2.4.2
Prueba de varianza
2.4.3
Pruebas de uniformidad
2.4.4
Pruebas de independencia
2.5
Problemas

17
18
18
20
21
22
23
25
26
27
28
31
31
32
34
37
48

Capítulo 3

Variables aleatorias
3.1
Definición de variable aleatoria
3.2
Tipos de variables aleatorias
3.3
Determinación del tipo de distribución de un conjunto de datos
3.3.1
Prueba Chi-cuadrada
3.3.2
Prueba de Kolmogorov-Smirnov
3.3.3
Prueba de Anderson-Darling
3.3.4
Ajuste de datos con Stat: :Fit

53
54
54
56
57
59
62
67

U

Contenido

3.4

3.5
3.6

Generación de variables aleatorias
3.4.1
Método de la transformada inversa
3.4.2
Método de convolución
3.4.3
Método de composición
3.4.4
Método de transformación directa
Expresiones comunes de algunos generadores de variables aleatorias
Problemas

72
72
79
82
85
87
90

Capítulo 4

Simulación de variables aleatorias
4.1
Verificación y validación de los modelos de simulación
4.1.1
Simulaciones terminales
4.2
Simulaciones no terminales o de estado estable
4.2.1
Longitud de las réplicas
4.3
Modelos de simulación
4.3.1
Modelo de una línea de espera con un servidor
4.3.2
Modelo de un proceso de ensamble e inspección
4.3.3
Modelo de un sistema de inventarios
4.4
Selección de lenguajes de simulación
4.5
Problemas

105
106
106
109
109
113
113
117
121
124
126

Capítulo 5

Simulación con ProModel
5.1
Introducción al uso de ProModel
5.2
Elementos básicos
5.3
Estructura de programación en ProModel
5.4
Construcción de un modelo
5.4.1
Modelo M/M/1 de líneas de espera
5.4.2
Mejoramiento visual del modelo
5.4.3
Modelado de un sistema que incluye más de un proceso
5.4.4
Inclusión de gráficos de fondo en el modelo
5.5
Caso integrador
5.6
Problemas

131
132
132
133
133
133
146
154
162
164
166

Capítulo 6

Instrucciones de P r o M o d e l
6.1
Uso de la biblioteca de probabilidades
6.2
Recursos
6.3
Paros en los equipos
6.4
Reglas de ruteo
6.5
Ensambles, acumulación y agrupamiento de piezas

171
172
175
182
185
190

6.6
6.7
6.8

208
214
219

Anexo 1

Anexo 2
Anexo 3
vi

Transporte entre estaciones
Caso integrador
Problemas

Distribuciones de probabilidad
A.1
Distribuciones continuas
A.2
Distribuciones discretas
Reportes estadísticos en P r o M o d e l
Distribuciones de probabilidad

231
232
240
245
255

A mis padres Martha y Eduardo, a mi esposa
Carmen Alicia y a mis hijos Eduardo y José Pablo.
Eduardo

A mis padres Heriberto y María de Jesús, a mi esposa Cyntia
y a mis hijos Heriberto, Daniel Alejandro y José Miguel.
Heriberto

A mi amada esposa: Saraí; por su amor y cariño constante.
A mis valiosos tesoros: David Nahúm, Italia Tatnaiy Zuriel Eluzai,
quienes son la fuente de mi inspiración.
A mis adorados padres: María Guadalupe Amada y Rafael,
por su esfuerzo y dedicación para hacer de mí
un buen hombre y profesionista.
A mis queridos hermanos: Mario Rafael, Óscar,
Viviana Guadalupe y Nora Alicia, por creer en mí.
A los padres de mi esposa: Argelia y Cayetano por su apoyo.
Leopoldo

Eduardo

Prólogo
La complejidad en la operación de los sistemas de producción y servicios de la actualidad
requieren de una modelación cada vez más apegada a la realidad, que permita un análisis profundo y detallado. Por ello, herramientas que permitan modelar esta complejidad
se hacen relevantes y necesarias. Estamos convencidos que la simulación es una de las herramientas que hace posible conocer mejor el sistema en estudio, ya que permite evaluar
diversos escenarios considerando múltiples variables de decisión y visualizar su comportamiento a través del tiempo. Aquí pretendemos dar al lector la oportunidad de iniciarse
en el diseño, desarrollo y análisis de sistemas de una manera sencilla a través de la simulación utilizando de manera especial el programa ProModel.
El capítulo 1 establece los conceptos básicos relacionados con un proyecto de simulación, e incluye la introducción a la técnica y la metodología para su desarrollo. El capítulo
2 presenta los números aleatorios, base de los modelos estocásticos, sus propiedades, manejo y generación, así como todos los requerimientos para ser considerados como tales. El
capítulo 3 ofrece los conceptos de pruebas de bondad de ajuste, para determinar la distribución de probabilidad asociada con las variables de decisión y eventos en el sistema
a modelar; para con ello generar variables aleatorias a usarse durante la simulación. Este
capítulo incorpora el uso de la herramienta Stat:Fit,que se incluye con el CD que acompaña el libro. Esta herramienta permite determinar automáticamente la distribución de probabilidad de las variables y eventos a modelar en el sistema.
El capítulo 4 maneja los conceptos de validación y análisis de los modelos de simulación; y presenta al final del capítulo ejemplos, desarrollados en hojas de cálculo, sobre
líneas de espera, procesos de ensamble y sistemas de inventarios,con la esperanza de que
al final el lector sea capaz de realizar modelos simples usando una hoja de cálculo. El capítulo 5 presenta las características y bondades de ProModel por medio de ejemplos que
guían al usuario en la construcción de los modelos. El capítulo 6, por su parte, cubre elementos más complejos de programación que le permitirán ampliar sus capacidades de
modelación.
Al final de cada capítulo encontrará una serie de ejercicios que le ayudarán a fortalecer su aprendizaje. Asimismo, al final del libro existe una sección de tres anexos: el 1
proporciona información fundamental sobre las distribuciones de probabilidad más comunes. El 2 describe de manera exhaustiva el significado de los resultados obtenidos en
los reportes de ProModel. Finalmente, el 3 incluye un conjunto de tablas estadísticas que
serán de utilidad en el análisis de los modelos.
Es importante destacar que el CD-ROM que se incluye con el libro contiene la versión estudiantil de P r o M o d e l con todas las funciones de la versión profesional, con la única restricción en cuanto al tamaño de los modelos que pueden construirse.
Agradecemos enormemente a nuestros colegas del departamento de Ingeniería
Industrial y de Sistemas del ITESM-Campus Monterrey, por sus comentarios y por el impulso
ix

que nos dieron para que este libro llegara a ser realidad, y a nuestros estudiantes por el
interés mostrado con este proyecto. Queremos agradecer de una manera muy especial a
ProModel por permitirnos incluir su software, y en especial a Daniel Villarreal Paras por su
apoyo constante e incondicional para lograrlo. Por último, agradecemos a Pearson Educación de México por creer en nosotros.

Los autores

x

CAPÍTULO 1

PRINCIPIOS
BÁSICOS DE LA
SIMULACIÓN

1.1

Introducción a la simulación

1.2

Definiciones de simulación

1.3

Ventajas y desventajas de la simulación

1.4

Elementos clave para garantizar el éxito de un modelo de simulación

1.5

Pasos para realizar un estudio de simulación

1.6

Problemas

g| Capitulo 1 Principios básicos de la simulación

1.1 Introducción a la simulación
En años recientes, el advenimiento de nuevos y mejores desarrollos en el área de la computación ha traído consigo innovaciones igualmente importantes en los terrenos de la toma
de decisiones y el diseño de procesos y productos. En este sentido, una de las técnicas de
mayor impacto es la simulación.
Hoy en día, el analista tiene a su disposición una gran cantidad de software de simulación que le permite tomar decisiones en temas muy diversos. Por ejemplo, determinar la
mejor localización de una nueva planta, diseñar un nuevo sistema de trabajo o efectuar el
análisis productivo de un proceso ya existente pero que requiere mejoras. Sin duda, la facilidad que otorga a la resolución de éstas y muchas otras problemáticas, ha hecho de la
simulación una herramienta cuyo uso y desarrollo se han visto significativamente alentados. Cada vez resulta más sencillo encontrar paquetes de software con gran capacidad de
análisis, así como mejores animaciones y características para generación de reportes. En
general, dichos paquetes —ya sea orientados a procesos, a servicios o de índole general— nos proveen de una enorme diversidad de herramientas estadísticas que permiten
un manejo más eficiente de la información relevante bajo análisis, y una mejor presentación e interpretación de la misma.
El concepto de simulación engloba soluciones para muchos propósitos diferentes.
Por ejemplo, podríamos decir que el modelo de un avión a escala que se introduce a una
cámara por donde se hace pasar un flujo de aire, puede simular los efectos que experimentará un avión real cuando se vea sometido a turbulencia. Por otro lado, algunos paquetes permiten hacer la representación de un proceso de fresado o torneado: una vez
que el usuario establezca ciertas condiciones iniciales, podrá ver cómo se llevaría a cabo
el proceso real, lo que le permitiría revisarlo sin necesidad de desperdiciar material ni poner en riesgo la maquinaria.
Entre los distintos tipos de procesos de simulación que podemos utilizar, en este libro nos ocuparemos del que se basa en el uso de ecuaciones matemáticas y estadísticas,
conocido como simulación de e v e n t o s discretos. Este proceso consiste en relacionar los
diferentes eventos que pueden cambiar el estado de un sistema bajo estudio por medio
de distribuciones de probabilidad y condiciones lógicas del problema que se esté analizando. Por ejemplo, un proceso de inspección donde sabemos estadísticamente que 0.2%
de los productos tiene algún tipo de defecto puede simularse con facilidad mediante una
simple hoja de cálculo, considerando estadísticas de rechazos y productos conformes, y
asignando una distribución de probabilidad con 0.2% de oportunidad de defecto para cada intento de inspección.
En el presente capítulo abordaremos las definiciones básicas de los conceptos de la
simulación de eventos discretos. En los siguientes se presentarán algunos otros elementos relevantes, como los números pseudo aleatorios y las pruebas estadísticas necesarias
para comprobar esta aleatoriedad, la generación de variables aleatorias y la caracterización de algunas distribuciones de probabilidad de uso común en la simulación, lo cual
nos permitirá realizar una simulación sencilla con ayuda de una hoja de cálculo. Por último, describiremos la utilización de un software comercial: Promodel, una versión limitada
del cual se incluye en este libro.

2

1.2 Definiciones d< nniil n n n _

1.2 Definiciones de simulación
Para poder realizar un buen estudio de simulación es necesario entender los conceptos
básicos que componen nuestro modelo.
Comenzaremos por definir el concepto de simulación de eventos discretos como
el conjunto de relaciones lógicas, matemáticas y probabilísimas que integran el comportamiento de un sistema bajo estudio cuando se presenta un evento determinado. El objetivo
del modelo de simulación consiste, precisamente, en comprender, analizar y mejorar las
condiciones de operación relevantes del sistema.
En la definición anterior encontramos elementos como sistema, modelo y evento, de
los cuales se desprenden otros conceptos importantes dentro de una simulación, por lo
que a continuación abundaremos en cada uno de ellos.
La definición básica de sistema nos dice que se trata de un conjunto de elementos que
se interrelacionan para funcionar como un todo; desde el punto de vista de la simulación,
tales elementos deben tener una frontera clara. Por ejemplo, podemos hablar del sistema
de atención de clientes en un banco, del sistema de inventarios de una empresa o del sistema de atención en la sala de emergencia de un hospital. Cada uno de ellos puede dividirse en elementos que son relevantes para la construcción de lo que constituirá su modelo
de simulación; entre ellos tenemos entidades, estado del sistema, eventos actuales y futuros, localizaciones, recursos, atributos, variables y el reloj de la simulación.
Una entidad es la representación de los flujos de entrada a un sistema; éste es el elemento responsable de que el estado del sistema cambie. Ejemplos de entidades pueden
ser los clientes que llegan a la caja de un banco, las piezas que llegan a un proceso o el
embarque de piezas que llega a un inventario.
El estado del sistema es la condición que guarda el sistema bajo estudio en un momento determinado; es como una fotografía de lo que está pasando en el sistema en cierto
instante. El estado del sistema se compone de variables o características de operación
puntuales (digamos el número de piezas que hay en el sistema en ese momento), y de variables o características de operación acumuladas, o promedio (como podría ser el tiempo
promedio de permanencia de una entidad en el sistema, en una fila, almacén o equipo).
Un e v e n t o es un cambio en el estado actual del sistema; por ejemplo, la entrada o salida de una entidad, la finalización de un proceso en un equipo, la interrupción o reactivación de una operación (digamos por un descanso del operario), o la descompostura de
una máquina. Podemos catalogar estos eventos en dos tipos: eventos actuales, que son
aquellos que están sucediendo en el sistema en un momento dado, y eventos futuros,
que son cambios que se presentarán en el sistema después del tiempo de simulación, de
acuerdo con una programación específica. Por ejemplo, imagine que cierta pieza entra a
una máquina para que ésta realice un proceso. El evento actual sería precisamente que la
entidad llamada "pieza" se encuentra en la máquina. El evento futuro podría ser el momento en que la máquina concluirá su trabajo con la pieza y ésta seguirá su camino hacia
el siguiente proceso lógico,de acuerdo con la programación:almacenamiento, inspección
o entrada a otra máquina.
Las localizaciones son todos aquellos lugares en los que la pieza puede detenerse para ser transformada o esperar a serlo. Dentro de estas localizaciones tenemos almacenes,
bandas transportadoras, máquinas, estaciones de inspección, etcétera.
3

~| Capítulo 1 Principios básicos de la simulación

Los recursos son aquellos dispositivos —diferentes a las localizaciones— necesarios
para llevara cabo una operación. Por ejemplo, un montacargas que transporta una pieza
de un lugar a otro: una persona que realiza la inspección en una estación y toma turnos
para descansar; una herramienta necesaria para realizar un proceso pero que no forma parte
de una localización específica, sino que es trasladada de acuerdo con los requerimientos de
aquel.
Un atributo es una característica de una entidad. Por ejemplo, si la entidad es un motor,
los atributos serían su color, peso, tamaño o cilindraje. Los atributos son muy útiles para
diferenciar entidades sin necesidad de generar una entidad nueva, y pueden adjudicarse
al momento de la creación de la entidad, o asignarse y/o cambiarse durante el proceso.
Como indica su nombre, las variables son condiciones cuyos valores se crean y modifican por medio de ecuaciones matemáticas y relaciones lógicas. Pueden ser continuas (por
ejemplo, el costo promedio de operación de un sistema) o discretas (por ejemplo, el número de unidades que deberá empacarse en un contenedor). Las variables son muy útiles
para realizar conteos de piezas y ciclos de operación, así como para determinar características de operación del sistema.
El reloj de la simulación es el contador de tiempo de la simulación, y su función consiste en responder preguntas tales como cuánto tiempo se ha utilizado el modelo en la simulación, y cuánto tiempo en total se quiere que dure esta última. En general, el reloj de
simulación se relaciona con la tabla de eventos futuros, pues al cumplirse el tiempo programado para la realización de un evento futuro, éste se convierte en un evento actual. Regresando al ejemplo de la pieza en la máquina, cuando el tiempo de proceso se cumpla, la
pieza seguirá su camino hasta su siguiente localización;el reloj de la simulación simula precisamente ese tiempo.
Podemos hablar de dos tipos de reloj de simulación: el reloj de simulación a b s o luto, que parte de cero y termina en un tiempo total de simulación definido, y el reloj de
simulación relativo, que sólo considera el lapso de tiempo que transcurre entre dos
eventos. Por ejemplo, podemos decir que el tiempo de proceso de una pieza es relativo,
mientras que el tiempo absoluto sería el tiempo global de la simulación: desde que la pieza
entró a ser procesada hasta el momento en el que terminó su proceso.
Como se mencionó antes, existen distintos modelos de simulación que permiten representar situaciones reales de diferentes tipos. Podemos tener modelos físicos —como
el del avión que mencionamos en la sección anterior— o modelos matemáticos, a los cuales pertenecen los modelos de simulación de eventos discretos. Asimismo, los modelos
pueden diferenciarse según el tipo de ecuaciones matemáticas que los componen. Por
ejemplo, se conoce como modelos continuos a aquellos en los que las relaciones entre
las variables relevantes de la situación real se definen por medio de ecuaciones diferenciales, dado que éstas permiten conocer el comportamiento de las variables en un lapso
de tiempo continuo. Problemas como saber de qué manera se transfiere el'calor en un
molde o determinar cómo fluye cierto material dentro de una tubería, e incluso discernir
el comportamiento del nivel de un tanque de gasolina al paso del tiempo mientras el vehículo está en marcha, pueden simularse en estos términos.
Además de modelos continuos tenemos modelos discretos. En ellos el comportamiento que nos interesa analizar puede representarse por medio de ecuaciones evaluadas en un punto determinado. Por ejemplo, si hacemos un muestreo del número de
4

*

1.2 Definiciones de simulación ~|

personas que llegaron a un banco en un lapso de tiempo específico, podemos simular esta variable con ecuaciones ligadas a distribuciones de probabilidad que reflejen dicho
comportamiento.
Otro tipo de clasificación es el de los modelos dinámicos o estáticos. Los modelos d i námicos son aquellos en los que el estado del'sistema que estamos analizando cambia
respecto del tiempo. Por ejemplo, el número de personas que hacen fila para entrar a una
sala de cine varía con el tiempo. Por otro lado, los modelos estáticos representan un resultado bajo un conjunto de situaciones o condiciones determinado; por ejemplo, al lanzar un dado los únicos valores que se puede obtener son 1,2,3,4,5 o 6, de manera que el
resultado de la simulación será uno de tales valores posibles; este tipo de simulación generalmente se conoce como simulación de Monte Cario.
Por último, podemos hablar de modelos determinísticos y modelos probabilísticos, conocidos también como estocásticos. Los primeros se refieren a relaciones constantes entre los cambios de las variables del modelo. Por ejemplo, si las cajas empleadas
en un proceso contienen siempre 5 productos, cada vez que se añada una caja al inventario éste se incrementará en 5 unidades. Si, por el contrario, se da una distribución de probabilidad en el proceso de manera que algunas cajas contienen 3 productos, otras 4 y así
por el estilo, el inventario se modificará según el número de piezas de cada caja y, en consecuencia, será necesario un modelo estocástico. En el caso de la simulación de eventos
discretos hablaremos de modelos matemáticos, discretos, dinámicos, y que pueden incluir variables determinísticas y probabilísticas.
Ejemplo 1.1
Un taller recibe ciertas piezas, mismas que son acumuladas en un almacén temporal en
donde esperan a ser procesadas. Esto ocurre cuando un operario transporta las piezas del
almacén a un torno. Desarrolle un modelo que incluya el número de piezas que hay en el almacén esperando a ser atendidas en todo momento, y el número de piezas procesadas
en el torno.
En la siguiente figura»podemos observar cómo se vería un modelo de simulación para este ejemplo.

Figura 1.1
Modelo de simulación
para el ejemplo 1.1

5

~| Capítulo 1 Principios básicos de la simulación

En este ejemplo podemos identificar algunos de los elementos que participan en un modelo de simulación, de acuerdo con las definiciones que hemos comentado:
Sistema: En este caso, el sistema está conformado por el conjunto de elementos interrelacionados para el funcionamiento del proceso: las piezas, el almacén temporal, el operario, el torno.
E n t i d a d e s : En este modelo sólo tenemos una entidad: las piezas, que representan los flujos de entrada al sistema del problema bajo análisis.
Estado del sistema: Podemos observar que cuando llevamos 1 hora 10 minutos de simulación (vea el extremo superior derecho de la figura) en el almacén se encuentran 9 piezas
esperando a ser procesadas; el operario está transportando una pieza más para procesarla en el torno. El torno, por lo tanto, no está trabajando en ese momento, aunque ya ha
procesado 4 piezas. Además de estos datos, podemos llevar un control de otras estadísticas relacionadas con el estado del sistema, como el tiempo promedio de permanencia de
las piezas en los estantes del almacén temporal o en el sistema global.
E v e n t o s : Entre otros, podríamos considerar como eventos de este sistema el tiempo de
descanso del operario o la salida de una pieza tras ser procesada por el torno. Además es
posible identificar un evento futuro: la llegada de la siguiente pieza al sistema (tendríamos
más eventos de este tipo respecto de las piezas que esperan a que el operario las tome).
Localizaciones: En este caso tenemos el almacén al que deberán llegar las piezas y en el
que esperarán a ser procesadas, así como el torno en donde esto ocurrirá.
Recursos: En este modelo, un recurso es el operario que transporta las piezas del almacén al torno.
Atributos: Digamos que (aunque no se menciona en el ejemplo) las piezas pueden ser de
tres tamaños diferentes. En este caso, un atributo llamado tamaño podría agregarse a la
información de cada pieza que llega al sistema, para posteriormente seleccionar el tipo de
operación que deberá realizarse y el tiempo necesario para llevarla a cabo de acuerdo con
dicho atributo.
Variables: Tenemos dos variables definidas en este caso: el número de piezas en el almacén y el número de piezas procesadas en el torno.
Reloj de la simulación: Como se puede ver en la esquina superior derecha de la figura
1.1, en este momento la simulación lleva 1 hora 10 minutos. El reloj de la simulación continuará avanzando hasta el momento que se haya establecido para el término de la simulación, o hasta que se cumpla una condición lógica para detenerla, por ejemplo, el número
de piezas que se desean simular.
Otro concepto importante que vale la pena definir es el de réplica o corrida de la simulación. Cuando ejecutamos el modelo en una ocasión, los valores que obtenemos de las
variables y parámetros al final del tiempo de simulación generalmente serán distintos de
los que se producirán si lo volvemos a correr usando diferentes números pseudo aleatorios. Por lo tanto, es necesario efectuar más de una réplica del modelo que se esté analizando, con la finalidad de obtener estadísticas de intervalo que nos den una mejor
ubicación del verdadero valor de la variable bajo los diferentes escenarios que se presentan al modificar los números pseudo aleatorios en cada oportunidad.

1.3 Ventajas y desventajas de I?

c i r r

j

" >\»r\ñn

En este sentido, la pregunta clave es cuánto tiempo se debe simular un modelo para
obtener resultados confiables. En general, podemos decir que todas las variables que se obtienen en términos de promedios presentan dos diferentes etapas: un estado transitorio
y un estado estable. El primero se presenta al principio de la simulación; por ejemplo, en
el arranque de una planta, cuando no tiene material en proceso: el último de los procesos
estará inactivo hasta que el primer cliente llegue, y si el tiempo de simulación es bajo, su
impacto sobre la utilización promedio de este proceso será muy alto, lo cual no ocurriría
si el modelo se simulara lo suficiente para lograr una compensación. En el estado transitorio hay mucha variación entre los valores promedio de las variables de decisión del modelo, por lo que formular conclusiones con base en ellos sería muy arriesgado, toda vez
que difícilmente nos darían una representación fiel de la realidad.
Por otro lado, en el estado estable los valores de las variables de decisión permanecen muy estables, presentando sólo variaciones poco significativas. En este momento las
decisiones que se tomen serán mucho más confiables. Sin embargo no todas las variables
convergen al estado estable con la misma rapidez: algunas pasan con más lentitud que
otras de un estado transitorio a un estado estable. Es responsabilidad del analista verificar
que las variables de decisión del modelo se encuentren en estado estable antes de detener el tiempo de la simulación.
Otro factor importante para decidir el tiempo de simulación es el costo de la corrida.
Mayor tiempo de simulación requiere más tiempo computacional, lo cual implica, necesariamente, un costo más alto. Por supuesto, la situación empeora si a esto le agregamos
que en algunos casos es necesario efectuar más de tres réplicas.

1.3 Ventajas y desventajas de la simulación
Como hemos visto hasta ahora, la simulación es una de las diversas herramientas con las
que cuenta el analista para tomar decisiones y mejorar sus procesos. Sin embargo, es
necesario destacar que, como todas las demás opciones de que disponemos, la simulación de eventos discretos presenta ventajas y desventajas que es preciso tomar en cuenta
al determinar si es apta para resolver un problema determinado.

7

~| Capítulo 1 Principios básicos de la simulación

Dentro de las ventajas más comunes que ofrece la simulación podemos citar las siguientes:
o) Es muy buena herramienta para conocer el impacto de los cambios en los procesos sin necesidad de llevarlos a cabo en la realidad.
b) Mejora el conocimiento del proceso actual al permitir que el analista vea cómo se
comporta el modelo generado bajo diferentes escenarios.
c) Puede utilizarse como medio de capacitación para la toma de decisiones.
d) Es más económico realizar un estudio de simulación que hacer muchos cambios
en los procesos reales.
e) Permite probar varios escenarios en busca de las mejores condiciones de trabajo
de los procesos que se simulan.
f) En problemas de gran complejidad, la simulación permite generar una buena solución.
g) En la actualidad los paquetes de software para simulación tienden a ser más sencillos, lo que facilita su aplicación.
h) Gracias a las herramientas de animación que forman parte de muchos de esos paquetes es posible ver cómo se comportará un proceso una vez que sea mejorado.
Entre las desventajas que puede llegar a presentar la simulación están:
a) Aunque muchos paquetes de software permiten obtener el mejor escenario a partir de una combinación de variaciones posibles, la simulación no es una herramienta de optimización.
b) La simulación puede ser costosa cuando se quiere emplearla en problemas relativamente sencillos de resolver, en lugar de utilizar soluciones analíticas que se han
desarrollado de manera específica para ese tipo de casos.

»•

c) Se requiere bastante tiempo —generalmente meses— para realizar un buen estudio de simulación; por desgracia, no todos los analistas tienen la disposición (o la
oportunidad) de esperar ese tiempo para obtener una respuesta.
d) Es preciso que el analista domine el uso del paquete de simulación y que tenga sólidos conocimientos de estadística para interpretar los resultados.

1.4 Elementos clave para garantizar el éxito
de un modelo de simulación
Independientemente de los beneficios que conlleva la simulación, es imposible garantizar
que un modelo tendrá éxito. Existen ciertas condiciones clave que pueden traer problemas
si no se les pone atención al momento de usar la simulación para la toma de decisiones.
A continuación destacaremos algunas de las causas por las que un modelo de simulación
podría no tener los resultados que se desean:
Tamaño insuficiente de la corrida. Como se mencionó antes, para poder llegar a conclusiones estadísticas válidas a partir de los modelos de simulación es necesario que las
variables aleatorias de respuesta estén en estado estable. El problema estriba en que,ge8

1.4 Elementos clave para garantizar el éxito de un modelo de simulación ~|

neralmente, cuando el modelo consta de más de una variable de decisión, es difícil que
éstas alcancen un estado estable al mismo tiempo: es posible que una se encuentre estable y la otra no en un momento determinado, por lo que las conclusiones respecto de la
segunda variable no serán estadísticamente confiables.
Variable(s) de respuesta mal definida(s). Aun cuando el modelo de simulación sea
muy eficiente y represente la realidad en gran medida, si la variable de respuesta seleccionada no es la apropiada será imposible tomar decisiones que tengan impacto en la operación del sistema bajo estudio.
Por ejemplo, digamos que una variable de respuesta es el nivel de inventarios de cierto producto. Ai mismo tiempo, la política de la empresa establece que no se debe parar
ninguno de los procesos de fabricación. En consecuencia, el problema no será el inventario final, sino el ritmo de producción necesario para que aquel cumpla con los requerimientos de diseño que se desean.
Errores al establecer las relaciones entre las variables aleatorias. Un error común de
programación es olvidar las relaciones lógicas que existen entre las variables aleatorias del
modelo, o minimizar su impacto. Si una de estas variables no está definida de manera correcta, ciertamente aún es posible tener un modelo que se apegue a la realidad actual; sin
embargo, si el sistema no se lleva hasta su máxima capacidad para observar su comportamiento, podría resultar imposible visualizar el verdadero impacto de las deficiencias.
Errores al determinar el tipo de distribución asociado a las variables aleatorias del
modelo. Este tipo de problema es muy similar al anterior, sólo que en este caso se utilizan distribuciones que no son las más adecuadas o que responden únicamente a un intento de simplificar los estudios estadísticos. Digamos, por ejemplo, que se nos dan los
siguientes parámetros de producción aproximados: mínimo 10, máximo 40 y promedio
30. En esta circunstancia la tentación de simplificar el estudio de la variable asignándole
una distribución triangular con parámetros (10,30,40) es muy grande; no obstante, hacerlo afectaría de manera importante los resultados de la simulación, pues el modelo podría
alejarse de lo que sucede en la realidad.
Falta de un análisis estadístico de los resultados. Un problema común por el que la
simulación suele ser objeto de crítica, radica en asumir que se trata de una herramienta
de optimización. Esta apreciación es incorrecta, ya que involucra variables aleatorias y características propias de un modelo que incluye probabilidades. Por lo mismo —como se
apuntó antes—, es necesario realizar varias corridas a fin de producir diferentes resultados finales para las variables de respuesta y, a partir de esos valores, obtener intervalos de
confianza que puedan dar un rango en dónde encontrar los valores definitivos. Este tipo
de problemas se presentan también al comparar dos escenarios: podríamos encontrar un
mejor resultado para uno de ellos, pero si los intervalos de confianza de las variables de
respuesta se traslapan resultaría imposible decir que el resultado de un escenario es mejor que el del otro. De hecho, estadísticamente hablando ambos resultados pueden ser
iguales. En ese caso incrementar el tamaño de corrida o el número de réplicas puede ayudar a obtener mejores conclusiones.
Uso incorrecto de la información obtenida. Un problema que se presenta en ocasiones es el uso incorrecto de la información recabada para la realización del estudio, ya sea
a través de un cliente o de cualesquiera otras fuentes. Muchas veces esta información se
recolecta, analiza y administra de acuerdo con las necesidades propias de la empresa, lo
9

| Capítulo 1 Principios básicos de la simulación

que implica que no siempre está en el formato y la presentación que se requiere para la
simulación. Si la información se utiliza para determinar los parámetros del modelo sin ser
depurada y reorganizada, es muy probable que la precisión de los resultados del estudio
se vea afectada.
Falta o exceso de detalle en el modelo. Otro punto importante a considerar es el nivel
de detalle del modelo. En muchas ocasiones algún proceso se simplifica tanto que tiende
a verse como una "caja negra"que nos impide ver qué ocurre en el interior, aunque sí haya
entrada y salida de datos que interactúan con otras partes del modelo. Cuando esto sucede, el impacto que podrían tener los subprocesos que se llevan a cabo en la "caja negra"
(es decir, del proceso sobresimplificado) no se incluye en la simulación. Por ejemplo, si se
analiza un sistema de distribución y se da por sentado que el almacén siempre surte sus
pedidos, no incluiremos el impacto de los tiempos necesarios para surtir las órdenes, ni la
posibilidad de que haya faltantes de producto; excluiremos también los horarios de comida, en los que no se surten pedidos, y las fallas en los montacargas que transportan los pedidos hasta los camiones para su distribución. Por otra parte, si el modelo se hace demasiado
detallado, tanto el tiempo dedicado al estudio como el costo de llevarlo a cabo podrían
incrementarse sustancialmente. Es labor del encargado de la simulación sugerir y clarificar los niveles de detalle que se requieren en el modelo, resaltando los alcances y limitaciones de cada uno.

1.5 Pasos para realizar un estudio de simulación
Debemos considerar que —igual a como ocurre con otras herramientas de investigación— la realización de un estudio de simulación requiere la ejecución de una serie de actividades y análisis que permitan sacarle el mejor provecho. A continuación se mencionan
los pasos básicos para realizar un estudio de simulación,aunque en muchas ocasiones será necesario agregar otros o suprimir algunos de los aquí enumerados, de acuerdo con la
problemática en cuestión.
1. Definición del sistema bajo estudio. En esta etapa es necesario conocer el sistema a
modelar. Para ello se requiere saber qué origina el estudio de simulación y establecer los
supuestos del modelo: es conveniente definir con claridad las variables de decisión del
modelo, determinar las interacciones entre éstas y establecer con precisión los alcances y
limitaciones que aquel podría llegar a tener.
Antes de concluir este paso es recomendable contar con la información suficiente
para lograr establecer un modelo conceptual del sistema bajo estudio, incluyendo sus
fronteras y todos los elementos que lo componen, además de las interacciones entre éstos, flujos de productos, personas y recursos, así como las variables de mayor interés para
el problema.
2. Generación del modelo de simulación base. Una vez que se ha definido el sistema
en términos de un modelo conceptual, la siguiente etapa del estudio consiste en la generación de un modelo de simulación base. No es preciso que este modelo sea demasiado
detallado, pues se requiere mucha más información estadística sobre el comportamiento de
las variables de decisión del sistema. La generación de este modelo es el primer reto para
el programador de la simulación, toda vez que debe traducir a un lenguaje de simulación
10

1.5 Pasos para realizar un estudio de simulación ~|

la información que se obtuvo en la etapa de definición del sistema, incluyendo las ¡nterrelaciones de todos los posibles subsistemas que existan en el problema a modelar. En caso
de que se requiera una animación, éste también es un buen momento para definir qué
gráfico puede representar mejor el sistema que se modela.
Igual que ocurre en otras ramas de la investigación de operaciones, la simulación exige ciencia y arte en la generación de sus modelos. El realizador de un estudio de simulación es, en este sentido, como un artista que debe usar toda su creatividad para realizar
un buen modelo que refleje la realidad del problema que se está analizando.Conforme se
avanza en el modelo base se pueden ir incluyendo las variables aleatorias del sistema, con
sus respectivas distribuciones de probabilidad asociadas.
3. Recolección y análisis de d a t o s . De manera paralela a la generación del modelo
base, es posible comenzar la recopilación de la información estadística de las variables
aleatorias del modelo. En esta etapa se debe determinar qué información es útil para la
determinación de las distribuciones de probabilidad asociadas a cada una de las variables
aleatorias innecesarias para la simulación. Aunque en algunos casos se logra contar con
datos estadísticos, suele suceder que el formato de almacenamiento o de generación de
reportes no es el apropiado para facilitar el estudio. Por ello es muy importante dedicar el
tiempo suficiente a esta actividad. De no contar con la información necesaria o en caso de
desconfiar de la que se tiene disponible, será necesario realizar un estudio estadístico del
comportamiento de la variable que se desea identificar, para posteriormente incluirla en
el modelo. El análisis de los datos necesarios para asociar una distribución de probabilidad a una variable aleatoria, así como las pruebas que se debe aplicar a los mismos, se
analizarán más adelante. Al finalizar la recolección y análisis de datos para todas las variables del modelo, se tendrán las condiciones necesarias para generar una versión preliminar del problema que se está simulando.
4. G e n e r a c i ó n del m o d e l o preliminar. En esta etapa se integra la información obtenida a partir del análisis de los datos, los supuestos del modelo y todos los datos que se requieran para tener un modelo lo más cercano posible a la realidad del problema bajo
estudio. En algunos casos —sobre todo cuando se trata del diseño de un nuevo proceso
o esquema de trabajo— no se cuenta con información estadística, por lo que debe estimarse un rango de variación o determinar (con ayuda del cliente) valores constantes que
permitan realizar el modelado. Si éste es el caso, el encargado de la simulación puede, con
base en su experiencia, realizar algunas sugerencias de distribuciones de probabilidad
que comúnmente se asocien al tipo de proceso que se desea incluir en el modelo. Al finalizar esta etapa el modelo está listo para su primera prueba: su verificación o, en otras palabras, la comparación con la realidad.
5. Verificación del m o d e l o . Una vez que se han identificado las distribuciones de probabilidad de las variables del modelo y se han implantado los supuestos acordados,
es necesario realizar un proceso de verificación de datos para comprobar la propiedad
de la programación del modelo, y comprobar que todos los parámetros usados en la
simulación funcionen correctamente.Ciertos problemas,en especial aquellos que requieren
muchas operaciones de programación o que involucran distribuciones de probabilidad
difíciles de programar, pueden ocasionar que el comportamiento del sistema sea muy diferente del que se esperaba. Por otro lado, no se debe descartar la posibilidad de que ocurran errores humanos al alimentar el modelo con la información. Incluso podría darse el
11

J Capitulo 1 Principios básicos de la simulación

caso de que los supuestos iniciales hayan cambiado una o varias veces durante el desarrollo del modelo. Por lo tanto, debemos asegurarnos de que el modelo que se va a ejecutar esté basado en los más actuales.
Una vez que se ha completado la verificación, el modelo está listo para su comparación con la realidad del problema que se está modelando. A esta etapa se le conoce también como validación del modelo.
6. Validación del modelo. El proceso de validación del modelo consiste en realizar una
serie de pruebas al mismo, utilizando información de entrada real para observar su comportamiento y analizar sus resultados.
Si el problema bajo simulación involucra un proceso que se desea mejorar, el modelo debe someterse a prueba con las condiciones actuales de operación, lo que nos dará
como resultado un comportamiento similar al que se presenta realmente en nuestro proceso. Por otro lado, si se está diseñando un nuevo proceso la validación resulta más complicada. Una manera de validar el modelo en este caso, consiste en introducir algunos
escenarios sugeridos por el cliente y validar que el comportamiento sea congruente con
las expectativas que se tienen de acuerdo con la experiencia. Cualquiera que sea la situac i o n e s importante que el analista conozca bien el modelo, de manera que pueda justificar aquellos comportamientos que sean contrarios a las experiencias de los especialistas
en el proceso que participan de su validación.
7. G e n e r a c i ó n del modelo final. Una vez que el modelo se ha validado, el analista está
listo para realizar la simulación y estudiar el comportamiento del proceso. En caso de que
se desee comparar escenarios diferentes para un mismo problema, éste será el modelo
raíz; en tal situación, el siguiente paso es la definición de los escenarios a analizar.
8. Determinación de los escenarios para el análisis. Tras validar el modelo es necesario acordar con el cliente los escenarios que se quiere analizar. Una manera muy sencilla de
determinarlos consiste en utilizar un escenario pesimista, uno optimista y uno intermedio
para la variable de respuesta más importante. Sin embargo, es preciso tomar en cuenta
que no todas las variables se comportan, igual ante los cambios en los distintos escenarios, por lo que tal vez sea necesario que más de una variable de respuesta se analice bajo las perspectivas pesimista, optimista e intermedia. El riesgo de esta situación radica en
que el analista podría caer en un diseño de experimentos capaz de generar una gran cantidad de réplicas, lo que redundaría en un incremento considerable de costo, análisis y
tiempo de simulación. Es por ello que muchos paquetes de simulación cuentan con herramientas para realizar este proceso, eliminando la animación y acortando los tiempos
de simulación. Estas herramientas permiten realizar varias réplicas del mismo escenario
para obtener resultados con estadísticas importantes respecto de la toma de decisiones
(por ejemplo, los intervalos de confianza).
Por su parte, el analista también puede contribuir a la selección de escenarios, sugiriendo aquellos que considere más importantes; al hacerlo dará pie a que se reduzca el
número de combinaciones posibles.
9. Análisis de sensibilidad. Una vez que se obtienen los resultados de los escenarios es
importante realizar pruebas estadísticas que permitan comparar los escenarios con los
mejores resultados finales. Si dos de ellos tienen resultados similares será necesario comparar sus intervalos de confianza respecto de la variable de respuesta final. Si no hay intersección de intervalos podremos decir con certeza estadística que los resultados no son

1.6 Problemas

~|

iguales; sin embargo, si los intervalos se traslapan será imposible determinar, estadísticamente hablando, que una solución es mejor que otra. Si se desea obtener un escenario
"ganador" en estos casos, será necesario realizar más réplicas de cada modelo y/o incrementar el tiempo de simulación de cada corrida. Con ello se busca acortar los intervalos
de confianza de las soluciones finales y, por consiguiente, incrementar la probabilidad de
diferenciar las soluciones.
10. Documentación del modelo, sugerencias y conclusiones. Una vez realizado el
análisis de los resultados, es necesario efectuar toda la documentación del modelo.
Esta documentación es muy importante, pues permitirá el uso del modelo generado
en caso de que se requieran ajustes futuros. En ella se deben incluir los supuestos del modelo, las distribuciones asociadas a sus variables, todos sus alcances y limitaciones y, en general, la totalidad de las consideraciones de programación.También es importante incluir
sugerencias tanto del uso del modelo como sobre los resultados obtenidos, con el propósito de realizar un reporte más completo. Por último, deberán presentarse asimismo las
conclusiones del proyecto de simulación, a partir de las cuales es posible obtener los reportes ejecutivos para la presentación final.
En la figura 1.3 se presenta una gráfica de Gantt en donde se muestra, a manera de
ejemplo, la planificación de los pasos para realizar una simulación que hemos comentado
en esta sección.

Figura 1.3

Gráfica de Gantt de un proyecto de simulación

1.6 Problemas
1. Determine los elementos de cada uno de los siguientes sistemas, de acuerdo con lo
que se comentó en la sección 1.2.
a) La sala de emergencia de un hospital.
b) Un banco mercantil.
13

H Capítulo 1 Principios básicos de la simulación

c)
d)
e)
f)

Una línea telefónica de atención a clientes.
La recepción de un hotel.
Un taller de tornos.
El proceso de pintura de un automóvil.

2. Determine los elementos de cada uno de estos sistemas, de acuerdo con lo que se
analizó en la sección 1.2.
a) El sistema de mantenimiento de los equipos de una empresa, llevado a cabo por
una cuadrilla de personas.
b)
c)
d)
e)
f)

Un aeropuerto.
Una bodega de distribución de productos.
Una línea embotelladora de refrescos.
Un sistema de control de tránsito para la ciudad.
Una línea de armado de refrigeradores.

3. Determine cuáles podrían ser las entidades en cada uno de los siguientes sistemas.
a) Un cajero automático.
b) Un sistema automático de inspección de botellas.
c) Una máquina dobladora de lámina.
d) Un proceso de empaque de televisores.
4. Determine cuáles podrían ser las entidades en cada uno de los siguientes sistemas.
o) Un sistema de distribución de paquetería.
b) Un sistema de cobranza.
c) Un conmutador telefónico.
d) Un departamento de devolución de mercancía.
5. Determine qué atributos podrían ser relevantes para la simulación de los siguientes
sistemas.
a) El maquinado de una familia de engranes.
b) Un proceso de pintura de refrigeradores.
c) Un sistema de recepción de materia prima.
d) Un proceso de soldadura para varios productos.
6. Determine qué atributos podrían ser relevantes para la simulación de los siguientes
sistemas.
a) Un proceso de empaque de 10 productos por caja, donde cada producto es diferente.
b) Un proceso de separación de 3 productos para enviarlos a sus respectivas áreas de
procesamiento.
c) Un sistema de inspección de calidad de piezas maquinadas.
d) Un sistema de programación de mantenimiento que califica sus trabajos como urgentes y no urgentes, además de asignarles etiquetas de "Pendiente de asignar"
"Asignado" "En proceso" y "Terminado"

14

1.6

7.

Problemas

J

Determine el promedio móvil de los números de la tabla siguiente y grafique los promedios, ¿llega a estado estable la gráfica? En caso afirmativo, ¿a partir de qué valor se
puede considerar el inicio del estado estable?

0.563

0.240

0.558

0.805

0.417

0.545

0.549

0.559

0.772

0.102

0.471

0.569

0.380

0.822

0.687

0.710

0.935

0.139

0.233
0.454

0.095

0.136

0.919

0.150

0.165

0.977

0.130

0.110

0.252

0.444

0.950

0.941

0.741

0.933

0.081

0.830

0.457

0.186

0.550

0.893

0.903

0.113

0.111

0.876

0.001

0.622

0.461

0.069

0.916

0.348

0.942

0.380

0.876

0.534

0.659

0.827

0.593

0.428

0.916

0.730

0.093

0.469

0.574

0.562

0.191

0.214

0.267

0.786

0.322

0.476

0.558

0.089

0.397

0.015

0.860

0.961

0.775

0.046

0.112

0.756

0.425

0.733

0.879

0.444

0.886

0.638

0.661

0.289

0.890

0.513

0.178

0.051

0.598

0.328

0.041

0.267

0.556

0.814

0.326

0.795

0.226

0.145

0.508

0.611

0.760

0.979

0.020

0.601

0.145

0.123

1 "
Promedio móvil: r

8.

=-y r¡

para

n = 1,2, ...,100

Determine el promedio móvil de los números de la tabla siguiente y grafique los promedios, ¿llega a estado estable la gráfica? En caso afirmativo, ¿a partir de qué valor se
puede considerar el inicio del estado estable?

0.899

0.053

0.141

0.226

0.506

0.523

0.316

0.870

0.614

0.844

0.873

0.402

0.823

0.476

0.969

0.472

0.248

0.326

0.221

0.946

0.209

0.925

0.873

0.965

0.525

0.055

0.454

0.560

0.789

0.083

0.048

0.317

0.680

0.372

0.821

0.474

0.559

0.849

0.366

0.852

0.801

0.048

0.721

0.525

0.363

0.433

0.151

0.335

0.668

0.528

0.970

0.354

0.276

0.638

0.527

0.776

0.285

0.084

0.438

0.942

0.111

0.888

0.010

0.529

0.852

0.536

0.704

0.804

0.095

0.329

0.784

0.570

0.885

0.165

0.020

0.224

0.425

0.300

0.801

0.831

0.942

0.888

0.367

0.343

0.703

0.365

0.457

0.110

0.891

0.320

0.734

0.165

0.085

0.962

0.692

0.123

0.588

0.738

0.388

0.984

'romedio móvil:

1 n
r

n=ñ

para

n = 1,2;. .,100

9. Genere en una hoja de cálculo 100 números con la función x¡ = -3ln(1 - r¡), donde r¡
es un número pseudo aleatorio entre cero y uno, obtenido a partir de la función
ALEATORIO de la hoja de cálculo. Suponga que estos valores son tiempos de proceso
de cierta pieza. Determine un promedio móvil de estos valores conforme se va realizando el procesamiento de las piezas, y grafique ese promedio. ¿El tiempo promedio

15

J Capítulo 1 Principios básicos de la simulación

de proceso es estable? ¿Y si ahora se generan 200 números? (Sugerencia: Para evitar
que se recalculen los números aleatorios,es necesario copiarlos y pegarlos usando un
pegado especial de sólo valores.)
10. Genere en una hoja de cálculo 100 números con la función x., = 5 + 10r donde r¡ es
un número pseudo aleatorio entre cero y uno, obtenido a partir de la función ALEATORIO de la hoja de cálculo. Suponga que estos valores son tiempos de atención a
clientes en un banco. Determine un promedio móvil de estos valores conforme se va
realizando la atención de los clientes, y grafique ese promedio. ¿El tiempo promedio
de atención a clientes es estable? ¿Y si ahora se generan 200 números?
/(

16

CAPÍTULO 2

NÚMEROS
PSEUDO
ALEATORIOS

2.1

Los números pseudo aleatorios

2.2

Generación de números pseudo aleatorios
2.2.1

Algoritmo de cuadrados medios

2.2.2

Algoritmo de productos medios

2.2.3

Algoritmo de multiplicador constante

2.2.4

Algoritmo lineal

2.2.5

Algoritmo congruencial multiplicativo

2.2.6

Algoritmo congruencial aditivo

2.2.7

Algoritmos congruenciales no lineales

2.3

Propiedades de los números pseudo aleatorios entre 0 y 1

2.4

Pruebas estadísticas para los números pseudo aleatorios

2.5

2.4.1

Prueba de medias

2.4.2

Prueba de varianza

2.4.3

Pruebas de uniformidad

2.4.4

Pruebas de independencia

Problemas

J

Capítulo 2 Números pseudo aleatorios

2.1 Los números pseudo aleatorios
Para poder realizar una simulación que incluya variabilidad dentro de sus eventos, es preciso generar una serie de números que sean aleatorios por sí mismos, y que su aleatoriedad
se extrapole al modelo de simulación que se está construyendo. Como puede comprend e r e n la construcción del modelo los números aleatorios juegan un papel relevante.
Así, una de las primeras tareas que es necesario llevar a cabo consiste en determinar
si los números que utilizaremos para "correr" o ejecutar la simulación son realmente aleatorios o no; por desgracia, precisar lo anterior con absoluta certidumbre resulta muy complicado, ya que para ello tendríamos que generar un número infinito de valores que nos
permitiera comprobar la inexistencia de correlaciones entre ellos. Esto sería muy costoso
y tardado, volviendo impráctico el uso de la simulación aun con las computadoras más
avanzadas.
A pesar de lo anterior, podemos asegurar con altos niveles de confiabilidad que el
conjunto de números que utilizaremos en una simulación se comportan de manera muy
similar a un conjunto de números totalmente aleatorios; por ello es que se les denomina
números pseudo aleatorios. Casi todas las aplicaciones comerciales tienen varios generadores de números pseudo aleatorios que pueden generar un conjunto muy grande de
números sin mostrar correlación entre ellos. En el presente capítulo discutiremos algunos
de los métodos de generación de números pseudo aleatorios, y precisaremos qué características deben tener para emplearlos como una fuente confiable de variabilidad dentro
de los modelos. Asimismo se mostrarán algunas de las pruebas más comunes para comprobar qué tan aleatorios son los números obtenidos con dichos generadores.

2.2 Generación de números pseudo aleatorios
Para realizar una simulación se requieren números aleatorios en el intervalo (0,1), a los
cuales se hará referencia como r es decir, una secuencia r¡- {r ,r ,r ..., r } que contiene
n números, todos ellos diferentes; n recibe el nombre de periodo o ciclo de vida del generador que creó la secuencia r¡.
Los F¡ constituyen la parte medular de la simulación de procesos estocásticos, y generalmente se usan para generar el comportamiento de variables aleatorias, tanto continuas
como discretas. Debido a que no es posible generar números realmente aleatorios, consideramos los r. como números pseudo aleatorios, generados por medio de algoritmos determinísticos que requieren parámetros de arranque.
jt

:

2

y

n

Para simular el comportamiento de una o más variables aleatorias es necesario contar con un conjunto suficientemente grande de-r . que permita, por ejemplo, que la secuencia tenga al menos un periodo de vida de n = 2 = 2 1 47 483 648. De acuerdo con
L'Ecuyer una secuencia de r. con periodo de vida de n = 2 es relativamente pequeña;
de hecho, incluso una secuencia de r¡ que contenga un ciclo de vida de n = 2 se considera pequeña. En la actualidad contamos ya con generadores y procesadores capaces
de construir una secuencia de r¡ con periodo de vida de n = 2 .
(

3 1

[4]

3 1

6 4

2 0 0

Probablemente el lector se preguntará por qué debe interesarnos construir una secuencia de números r¡ suficientemente grande. A continuación ilustraremos la razón mediante un ejemplo. Suponga que queremos simular el tiempo de atención a clientes en un
18

2.2 Generación de números pseudo aleatorios J

banco que tiene 5 cajeros en paralelo, cada uno de los cuales atiende aproximadamente
50 clientes diarios. Para simular el tiempo de atención se requiere un generador de variable aleatoria en función de r¡, por ejemplo T..-= 5 + 2r¡, expresado minutos para toda /'= 1,
2,3,..., n. (El tema de generadores de variables aleatorias se presenta en el capítulo 3.) Si
simulamos el tiempo de atención de manera aislada, es decir, sin considerar el tiempo
transcurrido desde la llegada de éstos, serán necesarios 5 x 50 = 250 números r. para
simular un día; si deseáramos simular 5 días se necesitarían 250 x 5 = 1 250 r¡. Ahora bien, si
consideramos el tiempo desde la llegada de los clientes, precisaríamos de 250 r¡ para simular el tiempo transcurrido desde la llegada al banco de los 250 clientes por día, y 250 x 5 =
1 250 r¡ para simular el correspondiente al total de clientes atendidos durante 5 días. Por
lo tanto, se requerirán 2 500 números pseudo aleatorios r. para simular la operación del
banco durante 5 días.
Como se mencionó antes, los resultados no pueden basarse en una sola simulación
del sistema; por el contrario, es necesario realizar varias réplicas de la misma, corriendo cada una de ellas con números pseudo aleatorios diferentes. Retomando el ejemplo del
banco, simular 5 días otra vez significa que necesitamos otros 2 500 números pseudo
aleatorios en el intervalo (0,1). En consecuencia, se requieren 5 000 r. para realizar la simulación del sistema de atención a clientes con dos réplicas.
El lector podrá imaginar cuántos números r¡ serán necesarios para simular la operación del banco durante un año con 9 réplicas, o cuántos números r¡ se requieren para simular un sistema productivo durante un año,con varias líneas de producción,y cada línea
de producción con varias estaciones, y cada estación con uno o más procesos.
Dada la importancia de contar con un conjunto de r¡ suficientemente grande, en esta sección se presentan diferentes algoritmos determinísticos para obtenerlo. Por otra
parte, es conveniente señalar que el conjunto de r¡ debe ser sometido a una variedad de
pruebas para verificar si los números que lo conforman son realmente independientes y
uniformes. (Las pruebas estadísticas que determinan si un conjunto r¡ tiene las propiedades de independencia y uniformidad se cubren en la sección 2.4.) Una vez generado el
conjunto r¡ mediante un algoritmo determinístico, es necesario someterlo a las pruebas
antes mencionadas: si las supera, podrá utilizarse en la simulación; de lo contrario, simplemente deberemos desecharlo.
Un conjunto de r debe seguir una distribución uniforme continua,la cual está definida por:
(

1,

0<r<;1

0,

en cualquier otro valor

f(r) =
Generar un conjunto de r¡ es una tarea relativamente sencilla; para ello, el lector sólo tiene que diseñar su propio algoritmo de generación. Lo que resulta difícil es diseñar un algoritmo que genere un conjunto de r. con periodo de vida suficientemente grande (N),y
que además pase sin problema las pruebas de uniformidad e independencia, lo cual implica evitar problemas como éstos:
•

Que los números del conjunto r¡ no estén uniformemente distribuidos,es decir,que
haya demasiados r¡ en un subintervalo y en otro muy pocos o ninguno.
19

Bj Capítulo 2 Números pseudo aleatorios

•

Que los números r¡ generados sean discretos en lugar de continuos.

•

Que la media del conjunto sea muy alta o muy baja, es decir, que esté por arriba o
por debajo de Vi.
Que la varianza del conjunto sea muy alta o muy baja, es decir, que se localice por
arriba o por debajo del Vi2 (la obtención de estos valores se discute en la sección 2.3).

•

En ocasiones se presentan también anomalías como números r¡ seguidos por arriba
o por debajo de la media; secuencia de r¡ por arriba de la media, seguida de una secuencia por debajo de la media, y viceversa, o varios r¡ seguidos en forma ascendente o descendente.
A continuación se presentan diferentes algoritmos determinísticos para generar los
r¡, los cuales se clasifican en algoritmos no congruenciales y congruenciales. Los algoritmos no congruenciales que analizaremos en esta obra son cuadrados medios, productos
medios y multiplicador constante. Entre los algoritmos congruenciales se encuentran los
algoritmos congruenciales lineales y los no lineales. En este libro abordaremos los algoritmos congruenciales lineales —tales como algoritmo congruencial lineal, multiplicativo y
aditivo—, y los algoritmos no lineales, como el algoritmo de Blum, Blum y Shub, y el congruencial cuadrático.

2.2.1 Algoritmo de cuadrados medios
Este algoritmo no congruencial fue propuesto en la década de los cuarenta del siglo xx
por Von Neumann y Metrópolis . Requiere un número entero detonador (llamado semilla) con D dígitos, el cual es elevado al cuadrado para seleccionar del resultado los D dígitos del centro; el primer número r¡ se determina simplemente anteponiendo el "0."a esos
dígitos. Para obtener el segundo r¡ se sigue el mismo procedimiento, sólo que ahora se
elevan al cuadrado los D dígitos del centro que se seleccionaron para obtener el primer r¡.
Este método se repite hasta obtener n números r A continuación se presentan con más
detalle los pasos para generar números con el algoritmo de cuadrados medios.
m

r

1. Seleccionar una semilla (X ) con D dígitos (D > 3).
0

2. Sea X = resultado de elevar X al cuadrado; sea X, = los D dígitos del centro, y sea
r. = 0.D dígitos del centro.
3. Sea Y. = resultado de elevar X¡ al cuadrado; sea X = los D dígitos del centro, y sea
f¡ = 0.D dígitos del centro para toda / = 1,2,3,..., n.
4. Repetir el paso 3 hasta obtener los n números r¡ deseados.
0

Q

(

M

Nota: Si no es posible obtener los D dígitos del centro del número Y-, agregue ceros a la
izquierda del número Y¡.
Para ilustrar la mecánica del algoritmo de cuadrados medios se presenta el siguiente
ejemplo.
Ejemplo 2.1
Generar ios primeros 5 números r a partir de una semilla X = 5 735, de donde se puede
observar que D = 4 dígitos.
¡

20

Q

2.2.2 Algoritmo de productos medios

J

Solución:
2

* i = 8 902

= 0.8902

2

* 2 = 2 456

h = 0.2456

(5 735) = 32 890 225
(8 902) = 79 245 604

3 = 0319

= 0.0319

2

* 4 = 0176

U = 0.0176

2

* 5 = 3 097

r

2

Y

2 = (2 456) = 06031936

Y

3 = (0319) = 101 761

Y

4 = (0176) = 030976

X

5 = 0.3097

El algoritmo de cuadrados medios generalmente es incapaz de generar una secuencia de
t¡ con periodo de vida n grande. Además, en ocasiones sólo es capaz de generar un número,
por ejemplo, si X = 1 000, entonces X, = 0000; r¡ = 0.0000 y se dice que el algoritmo se degenera con la semilla de X = 1 000.
0

Q

2.2.2 Algoritmo de productos medios
La mecánica de generación de números pseudo aleatorios de este algoritmo no congruencial es similar a la del algoritmo de cuadrados medios. La diferencia entre ambos radica en
que el algoritmo de productos medios requiere dos semillas, ambas con D dígitos;además,
en lugar de elevarlas al cuadrado, las semillas se multiplican y del producto se seleccionan
los D dígitos del centro, los cuales formarán el primer número pseudo aleatorio r¡ = 0.D
dígitos. Después se elimina una semilla,y la otra se multiplica por el primer número de D dígitos, para luego seleccionar del producto los D dígitos que conformarán un segundo número r.. Entonces se elimina la segunda semilla y se multiplican el primer número de D dígitos
por el segundo número de D dígitos; del producto se obtiene el tercer número r¡. Siempre
se irá eliminando el número más antiguo, y el procedimiento se repetirá hasta generar los
n números pseudo aleatorios. A continuación se presentan con más detalle los pasos del
método para generar números con el algoritmo de producto medios.
(

1.
2.
3.
4.

Seleccionar una semilla (X ) con D dígitos (D > 3).
Seleccionar una semilla (X ) con D dígitos (D > 3).
Sea V = X *X ; sea X = los D dígitos del centro, y sea r. = 0.D dígitos del centro.
Sea f¡ = X * X ; sea X = los D dígitos del centro, y sea r = 0.D dígitos del centro
para toda f¡= 1,2,3,...,/?;
5. Repetir el paso 4 hasta obtener los n números r¡ deseados.
0

}

0

Q

:

Í + 1

2

¡+2

í+1

Nota: Si no es posible obtener los D dígitos del centro del número /^agregue ceros a la izquierda del número Y¡.
Para ilustrar la mecánica del algoritmo de productos medios se presenta el siguiente
ejemplo.
Ejemplo 2.2
Generar los primeros 5 números r¡ a partir de las semillas X = 5 015 y X, = 5 734; observe
que ambas semillas tienen D = 4 dígitos.
0

21

|p Capítulo 2 Números pseudo aleatorios

Solución:

*2 = 7 560

r

3 = 3 490

r

2 = (7 560) (3 490) = 26 384 400

* 4 = 3 844

r

3 = (3 490) (3 844) = 13 415 560

* 5 = 4 155

u = 0.4155

Y

o

= (5 015) (5 734) = 28 756 010

% = (5 734) (7 560) = 43 349 040
Y

Y

Y

4

= (3 844) (4155) = 15 971 820

X

X

i = 0.7560

2 = 0.3490
s = 0.3844

6 = 9718

h

= 0.9718

2.2.3 Algoritmo de multiplicador constante
Este algoritmo no congruencial es similar al algoritmo de productos medios. Los siguientes son los pasos necesarios para generar números pseudo aleatorios con el algoritmo de
multiplicador constante.
1.
2.
3.
4.

Seleccionar una semilla (X ) con D dígitos (D > 3).
Seleccionar una constante (a) con D dígitos (D > 3).
Sea Y - a * X ; sea X, = los D dígitos del centro, y sea r¡ = 0.D dígitos del centro.
Sea Y¡ = a*X ; sea X
= los D dígitos del centro, y sea r = 0.D dígitos del centro
para toda /' = 1,2,3,..., n.
5. Repetir el paso 4 hasta obtener los n números f. deseados.
0

Q

0

¡

/ + 1

M

Nota: Si no es posible obtener los D dígitos del centro del número Y agregue ceros a la
jt

izquierda del número Y

r

Para ilustrar la mecánica del algoritmo de multiplicador constante se presenta el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.3
Generar los primeros 5 números r¡ a partir de la semilla X = 9 803 y con la constante
a = 6 965. Observe que tanto la semilla como la constante tienen D = 4 dígitos.
0

Solución:
= (6 965) (9 803) = 68 277 895

= 2 778

r

r, = (6 965) (2 778) = 19 348 770

= 3 487

r

= (6 965) (3 487) = 24 286 955

*3 = 2 869

r

3 = (6 965) (2 869) = 19 982 585

= 9 825

Y

* = (6 965) (9 825) = 68 431 125

Y

22

s = 4311

X

i = 0.2778

2 = 0.3487
3 = 0.2869
= 0.9825

5 = 0.4311

r

2.2.4 Algoritmo lineal

J

2.2.4 Algoritmo lineal
15

Este algoritmo congruencial fue propuesto por D. H. Lehmer ' en 1951. Según Law y Kelton ,este algoritmo ha sido el más usado. El algoritmo congruencial lineal genera una secuencia de números enteros por medio de la siguiente ecuación recursiva:
[3]

X

í + 1

= (aX . + c ) m o d ( m )

/'=0,1,2,3,n

(

donde X es la semilla, a es la constante multiplicativa, c es una constante aditiva y m es el
módulo; X > 0 , o > 0 , c > 0 y m > 0 deben ser números enteros. La operación "mod m" significa multiplicar X por a, sumar c y dividir el resultado entre m para obtener el residuo
X
. Es importante señalar que la ecuación recursiva del algoritmo congruencial lineal
genera una secuencia de números enteros S = {0,1,2,3, ...,m - 1},y que para obtener números pseudo aleatorios en el intervalo (0,1) se requiere la siguiente ecuación:
0

0

(

/ + 1

K

r,= — ^
m - 1
1

/'-1,2,3

n

Analice el ejemplo siguiente para comprender mejor la mecánica del algoritmo congruencial lineal.
Ejemplo 2.4
Generar 4 números entre Oy 1 con los siguientes parámetros:X = 37,o= 19,c = 33 y m = 100.
0

Solución:
X = (19*37 + 33) mod 100 = 36

= 36/99 = 0.3636

:

X = (19*36+ 33) mod 100= 17

r = 17/99 = 0.1717

X = (19*17 + 33) mod 100 = 56

r = 56/99 = 0.5656

X = (19*56 + 33) mod 100 = 97

r = 97/99 = 0.9797

2

3

4

2

3

4

En el ejemplo anterior se colocaron de manera arbitraria cada uno de los parámetros req u e r i d o s ^ , a, c,m. Sin embargo, para que el algoritmo sea capaz de lograr el máximo periodo de vida n, es preciso que dichos parámetros cumplan ciertas condiciones. Banks,
Carson, Nelson y N i c o l sugieren lo siguiente:
[1]

g

m = 2
a = 1 + 4k
k debe ser entero
c relativamente primo a m
g debe ser entero
g

Bajo estas condiciones se obtiene un periodo de vida máximo: N = m = 2 . Veamos un
ejemplo mantornando en cuenta lo anterior.
23

-| Capítulo 2 Números pseudo aleatorios

Ejemplo 2.5
Generar suficientes números entre 0 y 1 con los parámetros X = 6, k = 3, g = 3 y c = 7,
hasta encontrar el periodo de vida máximo (N).
Como podemos ver, si se cumplen las condiciones que Banks, Carson, Nelson y Nicol
sugieren, se logrará el periodo máximo /V = m = 8. A continuación se presenta el desarrollo de la generación de los números r¡.
Q

Es importante mencionar que el número generado en X = 6 es exactamente igual a la
semilla X y si continuáramos generando más números, éstos se repetirían. Además sabemos que el algoritmo congruencial lineal genera una secuencia de números enteros
5 = {0,1,2,3,..., m - 1}. Observe que en este caso se genera la secuencia S = {0,1,2,3,4,5,
6,7}.
8

QI

Ejemplo 2.6
Consideremos nuevamente el ejemplo anterior, pero tratemos de violar de manera arbitraria alguna de las condiciones. Supongamos que a = 12; se sabe que a no es el resultado
de 1 + Ak, donde k es un entero. Veamos el comportamiento del algoritmo congruencial
lineal ante tal cambio.
Solución:
c?=1+4(3) = 13

y

3

m = 2 = 8

X =6
Q

X, = (12*6 + 7 ) m o d 8 = 7
X = (12*7 + 7 ) m o d 8 = 3

r = 3/7 = 0.428

X = (12*3 + 7 ) m o d 8 = 3

r = 3/7 = 0.428

2

3

24

r,= 7/7 = 1.000
2

3

2.2.5 Algoritmo congruencial multiplicativo m

El periodo de vida en este caso es N = 3, de manera que, como puede ver, el periodo de vida máximo no se logra. Como conclusión tenemos que si no se cumple alguna de las condiciones, el periodo de vida máximo N = m no se garantiza, por lo que el periodo de vida
será menor que m.

2.2.5 Algoritmo congruencial multiplicativo
El algoritmo congruencial multiplicativo surge del algoritmo congruencial lineal cuando
c = 0. Entonces la ecuación recursiva es:
X , = (aX) mod (m)
¡+

i = 0,1,2,3,..., n

En comparación con el algoritmo congruencial lineal, la ventaja del algoritmo multiplicativo es que implica una operación menos a realizar. Los parámetros de arranque de este algoritmo son X aym, todos los cuales deben ser números enteros y mayores que cero.
Para transformar los números X . en el intervalo (0,1) se usa la ecuación r¡ - x.J{m - 1). De
acuerdo con Banks, Carson, Nelson y N i c o l l a s condiciones que deben cumplir los parámetros para que el algoritmo congruencial multiplicativo alcance su máximo periodo son:
QI

(

g

m = 2
£2 = 3 + 8k o o = 5 + 8k
k = 0,1,2,3,...
X debe ser un número impar
g debe ser entero
Q

9 2

A partir de estas condiciones se logra un periodo de vida máximo N - k/4 = 2 '

Ejemplo 2.7
Generar suficientes números entre 0 y 1 con los siguientes parámetros:X = 17, k = 2 y
g = 5, hasta encontrar el periodo o ciclo de vida.
Q

Solución:

25

| Capítulo 2 Números pseudo aleatorios

= (21*1)mod 32 = 21

*5

= (21*21) mod 32 = 25

\

= (21*25) mod 32 = 13

r

s = 21/31 = 0.6774

r

= 0.8064
e = 25/31

7

= 13/31 = 0.4193

R

= 17/31 = 0.5483

r

x, = (21*13) mod 32 = 17

r

Toda vez que la semilla X se repite, volverán a generarse los mismos números. Por lo tanto, el periodo de vida es n = 8, el cual corresponde a N = m/4 = 32/4 = 8.
0

Ejemplo 2.8
Ahora bien, si violamos la condición de que la semilla sea un número impar, digamos con
X = 12, tenemos:
Q

Solución:
X =12
0

X, = (21*12) mod 32 = 28

r, = 28/31 = 0.9032

X = (21 *28) mod 32 = 12

r = 12/31 = 0.3870

2

2

En vista de que la semilla X se repite, volverán a generarse los mismos números. Por lo
tanto, el periodo de vida es N=2.
0

2.2.6 Algoritmo congruencial aditivo
Este algoritmo requiere una secuencia previa de n números e n t e r o s X , X , X , X , . . . , X para
generar una nueva secuencia de números enteros que empieza en X
,X
,X
,X
,...
Su ecuación recursiva es:
1

2

n + 1

3

4

n + 2

n

n + 3

n + 4

X. = (X._ + X. _„) mod (m) /' = n + 1, n + 2, n + 3 N
1

Los números r¡ pueden ser generados mediante la ecuación
r = x,./(m-1)
;

Ejemplo 2.9
Generar 7 números pseudo aleatorios entre cero y uno a partir de la siguiente secuencia
de números enteros: 65,89,98,03,69; m = 100.
Sean X, = 65, X = 89, X = 98, X = 03, X = 69. Para generar e r , r r , r , r y r antes
e s necesario generar X ^ X ^ X ^ X ^ X ^ X ^ X ^ .
2

26

3

4

5

v

2

y

4

5

6

7

2.2.7 Algoritmos congruenciali

inilini ih

Jj

Solución:
* 6 = (X + X ) m o d 100 = (60+ 65) mod 100 = 34
5

1

= (X + X ) mod 100 = (34 + 89) mod 100 = 23
6

2

= (X + X ) m o d 100 = (23 + 98) mod 100 = 21
7

x

r

i = 34/99 = 0.3434

r

2 = 23/99 = 0.2323

3 = 21/99 = 0.2121

r

3

= ( X + X ) m o d 100 = (21 +03) mod 100 = 24

= 24/99 = 0.2424

= ( X + X ) m o d 100 = (24 + 69) mod 100 = 93

= 93/99 = 0.9393

= ( X + X ) mod 100 == (93 + 34) mod 100 == 27

= 27/99 = 0.2727

*n = ( X + X ) m o d 100 == (27 + 23) mod 100 == 50

h = 50/99 = 0.5050

9

8

4

9

5

10

6

n

7

2.2.7 Algoritmos congruenciales no lineales
En esta sección se analizarán dos algoritmos congruenciales no lineales: el congruencial
cuadrático y el algoritmo presentado por Blum, Blum y S h u b .
121

2.2.7.1 Algoritmo congruencial cuadrático
Este algoritmo tiene la siguiente ecuación recursiva:
X

2

i + 1

= ( a X + bX + c) mod (m)
¡

f= 0,1,2,3

N

En este caso, los números r. pueden ser generados con la ecuación r = x¡/(m - 1). De acuerdo con L'Ecuyer' , las condiciones que deben cumplir los parámetros m,a,by c para alcanzar un periodo máximo de N = m son:
¡

41

m = 29
a debe ser un número par
c debe ser un número impar
g debe ser entero
(b- 1) mod 4 = 1

De esta manera se logra un periodo de vida máximo N = m.

Ejemplo 2.10
Generar, a partir del algoritmo congruencial cuadrático, suficientes números enteros hasta alcanzar el periodo de vida, considerando los parámetros X = 13, m = 8, a = 26, b = 27
y c = 27. Como todas las condiciones estipuladas para los parámetros se satisfacen, es de
esperarse que el periodo de vida del generador sea N = m = 8, tal como podrá comprobar
al revisar los cálculos correspondientes, que se presentan a continuación.
0

27

J Capítulo 2 Números pseudo aleatorios

Solución:

2

*1

= (26*13 + 27*13 + 27) mod (8 = 4
2

*2

= (26*4 + 27*4 + 27) mod (8) = 7
2

* 3 = (26*7 + 27*7 + 27) mod (8) = 2
2

* 4 = (26*2 + 27*2 + 27) mod (8) = 1
2

* 5 = ( 2 6 * 1 + 27*1 + 27) mod (8) = 0
* 6 = (26*0 + 27*0 + 27) mod (8) = 3
2

* 7 = (26*3 + 27*3 + 27) mod (8) = 6
2

2

* 8 = (26*6 + 27*6 + 27) mod (8) = 5

X* = (26*5 + 27*5 + 27) mod (8) = 4
2

Por otro lado, el algoritmo cuadrático genera una secuencia de números enteros S = { 0 , 1 ,
2,3,..., m - 1}, al igual que el algoritmo congruencial lineal.
2.2.7.2 Algoritmo de B l u m , B l u m y S h u b

[ 2 ]

Si en el algoritmo congruencial cuadrático a = 1,6 = 0 y c = 0, entonces se construye una
nueva ecuación recursiva:
2

= (X )mod(m)

/' = 0,1,2,3

n
[2]

La ecuación anterior fue propuesta por Blum, Blum y S h u b como un nuevo método para generar números que no tienen un comportamiento predecible.

2.3 Propiedades de los números pseudo aleatorios entre 0 y 1
En la sección anterior hablamos de cómo generar números aleatorios usando diferentes
métodos. Sin embargo, ¿de qué manera se puede garantizar que tales números son realmente aleatorios entre 0 y 1 ?, ¿cuáles son las características que los identifican?, ¿cuáles son
sus parámetros? La respuesta a las preguntas anteriores es muy importante, dado que los
números aleatorios serán utilizados en la simulación para generar los valores de cualquier
variable aleatoria. En gran medida, conocer las propiedades que deben tener estos números aleatorios garantiza una buena simulación, por ello, se enumeran a continuación.
Media de los aleatorios entre 0 y 1. En vista de que estos números deben tener la misma probabilidad de presentarse, es preciso que su comportamiento muestre una distribución de probabilidad uniforme c o n t i n u a r o n límite inferior cero y límite superior uno.
La función de densidad de una distribución uniforme es la siguiente:
f{x) = ——
b - a
28

asxsb;

en este caso,

a-0

y

b- 1

2.3 Propiedades de los números pseudo aleatorios i nln II ¡ I

Gráficamente se vería de la siguiente manera:

Figura 2.1
Forma general de la
distribución uniforme
entre a y b

Para obtener la media de la distribución multiplicamos la función de densidad porx,y la
integramos en todo el rango de la misma distribución de la siguiente manera:
£(x)=

^ír4

(x)=

o-a

a

/^

b-a

Sustituyendo los valores de a y o

Por lo tanto, el valor esperado (es decir, la media de los números aleatorios entre 0 y 1) es
0.5.

/a =

Varianza de los números aleatorios. Partiendo de la misma distribución uniforme continua obtenemos la varianza de la distribución por medio de la ecuación:
2

2

V(x) = a = E(x ) - fi

2

2

lo que nos da E(x ):

£ 2
( x

)

=

Í_I_ 2
( x

i b-a

)

=

_ X

3

| b

3(6-a)

l f l

Al sustituir tenemos que
2

E(x ) =

1

Por lo tanto,

29

B Capítulo 2 Números pseudo aleatorios

Dados estos resultados podemos decir que los números aleatorios entre 0 y 1 deben tener

Independencia. Ésta es una propiedad muy importante, e implica que los números aleatorios no deben tener correlación entre sí; es decir, deben ser independientes, de manera
que puedan dispersarse uniformemente dentro de todo el espectro de valores posibles.
La figura 2.2a muestra una gráfica totalmente dispersa en los valores posibles, y la figura
2.2b presenta una acumulación de los valores en la parte central, lo cual quiere decir que
hay una correlación entre los mismos.

Figura 2.2
(a) Valores uniformemente dispersos y (b) valores
correlacionados

Es posible realizar una serie de pruebas para corroborar que no existe correlación entre
los números aleatorios, e incluso para garantizar que no exista un sesgo o tendencia e n tre los dígitos de cada uno de ellos. Estas pruebas se revisarán con más detalle en la siguiente sección.
30

2.4.1

Prueba de medias

J

2.4 Pruebas estadísticas para los números pseudo aleatorios
En la sección 2.2 se presentaron diversos algoritmos para construir un conjunto r., pero
ése es sólo el primer paso, ya que el conjunto resultante debe ser sometido a una serie de
pruebas para validar si los números que lo integran son aptos para usarse en un estudio
de simulación.
A continuación se analizarán las pruebas estadísticas básicas que se emplean generalmente para determinar si un conjunto de números pseudo aleatorios entre cero y uno
cumplen con las propiedades básicas de independencia y uniformidad. El objetivo, en
otras palabras, es validar que el conjunto r. realmente está conformado por números aleatorios. Es importante mencionar que las pruebas que se discutirán no son únicas; si desea
conocer otras, consulte Banks, Carson, Nelson y N i c o l .
!1]

2.4.1 Prueba de medias
Una de las propiedades que deben cumplir los números del conjunto r¡, es que el valor esperado sea igual a 0.5. La prueba que busca determinar lo anterior es la llamada prueba
de medias, en la cual se plantean las siguientes hipótesis:
H : ^ = 0.5
«v/*„-0.5
0

La prueba de medias consiste en determinar el promedio de los n números que contiene el conjunto r., mediante la ecuación siguiente:
(

1

n

Posteriormente se calculan los límites de aceptación inferior y superior con las ecuaciones siguientes:

LS

+z

^¡ A7k

Si el valor de 7se encuentra entre los limites de aceptación, concluimos que no se
puede rechazar que el conjunto r¡ tiene un valor esperado de 0.5 con un nivel de aceptación
de 1 - a. En caso contrario se rechaza que el conjunto r¡ tiene un valor esperado de 0.5.
Para el cálculo de los límites de aceptación se utiliza el estadístico
, el cual se
determina por medio de la tabla de la distribución normal estándar (también se puede
calcular dicho valor utilizando la función PROMEDIOA (o AVERAGE) —media aritmética—
de Excel).
z a / 2

31

Capítulo 2 Números pseudo aleatorios

Ejemplo 2.11
Considere los 40 números del conjunto r¡ que se presenta a continuación, y determine si
tienen un valor esperado de 1/2 con un nivel de aceptación de 95 por ciento.
0.0449
0.6015
0.63
0.5514
0.0207

0.1733
0.6694

0.5746
0.3972
0.8297
0.3587
0.3587

0.2531
0.0316
0.1067

0.049
0.7025
0.6483
0.7041
0.1746

0.8406
0.1055
0.6972
0.5915
0.3362

0.8349
0.1247
0.9582
0.2523
0.1589

0.92
0.1977
0.9085
0.2545
0.3727

0.2564
0.0125
0.8524
0.3044
0.4145

El conjunto r¡ contiene 40 números, por lo tanto, n = 40. Un nivel de aceptación de
95% implica que a = 5%. Enseguida procedemos a calcular el promedio de los números y
los límites de aceptación:
.

U

14?

7 = ¿ [0.04487 + 0.17328 + 0.57548 + 0.04901 + ... + 0.33616 + 0.15885 + 0.37266 +

1

= l-z
<—
-» ^0.05/2 IV12(40)
1

LL = 1 - (1.96)f ,
=) = 0.410538649
2
\ Vi 2(40)/
r

2

00 5 / 2

,

lv T2(40)

1

LS = 1 + (1.96)( ,
=) = 0.589461351
'
2
W12(40)/
F

Como el valor del promedio: 7 = 0.43250 se encuentra entre los límites de aceptación,
se concluye que no se puede rechazar que el conjunto de 40 números r¡ tiene un valor esperado de 0.5, con un nivel de aceptación de 95 por ciento.

2.4.2 Prueba de varianza
Otra de la propiedades que debe satisfacer el conjunto r¡, es que sus números tengan una
varianza de 1/12. La prueba que busca determinar lo anterior es la prueba de varianza, que
establece las siguientes hipótesis:
H :a
Q

32

2
r

= 1/12

2.4.2 Prueba de varianza

La prueba de varianza consiste en determinar la varianza de los n números que contiene el conjunto r¡, mediante la ecuación siguiente:

V(r) =
0-1
Después se calculan los límites de aceptación inferior y superior con las ecuaciones
siguientes:
2

¡_l

_

X /2,n--\
a

12 ( n - 1)

X-\ /2,n
a

-1

12 ( n - 1)
Si el valor de V(r) se encuentra entre los límites de aceptación, decimos que no se
puede rechazar que el conjunto r. tiene una varianza de 1 /12, con un nivel de aceptación
de 1 - a; de lo contrario, se rechaza que el conjunto r. tiene una varianza de 1 /12.
(

Ejemplo 2.12
Realizar la prueba de varianza a los 40 números r. del ejemplo 2.11.
Considerando que n = 40 y a = 5%, procedemos a calcular la varianza de los númer o s ^ los límites de aceptación correspondientes:
(

40

n
F

Í>,- )
V(r) =

2

Í>,--0.43250)

2

l =

n- 1

40-1
2

2

2

V{r) = ^ [(0.04487 - 0.43250) + (0.17328 - 0.43250) + . . . + (0.37266 - 0.43250) +
2

(0.41453-0.43250) ]
V{r) = 0.08695062
i,
¿

_ Xg/2,n-i _ Xq.05/2, 39 _ 58.1200541 _
V ) - J 2 M ) - W " " l o 8
0.12418815
n n

/r
L

y

n

0

0

1 c

_ X _ / 2 , n-1 _ X -o.Q5/2,39 _ 23.6543003 _ n nqn^iü'^ft
V)- (n-1)12(39) "
468
- â„¢ â„¢ ^
2

2

a

5

l

5

ü

2

Dado que el valor de la varianza: V(r) = 0.8695062 está entre los límites de aceptación, podemos decir que no se puede rechazar que el conjunto de 40 números r, tiene una
varianza de 1/12 = 0.08333.
33

J Capítulo 2 Números pseudo aleatorios

2.4.3 Pruebas de uniformidad
Una de las propiedades más importantes que debe cumplir un conjunto de números r¡ es
la uniformidad. Para comprobar su acatamiento se han desarrollado pruebas estadísticas
tales como las pruebas Chi-cuadrada y de Kolmogorov-Smirnov. En cualquiera de ambos
casos, para probar la uniformidad de los números de un conjunto r¡ es necesario formular
las siguientes hipótesis:

Hyr no son uniformes
¡

Veamos a continuación cómo funciona cada una de estas pruebas.
2.4.3.1 Prueba Chi-cuadrada
La prueba Chi-cuadrada busca determinar si los números del conjunto r. se distribuyen
uniformemente en el intervalo (0,1). Para llevar a cabo esta prueba es necesario dividir el
intervalo (0,1) en m subintervalos,en donde es recomendable m-Vñ. Posteriormente se
clasifica cada número pseudo aleatorio del conjunto r¡ en los m intervalos. A la cantidad
de números r¡ que se clasifican en cada intervalo se le denomina frecuencia observada (0¡),
y a la cantidad de números r¡ que se espera encontrar en cada intervalo se le llama frecuencia esperada (f ); teóricamente, la r, es igual n/m. A partir de los valores de 0 . y E se
determina el estadístico xí mediante la ecuación
(

(

¡

2

Si el valor del estadístico x\ es menor al valor de tablas de X _ entonces no se
am

v

puede rechazar que el conjunto de números r sigue una distribución uniforme. En caso
contrario, se rechaza que r. sigue una distribución uniforme.
Ejemplo 2.13
Realizar la prueba Chi-cuadrada a los siguientes 100 números de un conjunto i con un nivel de confianza de 95 por ciento.
f

0.347
0.993
0.674
0.426
0.46
0.189
0.112
0.37
0.909
0.178

34

0.832
0.371
0.628
0.054
0.224
0.753
0.191
0.314
0.764
0.516

0.966
0.729
0.055
0.022
0.99
0.73
0.584
0.731
0.999
0.437

0.472
0.067
0.494
0.742
0.786
0.797
0.347
0.742
0.303
0.393

0.797
0.189
0.494
0.674
0.393
0.292
0.426
0.213
0.718
0.268

0.101
0.977
0.235
0.898
0.461
0.876
0.057
0.472
0.933
0.123

0.696
0.843
0.178
0.641
0.011
0.707
0.819
0.641
0.056
0.945

0.966
0.562
0.775
0.674
0.977
0.562
0.303
0.944
0.415
0527

0.404
0.549
0.797
0.821
0.246
0.562
0.404
0.28
0.819
0.459

0.603
0.992
0.252
0.19
0.881
0.821
0.64
0.663
0.444
0.652

2.4.3 Pruebas de uniformidad _|

Antes de procederes recomendable crear una tabla similar a la tabla 2.1,en donde
se resumen los pasos que deben llevarse a cabo en la prueba Chi-cuadrada.
Tabla 2.1 Cálculos para la prueba Chi-cuadrada
Intervalo

°>

[0.00-0.10)

7

10

0.9

[0.10-0.20)

9

10

0.1

[0.20-0.30)

8

10

0.4

[0.30-0.40)

9

10

0.1

[0.40-0.50)

14

10

1.6

[0.50-0.60)

7

10

0.9

[0.60-0.70)

11

10

0.1

[0.70-0.80)

14

10

1.6

[0.80-0.90)

9

10

0.1

[0.90-1.00)

12

10

0.4

El estadístico x

2

=

r

0

'

m

¡ —'—j--— = 6.2 es menor al estadístico correspondiente de

la Chi-cuadrada xl = 16.9. En consecuencia, no se puede rechazar que los números r¡
05 g

siguen una distribución uniforme.
2.4.3.2 Prueba Kolmogorov-Smirnov
Propuesta por Kolmogorov y Smirnov, ésta es una prueba estadística que también nos
sirve para determinar si un conjunto r¡ cumple la propiedad de uniformidad. Es recomendable aplicarla en conjuntos r¡ pequeños, por ejemplo, n < 20. El procedimiento es el
siguiente:
1. Ordenar de menor a mayor los números del conjunto f..

r _r _r _...<r
1

2

3

n
+

2. Determinar los valores de: D , D~ y D con las siguientes ecuaciones:
+

D = máx

í - - r.l

\<¡<n[n

J

35

__j

r a

| - t

r u l o 2 Números pseudo aleatorios

+

0 = máx ír, 1

—-1]

i n J

</<n
+

D = máx ( D , D~)
3. Determinar el valor crítico D de acuerdo con la tabla de valores críticos de Kolmogorov-Smirnov para un grado de confianza a, y según el tamaño de la muestra n.
4. Si el valor D es mayor que el valor crítico D , se concluye que los números del conjunto r¡ no siguen una distribución uniforme; de lo contrario se dice que no se ha
detectado.diferencia significativa entre la distribución de los números del conjunto r¡ y la distribución uniforme.
an

an

Ejemplo 2.14
Realizar la prueba Kolgomorov-Smirnov, con un nivel de confianza de 90%, al siguiente
conjunto r¡ de 10 números:
r. = {0.97,0.11,0.65,0.26,0.98,0.03,0.13,0.89,0.21,0.69}
El nivel de confianza de 90% implica a = 10%. Ordenando los números r¡ de menor a
mayor, la secuencia es:
0.03

0.11

0.21

0.13

0.26

0.69

0.65

0.89

0.97

0.98

+

Para determinar los valores de D , D~ y D es recomendable realizar una tabla como la
siguiente:

Tabla 2.2 Cálculos de la prueba Kolmogorov-Smirnov
1

2

3

4

5

6

7

8

9

_____________

n
r

i

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0.03

0.11

0.13

0.21

0.26

0.65

0.69

0.89

0.97

0.98

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

0.07

0.09

0.17

0.19

0.24

-0.05

0.01

-0.09

-0.07

0.02

-0.04

0.02

-0.04

0.02

0.02

0.70

0.68

0.98

1.04

0.96

D

1.04

n

n
+

D

36

10
0.24

D~

1.04

2.4.4 Pruebas de independencia

1

De acuerdo con la tabla de valores para la prueba Kolmogorov-Smimov,el valor crítico
o.io,io correspondiente a n = 10 es D
= 0.368, que resulta menor al valor D = 1.04; por
lo tanto, se concluye que los números del conjunto r no se distribuyen uniformemente.
D

0 1 0 1 0

j

2.4.4 Pruebas de independencia
Recuerde que las dos propiedades más importantes que deben satisfacer los números de
un conjunto r¡ son uniformidad e independencia. En la sección anterior comentamos las
pruebas que buscan determinar si los números del conjunto r¡ son uniformes. A continuación hablaremos de las pruebas estadísticas que tratan de corroborar si los números en el
intervalo (0,1) son independientes o, en otras palabras, si parecen pseudo aleatorios.
Para probar la independencia de los números de un conjunto r¡ primero es preciso
formular las siguientes hipótesis:
H : los números del conjunto r¡ son independientes
0

Hy los números del conjunto r¡ no son independientes
2.4.4.1 Prueba de corridas arriba y abajo
El procedimiento de esta prueba consiste en determinar una secuencia de números (5)
que sólo contiene unos y ceros, de acuerdo con una comparación entre r, y r¡_ Posteriormente se determina el número de corridas observadas, C (una corrida se identifica como
la cantidad de unos o ceros consecutivos). Luego se calcula el valor esperado, la varianza
del número de corridas y el estadístico Z , mediante las ecuaciones:
r

0

0

.2/1.-1
3
16n-29
90

z=
0

Si el estadístico Z es mayor que el valor crítico de Z , se concluye que los números
del conjunto r, no son independientes. De lo contrario no se puede rechazar que el conjunto de r¡ sea independiente.
Considere el siguiente conjunto r¡ de 21 números:
0

a/2

/,. = {0.89,0.26,0.01,0.98,0.13,0.12,0.69,0.11,0.05,0.65,
0.21,0.04,0.03,0.11,0.07,0.97,0.27,0.12,0.95,0.02,0.06}
La secuencia de unos y ceros se construye de esta manera: se coloca un cero si el número r¡ es menor que o igual al número r. anterior; en caso de ser mayor que el número r
anterior,se pone un uno.Considerando la secuencia de los 21 números del conjunto/.que
se dio arriba, la secuencia de unos y ceros es:
S = {0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1}
37

__ Capítulo 2 Números pseudo aleatorios

Observe que la secuencia 5 contiene n - 1 números, en este caso 20. Esto se debe a
que el primer número r¡ = 0.89 no tiene número anterior con el cual compararlo. Recuerde que una corrida se forma con unos consecutivos o ceros consecutivos. Por ejemplo los
primeros dos ceros de la secuencia forman la primer corrida, la cual se dice que tiene una
longitud de dos; el tercer número de la secuencia, uno, forma la segunda corrida con longitud de uno; después siguen dos ceros, los cuales forman la tercera corrida con longitud de
dos; después sigue un uno, el cual forma la cuarta corrida con longitud de uno,etc. Siguiendo el proceso anterior se determina que el número de corridas de la secuencia es C = 14.
0

Ejemplo 2.15
Realizar la prueba de corridas arriba y abajo con un nivel de aceptación de 95% al siguiente conjunto de números r¡:

0.34

0.83

0.96

0.47

0.79

0.99

0.37

0.72

0.06

0.18

0.67

062

0.05

0.49

0.59

0.42

0.05

0.02

0.74

0.67

0.46

0.22

0.99

0.78

0.39

0.18

0.75

0.73

0.79

0.29

0.11

0.19

0.58

0.34

0.42

0.37

0.31

0.73

0.74

0.21

Realizaremos la asignación de unos y ceros por renglón (o fila). Por lo tanto, la secuencia S es:
S = {1,1,0,1,1,0,1,0,1,1,0,0,1,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1,1,0}
Obteniéndose un valor de C = 24,y a = 5%. A continuación se presentan los cálculos correspondientes al valor esperado y a la varianza del número de corridas:
0

_2n___ 2(40)-1
;

=

2

6

3

.2 _, 1 6 n - 2 9 _ 16(40)-29
90
C

o ~

¿0 =

(T,

Mr

3

= 6

3

788

90
16(40)-29
6.788

Como el estadístico Z es menor que el valor de tabla de la normal estándar para
Z , =Z
= 1.96, se concluye que no se puede rechazar que los números del conjunto r.
son independientes. Es decir, de acuerdo con esta prueba, los números son aptos para
usarse en simulación.
0

2

5 % / 2

(

2.4.4.2 Prueba de corridas arriba y a b a j o de la media
El procedimiento de esta prueba consiste en determinar una secuencia de unos y ceros,
de acuerdo con una comparación entre los números del conjunto rj y 0.5. Posteriormente
38

2.4.4 Pruebas de independencia

se determina el número de corridas observadas, C , y los valores de n y n C es el número de corridas en la secuencia, determinado de la misma manera que en la prueba de
corridas arriba y abajo; n es igual a la cantidad de ceros en la secuencia, y n, es igual a la
cantidad de unos en la secuencia, cumpliéndose que n + n = n. (Recuerde que una corrida se identifica como la cantidad de unos o ceros consecutivos.) Luego se calcula el valor esperado, la varianza del número de corridas y el estadístico Z con las siguientes
ecuaciones:
0

Q

v

Q

Q

Q

1

0

L

n

o

2

2n n^(2n n^
Q

-2 _
c

;
2

o

n (r>-1)
C

7

-n)

0

°r =
° ~ "

C

°

Si el estadístico Z está fuera del intervalo:-z =sz s z „ , s e concluye que los números
0

a

2

0

2

del conjunto r no son independientes. De lo contrario no se puede rechazar que el conjunto de r¡ es independiente.
Considere la siguiente secuencia de 10 números de un conjunto r¡.
(

r. = {0.67,0.62,0.05,0.49,0.59,0.42,0.05,0.02,0.74,0.67}
La secuencia de unos y ceros se construye de la siguiente manera: se asigna un uno
si el número r es mayor que o igual a 0.5. En caso contrario se asignará un cero. Siguiendo esta regla, la secuencia de unos y ceros es:
j

S = {1,1,0,0,1,0,0,0,1,1}
El número de corridas se determina de la misma manera que en la prueba de corridas
arriba y abajo. En este caso se tiene que el número de corridas de la secuencia 5 es C = 5.
Por otra parte, la secuencia tiene 5 ceros y 5 unos, así que n = 5 y
= 5.
0

0

Ejemplo 2.16
Realizar la prueba de corridas arriba y abajo, con un nivel de aceptación de 95%, al siguiente conjunto de números r¡:

0.809
0.397
0.136
0.692
0.564

0.042
0.268
0.855
0.055
0.709

0.432
0.821
0.453
0.348
0.946

0.538
0.897
0.197

0.225
0.07
0.444

0.373
0.754

0.436
0.677

0.88
0.721
0.799
0.29
0.128

0.688
0.087
0.809
0.015
0.012

0.772
0.35
0.691
0.834
0.498

0.036
0.779
0.545
0.599
0.6

0.854
0.482
0.857
0.724
0.913

39

__ Capitulo 2 Números pseudo aleatorios

Construiremos la secuencia de unos y ceros por renglón quedando de la siguiente manera:
S = {1,0,0,1,0,1,1,1,0,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,0,
1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,1,1}
A partir de la secuencia anterior se determina que hay 21 corridas, 23 ceros y 27 unos.
Por lo tanto, C = 21, n = 23 y = 27. A continuación se presentan los cálculos del valor
esperado y de la varianza del número de corridas:
0

0

2 (23) (27)

+
c

^
ac

o

n

2

_ 2n n (2n n -n)
0

1

0

1

2

5

3

4

2 (23) (27) [2 (23) (27) - 50]

=

2

n ( n - 1)

(50) (50- 1)

Z„=Í^=21_^25 34
I

J^f.X

=

2

2

o

+ 1

50

=

1

_

2

4

8

4

1

4

= 12.08542

6

12.08542

Como el valor de Z cae dentro del intervalo -1.96 < Z = -1.2484146 <; 1.96, se dice
que no se puede rechazar que los números del conjunto r¡ son independientes con un nivel de confianza de 95%. De acuerdo con esta prueba, el conjunto de números r¡ se puede usar en un estudio de simulación.
0

0

2.4.4.3 Prueba poker
Esta prueba consiste en visualizar el número r¡ con cinco decimales (como si fuera una mano del juego de poker, con 5 cartas), y clasificarlo como: todos diferentes (TD), exactamente un par (1P), dos pares (2P), una tercia (T), una tercia y un par (TP), poker (P) y quintilla
(Q). Por ejemplo, si r¡ = 0.69651 se le clasifica como par, porque hay dos números 6. Ahora
bien, consideremos el caso de r¡ = 0.13031, el cual debe clasificarse como dos pares (dos
números 1 y dos números 3). Finalmente, r¡ = 0.98898 debe clasificarse como una tercia y
un par, porque hay tres números 8 y dos números 9. La prueba poker se puede realizar
a números r¡ con tres, cuatro y cinco decimales. Para r¡ con tres decimales sólo hay tres
categorías de clasificación: todos diferentes (TD), un par (1P) y una tercia (T). Cuando se
consideran r con cuatro decimales se cuenta con cinco opciones para clasificar los números:
todos diferentes (TD), exactamente un par (1P), dos pares (2P), una tercia (T) y poker (P).
(

Tabla 2.3 Prueba poker para números con tres decimales
Categoría

40

Probabilidad

I

1
E

¡

Todos diferentes (TD)

0.72

0.72/7

Exactamente un par (1P)

0.27

0.27n

Tercia (T)

0.01

0.01 n

2.4.4 Pruebas de independencia |

Tabla 2.4 Prueba poker para números con cuatro decimales
Categoría

Probabilidad

Todos diferentes (TD)

0.5040

0.5040n

Exactamente un par (1P)

0.4320

0.4320n

Dos pares (2P)

0.0270

0.0270n

Tercia (T)

0.0360

0.0360n

Poker (P)

0.0010

0.001 On

Tabla 2.5 Prueba poker para números con cinco decimales
Categoría

Probabilidad

Todos diferentes (TD)

0.3024

0.3024n

Exactamente un par (1P)

0.5040

0.5040n

Dos pares (2P)

0.1080

0.1080n

Una tercia y un par (TP)

0.0090

0.0090n

Tercia (T)

0.0720

0.0720n

Poker (P)

0.0045

0.0045n

Quintilla (Q)

0.0001

0.0001 n

Las tablas 2.3 a 2.5 presentan la probabilidad esperada para cada una de las categorías de
clasificación de esta prueba para conjuntos r¡que contienen n números con 3,4 y 5 decimales.
La prueba poker requiere el estadístico de la distribución Chi-cuadrada x para números con cinco decimales, x para números con cuatro decimales y x P
números
con tres decimales. x\ tiene 6 grados de libertad, debido a que los números se clasifican
en siete categorías o clases: todos diferentes, exactamente un par, dos pares, una tercia y
un par, una tercia, poker y quintilla.
n 6

2

2

a4

a

r

a

a2

6

El procedimiento de la prueba consiste en:
a) Determinar la categoría de cada número del conjunto r¡.
b) Contabilizar los números r, de la misma categoría o clase para obtener la frecuencia observada (0 ).
(

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