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EL PAPEL DE LAS DEFINICIONES EN LA ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS .pdf



Nombre del archivo original: EL PAPEL DE LAS DEFINICIONES EN LA ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS.pdf
Autor: HECTOR GUILLERMO CHAVARRIA GARCIA

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EL PAPEL DE
MATEMATICAS

LAS

DEFINICIONES

EN

LA

ENSEÑANZA

Y

APRENDIZAJE

DE

LAS

veces

aprenden

no

consecuencia

de

Juan Antonio Alanís Rodríguez
Departamento de Matemáticas del ITESM (Campus Monterrey)

Los

estudiantes

precisamente

lo

enseñamos.
de

que

Así,

solo

horizontal.
que

es

los

que

no

triángulo

se

de

este

Muchas


de

medio

como
extrañarnos

básico
de

suceder

isósceles

ilustra

es

triángulos

ha

algo.

pero

no

nivel

aquellos

Cómo
un

ejemplo,

de
a

aprenden

queremos,

por

estudiantes

isósceles

siempre

la

esta

clase

esto,

son

un

identifiquen

si

inmensa

concepto

que

que

tras

la

mayoría
triángulos

gran

número

como

triángulos

tienen

su

definición

de

los

que

como

base
de

ejemplos

aparte

lo
con

de

tener

dos lados iguales tienen también su base horizontal.
Del
centrar
me

la

que

atención

presenta.

acabo
se

artículo

de

Dicho

describir.

forman

los

conceptos

me

en

toca

el

modelo

modelo
De

los

de

explica

hecho,

conceptos

por

comentar

en

estudiantes

la

muy

es
los

en

un

mesa

estructura
bien

cognoscitiva

teórico
y

estos

redonda,

situaciones

marco

estudiantes

cuando

esta

cómo

llevan

como

voy

a

que

allí

las

que

para

explicar

cómo

son

usados

dichos

al

cabo

una

tarea

cognoscitiva

como

cognoscitiva.
El

modelo

compuesta
son

celdas

por

consiste
dos

en

celdas

biológicas).

Una

considerar
(para

a

evitar

celda

la

estructura

confusiones

está

definida

se
a

concepto y la otra, a la definición del concepto.

Definición del Concepto

Imagen del Concepto

Figura 1: Estructura cognoscitiva
1

aclara
la

que

imagen

no
del

Por

imagen

asociado

en

del

nuestra

representación

visual

puede

ser

también

ligadas

al

del

triángulo

individuo,

la

propiedad

por

concepto,

experiencias

de

de

medida

que

el

individuo

concepto

varía

de

un

aún

en

periodos

concepto

puede

reaccionar

de

ser

de

manera

de

madure.

En

el

Es

la
los

distinta

en

y
la

un
sean

de

los

en

imagen

mismo

relación

a

pueden

distintas

del

de

cambia

un

individuos

ante

imagen

través

sentido,

imagen

tenga;

triángulos

a

en

la

mente

concepto,

más,

una

experiencias

la

estos

construye

verbal

ser

o

la

de

no

este

de

en

tal

otro.

tiempo,

parte

se
con

que

impresiones

bases

tipo

distinta:

Puede

estar,

las

a

concepto.

de

concepto

individuo

aquello

caso

puede

todo

todo

como

que

del

cortos

en

ejemplo,

isósceles

imagen

el

colección

Por

del

La

con

una

concepto.

horizontales.

entenderemos

mente

concepto

años

concepto,

la
del

individuo,
un

mismo

muy

bien

situaciones

en

las

que el concepto es evocado.
Por
usadas

definición
para

del

concepto,

entenderemos

precisar,

explicar

o

definiciones,

o

son

hechas

por

el

experiencia

con

el

concepto

y

en

descripción
parte

de

de

su

un

sistema

necesariamente
antes

de

definición
éste

la

va

del

concepto,

general

de

familiarizados,

que
del

imagen

tengan

y

cualquier

concepto

sea

modificando

y

conjunto

definir

al

de

palabras

concepto.

Estas

estudiante

como

tal

caso

no

son

bien,

les

son

enseñadas

como

el

cual

están

o

conceptos

en

con

ocasiones

imagen

enseñada
así

al

del
o

puede

resultado

les

diferir

de

Ya

la

que

su

introducidas
sea

por

su

no

son

concepto.
construida

otra

de

el

que

la

estudiante,

definición

aceptada

por la comunidad matemática, esto es, la definición formal.
Con
todo

de

de

la

la

celda

respecto
los

imagen
de

a

niveles
del
la

la

formación

medio

concepto
definición

de

superior
está
del

y

conceptos

muchos

superior,

piensan

determinada
concepto.

situación.

2

y

queda
La

maestros,

bajo

figura

2

sobre

que

la

el

control
ilustra

celda
de
esta

Definición del Concepto

Imagen del Concepto

Figura 2: Crecimiento cognitivo de un concepto formal.

que

En

realidad,

un

estudiante,

sistemas
que

de

los

suceden

cosas

como

coordenadas,
ejes

de

estudiante

recibe

cualesquiera

dos

muy

resultado
tenga

que

su

de

la

sistema

intersecten.

por

imagen

con

del

los

concepto

Posteriormente

de

Como

ejemplo,

anterior

perpendiculares.

de

se

Supongamos,

experiencia

parte

son

definición

rectas

de

como

coordenadas
la

diferentes.

este

coordenadas
consecuencia

como
de

esto

se pueden representar tres situaciones diferentes:
(I)

La

imagen

sistemas

(II)

La

de

celda

celda

del

coordenadas

de

la

la

definición

de

definición

concepto

dada

distorsionada,

con

imagen

por

y

será
ejes

del
del

el

cambiada
que

concepto

el

formen

incluir
un

permanecerá

concepto

maestro,

cuando

no

para

contendrá

pero

por

después

estudiante

sea

también

ángulo

recto.

como

está.

La

un

tiempo

la

olvidada

o

sobre

la

que

al

será

interrogado

definición, éste hablará acerca de ejes formando un ángulo recto.

(III)

Ambas

celdas

estudiante
él

se

“repetirá”

cualquier

permanecen

como

le

definición

la

otra

pida

la

definición

situación

están
de

dada

seguirá

y

usando

al

un

por

momento
sistema

el

sistemas

en

de

coordenadas,

maestro,
de

pero

en

coordenadas

con

formación

de

perpendiculares.

La

figura

3

ilustra

más

fielmente

lo

conceptos, en los estudiantes.
3

que

sucede

en

la

Definición del Concepto

Imagen del Concepto

Figura 3: Interrelación entre la imagen y la definición del concepto.

Aunado

al

proceso

aplicación:

resolución

cognitivas.

Los

por

un

figuras.

gran
Las

de
de

modelos
número
flechas,

formación

de
en

de

problemas
para

dichas

o

este

maestros,

conceptos,
de

proceso
se

muestran

figuras,

indican

está

el

proceso

ejecución

de

implícitamente
en
los

las

diferentes

Un comportamiento
Salida intelectual
(una respuesta)

Imagen del Concepto

Entrada
Una tarea cognitiva
(Identificación o
Construcción)

Figura 4: Interacción entre la imagen y al definición del concepto.

4

su

tareas
aceptados

siguientes

en que la estructura cognoscitiva funciona.

Definición del Concepto

de

tres
modos

Salida

Imagen del Concepto

Definición del Concepto

Entrada
Figura 5: Deducción formal pura.

Salida

Imagen del Concepto

Definición del Concepto

Entrada

Figura 6: Pensamiento intuitivo seguido por una deducción.
Así,

según

número

de

solución

a

definición
contextos

los

maestros
un
del

procesos
presuponen

problema
concepto.

técnicos,

un

ilustrativos
que

los

necesariamente
Aunque

modelo

esto

más

en

las

alumnos

figuras
antes

consultarán
es

para

de

la

deseable,

apropiado

4-6,

sobre

lo

Salida

Imagen del Concepto

Entrada

Figura 7: Respuesta intuitiva.
5

formular

celda

ocurre en la práctica es el que se presenta en la figura7.

Definición del Concepto

un

que

de
todo

gran
la
la
en

comúnmente

Aquí,

la

no

es

consultada

durante

situación

predomina

entre

vacía,
Esta

celda

de

la

definición

del

el

proceso

otras

manera

de

proceder

en

carácter

rutinario

de

la

mayoría

los

gran

estudiantes,

hace

un

aún

de

cosas

habitual

enfrentados

concepto,

que

cuando

resolver

porque:

contexto
de

y

esta

un

(a)

manera

nuestra

y

problemas

(b)

a

usual

esté

problema.

es

cotidiano;

los

no

el

que

de

son

proceder

siga siendo exitosa en los mismos contextos técnicos.
Sin

embargo,

importantísimo

papel.

imagen

concepto

del

problemas,
trampas
el

es

nos
de

intervalos

contextos

técnicos

No

solo

son

gran

sino

caer

en

y
la

imágenes

y

su

acotados,
trampa

de

los

no

que

en

la

nos

de

juegan

formación

Por

funciones

repara

en

valores

se

un

de

solución

salvan

conceptos.

se

estos

la
en

menudo

absolutos

si

definiciones

papel

a
de

mínimos

las

ayuda

también

definiciones

las

máximos

de

que

Las

ponen

cerrados

podemos

los

decisivo.

que

cálculo

en

de

la
de
las

ejemplo,

en

continuas

en

las

definiciones,

dan

solo

en

los

elementos donde la derivada vale cero o no exista.
De
ilustrar

los

tres

todo

concepto

lo

de

tangente

ejemplos
anterior,

función.

y

del
voy

Los

límites

artículo,
a

otros
de

que

estoy

discutir

solo

que

tratan

dos

sucesiones

comentando,

el

que

sobre

serán

se

los

usa

para

refiere

al

conceptos

de

discutidos

en

otras

conferencias de este seminario.
El
habían

siguiente
tomado

10

y

11

las

cuales

contestaran
cuarta

y

(en
se
“si”
última

cuestionario

cursos

de

Israel,
querían
o

fue

aplicado

matemáticas
supongo).

indagar
“no”

y

pregunta

se

En

la

147

nivel

las

primeras

tres

conceptual,

se

justificaran

buscaba

concepto.

6

estudiantes

del

imagen

que

a

información

superior

su

en

les

la

los

ya

grados

preguntas,

respuesta.
de

que

pedía

con
que

Con

la

definición

del

CUESTIONARIO
1.

¿Existe

una

función

la

cual

a

cada

número

diferente

de

cero le asigne su cuadrado y al 0 le asigne -1?

2.

¿Existe

una

función

la

cual

asigne

1

a

cada

número

positivo, -1 cada número negativo, y 0 al 0?
3.

¿Existe una función cuya gráfica sea la siguiente?

4.

En su opinión, ¿qué es una función?
El

fue:

concepto

una

asigna
del

función

a

segundo

14

regla”

conjunto.

de

de

del
A

esta

los

formula

o

una

primer

pesar

de

pregunta

o

estudiantes

arbitraria.

a

todos

correspondencia

correspondencia

correspondencia
una

a

enseñado

una

elemento

dieron
%

función

es

cada

estudiantes
El

de

Otro

ecuación.

y

entre

conjunto
esto,
algo

dijeron

El

%
resto

estudiantes

dos

el

57

que

función

los

que

una

estudiantes

de

pregunta

posibilidad

afirmaron
de

la

cual

elemento

%

a

la

la

un

equivalente
una

encuestados

conjuntos

exactamente
solo

eliminan
14

los

los
4.

es

“una

de

una

función
no

es

dio

una

imagen

del

respuesta satisfactoria a esta pregunta 4.
Con

respecto

concepto,

entre

que

función

una

a

una

las

preguntas

y

dos

terceras

estar

dada

debería

con

por

7

las

que

partes
“una”

se
de

indagaría
los

regla

o

la

estudiantes
si

está

piensan
dada

por

dos

reglas

entonces

Una

regla

para

permitida.
están

nombre

los

3.

correctamente
era

lo

requerida

en

estudiantes

también

es

contestaron

estudiantes

reflejado

respondieron

pregunta

funciones

gráfica

a

no

en

dándoles
dos

las

respuestas

estudiantes
su

1-3.

De

hecho,

solo

la

1-4.

incorrectamente

a

un

debe
a

ser
la

que

definen

definición

cuando

un

definición

preguntas

la

quintas

función

usado

no

que

una

han

está

que

menos

no

las

intervalos.

1)

funciones

de

correctamente
a

dos

correspondencias

muchos

preguntas

de

Aproximadamente

ve

correctamente

que

la

como

la

función

dieron

unión

son

especial.

que

una

las

que

las

que

se

tenemos

que

que

declarado

creen

esto

Así,

en

no

notación

estudiantes

la

(como

creen

haya

una

ser

algebraica

las

o

debe

punto

regla

“suave”;

pregunta

los

una

especial

curva

así

simple

matemática

de

dominio

estudiantes

por

comunidad

una

un

Algunos

dadas

partes

su

tercio
de

función

Ninguno
la

de

de

los

pregunta

4,

contesto correctamente a las preguntas 1-4.
El
la

autor

enseñanza

cotidiana

así

adquieren

cursos
y

efectos

de
que

estudiantes.

libros

del

de

texto

sin
que

información

puede

deberían

tiene,
ser

aquí he discutido.

8

en

esto

través
no

que

puede

exitoso

tener

su

usualmente

se

debería

dar

esta

los

cuales

proponiendo
considera

candidatos
a

los

conocimiento
pensamiento
con

con

si

de

son

el

de

manera

no

hecho

advierte

obtenida

una

uno

de

el

de

como

que

embargo,

objetivos

matemáticos,

a

formales,

los

resulta

caso

Aclara

estudiantes

introducción

tal

concepto

definiciones

matemáticas;

no

conceptos

en

formada.

en

que

adquirirse

técnicos;

de

pensamiento

que

los

deberían

será

uno

Menciona

y

que

ejemplos

las

de

tal
Tal

técnica.

no

introducirlas

avanzados

autores

una

que

de

período

contra-

lado

indispensable

hábitos

permite,

concepto

afirmando

los

Recomienda

y

del

de

a

conceptos

ejemplos

artículo

pequeño

lo

los

imagen

hacer

un

persona.

naturaleza

el

cambiar

hacerlo

en

cualquier

varios

es

de

hacerse

la

termina

a

maestros
de

los

de

los

modelo

que


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