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formularioEDOI .pdf



Nombre del archivo original: formularioEDOI.pdf
Título: Formulario Academia EDO v2.dvi

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Formulario de Prec´
alculo.
1.

5. Leyes de los logaritmos.
a) loga (P Q) = loga (P ) + loga (Q)

P
b) loga
= loga (P ) − loga (Q)
Q

Los N´
umeros.

1. Leyes de los exponentes y radicales.
m n

a) a a = a
d)

a n
b

g) a1/n
j)

m+n

m n

b) (a ) = a

n

mn

c) loga (Qn ) = n loga (Q)

n

c) (ab) = a b

m

a
bn

= na

a
= am−n
an

h) am/n = n am
r

n
a
a
k) n = √
n
b
b

=

e)


√ √
n
n
ab = n a b

n n

d ) aloga (x) = x

1
an
√ m
= ( n a)

f ) a−n =

e) loga (ax ) = x

i) am/n

f ) loga (1) = 0

l)

p√

m

n

a=

g) aloga (a) = 1


a

mn

h) log(x) = log10 (x)

2. Productos Notables.

i) ln(x) = loge (x)
2

a) Binomios Conjugados: (x + y)(x − y) = x − y
2

2

2

b) Binomio al Cuadrado: (x ± y) = x ± 2xy + y

j ) Cambio de base:

2

c) Binomio al Cubo: (x ± y)3 = x3 ± 3x2 y + 3xy 2 ± y 3

loga (Q) =

logb (Q)
logb (a)

2. Soluciones Exactas de ecuaciones Algebraicas

2

d ) (x + y) = x2 + 2 xy + y 2
2

e) (x − y) = x2 − 2 xy + y 2
3

f ) (x + y) = x3 + 3 x2 y + 3 xy 2 + y 3

6. Soluciones Exactas de Ecuaciones Algebraicas.

3

g) (x − y) = x3 − 3 x2 y + 3 xy 2 − y 3

a) La Ecuaci´
on Cuadr´
atica: ax2 + bx + c = 0 tiene
soluciones:

−b ± b2 − 4ac
x=
2a
2
El n´
umero b −4ac se llama discriminante de la ecuaci´on.
i) Si b2 − 4ac > 0 las ra´ıces son reales y diferentes.
ii) Si b2 − 4ac = 0 las ra´ıces son reales e iguales.
iii) Si b2 − 4ac < 0 las ra´ıces son complejas conjugadas.

4

h) (x + y) = x4 + 4 x3 y + 6 x2 y 2 + 4 xy 3 + y 4
i) (x − y)4 = x4 − 4 x3 y + 6 x2 y 2 − 4 xy 3 + y 4
5

j ) (x + y) = x5 + 5 x4 y + 10 x3y 2 + 10 x2y 3 + 5 xy 4 + y 5
k ) (x − y)5 = x5 − 5 x4 y + 10 x3y 2 − 10 x2y 3 + 5 xy 4 − y 5
3. Teorema del Binomio. Sea n ∈ N, entonces:
(x + y)n =

n
X
n n−r r
x
y
r
r=0

b) Para la Ecuaci´
on C´
ubica: x3 + ax2 + bx + c = 0
sean:


n
n!
Nota:
= n Cr =
r!(n − r)!
r

3b − a2
9ab − 27c − 2a3
,
R=
9
54
q
q
p
p
3
3
S = R + Q3 + R 2 ,
T = R − Q3 + R 2
Q=

4. Factores Notables.
a) Diferencia de Cuadrados: x2 − y 2 = (x + y)(x − y)
b) Suma de Cubos: x3 + y 3 = (x + y)(x2 − xy + y 2 )
3

3

2

Entonces las soluciones son:
a
x1 =S + T −
3


S+T
a
x2 = −
+
+
2
3


S+T
a
x3 = −
+

2
3

2

c) Diferencia de Cubos: x − y = (x − y)(x + xy + y )

d ) Trinomio Cuadrado Perfecto: x2 ±2xy+y 2 = (x±y)2
e) x2 − y 2 = (x − y) (x + y)

f ) x3 − y 3 = (x − y) x2 + xy + y 2

g) x3 + y 3 = (x + y) x2 − xy + y 2




h) x4 − y 4 = (x − y) (x + y) x2 + y 2



i) x5 − y 5 = (x − y) x4 + x3 y + x2 y 2 + xy 3 + y 4




j ) x5 + y 5 = (x + y) x4 − x3 y + x2 y 2 − xy 3 + y 4


k ) x6 −y 6 = (x − y) (x + y) x2 + xy + y 2 x2 − xy + y 2


l ) x4 + x2 y 2 + y 4 = x2 + xy + y 2 x2 − xy + y 2


m) x4 + 4 y 4 = x2 − 2 xy + 2 y 2 x2 + 2 xy + 2 y 2
1

√ !
(S − T ) 3
i
2
√ !
(S − T ) 3
i
2

El n´
umero Q3 +R2 se llama discriminante de la ecuaci´on.
i) Si Q3 + R2 > 0, hay una ra´ız real y dos son complejas conjugadas.
ii) Si Q3 + R2 = 0, las ra´ıces son reales y por lo menos dos son iguales.
iii) Si Q3 + R2 < 0, las ra´ıces son reales y diferentes.

3.

Funciones Trigonom´
etricas.

3.1.

Relaciones
nom´
etricas.
csc(A) =

entre

1
sen(A)

Funciones

cos3 (A) =

1
sec(A) =
cos(A)

sec (A) − tan (A) = 1

sen(A)
cos(A)

csc2 (A) − cot2 (A) = 1

tan(A) =

1
2

cos2 (A) =

1
2

3

sen (A) =

4.

3
4



1
2

+

1
2

sen5 (A) =

5
8

sen(A) −

5
16

sen(3A) +

1
16

sen(5A)

cos5 (A) =

5
8

cos(A) +

5
16

cos(3A) +

1
16

cos(5A)

cos(2A) +

sen(A) −

cos(4A)

2

3.3.

Suma, Diferencia y Producto las Funciones Trigonom´
etricas.

sen(A) + sen(B) = 2 sen

A+B
2

sen(A) − sen(B) = 2 sen

A−B
2

cos(A) + cos(B) = 2 cos

A+B
2

cos(A) − cos(B) = 2 sen

A+B
2

sen(A) sen(B) =

1
2

cos(A) cos(B) =

1
2

sen(A) cos(B) =

1
2

cos(2A)
1
4

1
8

+

cos(2A)

sen(3A)



cos

A−B
2

cos

A+B
2



cos

A−B
2

sen

B−A
2















cos(A − B) − cos(A + B)




sen(A − B) + sen(A + B)




cos(A − B) + cos(A + B)

Funciones Hiperb´
olicas.

Seno hiperb´olico de x = senh(x) =

ex − e−x
2

Coseno hiperb´olico de x = cosh(x) =

Cosecante hiperb´olica de x = csch(x) =

ex + e−x
2

Tangente hiperb´olica de x = tanh(x) =

4.1.

1
2

3
8

Potencias de Funciones Trigonom´
etricas.

sen2 (A) =

cos(3A)

cos4 (A) =

cos(A)
1
=
cot(A) =
sen(A)
tan(A)

3.2.

1
4

cos(A) +

3
1
1
4
Trigo- sen (A) = 8 − 2 cos(2A) + 8 cos(4A)

sen2 (A) + cos2 (A) = 1

2

3
4

Secante hiperb´olica de x = sech(x) =

ex − e−x
ex + e−x

2
ex − e−x

2
ex + e−x

Cotangente hiperb´olica de x = coth(x) =

ex + e−x
ex − e−x

Relaci´
on entre las Funciones Hiperb´
olicas.

tanh(x) =

coth(x) =

senh(x)
cosh(x)
1
cosh(x)
=
tanh(x)
senh(x)

sech(x) =

1
cosh(x)

cosh2 (x) − senh2 (x) = 1
sech2 (x) + tanh2 (x) = 1

1
csch(x) =
senh(x)

coth2 (x) − csch2 (x) = 1

2

Formulario de C´
alculo.

Funciones Trigonom´
etricas:

Derivadas.
En este formulario: k, c ∈ R son constantes reales, f = f (x),
u = u(x) y v = v(x) son funciones que dependen de x.

ormulas B´
asicas:
Funci´
on:

Su Derivada:

f =k

f′ = 0

Funci´on:

Su Derivada:

f = sen(u)

f ′ = cos(u) · u′

f = cos(u)

f ′ = − sen(u) · u′

f = tan(u)

f ′ = sec2 (u) · u′

f = csc(u)

f ′ = − csc(u) cot(u) · u′

f = sec(u)

f ′ = sec(u) tan(u) · u′

f = cot(u)

f ′ = − csc2 (u) · u′

Linealidad de la derivada:
f =k·u

f ′ = k · u′

f =u±v

f ′ = u′ ± v ′

f =k·u±c·v





f =k·u ±c·v

Funciones Trigonom´
etricas Inversas:
Funci´on:

f = arc cos(u)

u′
;
f′ = −√
1 − u2

f = arctan(u)

f′ =

f = arccsc(u)

u′
f′ = − √
u u2 − 1

f = arcsec(u)

u′
;
f′ = √
u u2 − 1

f = arccot(u)

f′ = −



Regla del Producto:
f =u·v

f = arc sen(u)

Su Derivada:
u′
f′ = √
; |u| < 1
1 − u2

f ′ = u · v ′ + v · u′

Regla del Cociente:
u
f=
v

v · u′ − u · v ′
f′ =
v2

Regla de la Cadena (Composici´
on de funciones)
f = u(x) ◦ v(x)

f ′ = [u(v(x))]′ · v ′ (x)

Regla de la Potencia:
f = vn

f ′ = n · v n−1 · v ′

f = k · vn

f ′ = k · n · v n−1 · v ′

f ′ = eu · u ′

f = au

f ′ = au · ln(a) · u′

Funciones Logar´ıtmicas:
f = ln(u)
f = loga (u)

u′
f =
u


f′ =

u′
1 + u2

u′
;
1 + u2

|u| > 1
|u| > 1

Funciones Hiperb´
olicas:

Funciones Exponenciales:
f = eu

|u| < 1

u′
u · ln(a)

Una Funci´
on elevada a otra Funci´
on:


v · u′
v

v

f =u
f = u v · ln(u) +
u
3

Funci´on:

Su Derivada:

f = senh(u)

f ′ = cosh(u) · u′

f = cosh(u)

f ′ = senh(u) · u′

f = tanh(u)

f ′ = sech2 (u) · u′

f = csch(u)

f ′ = −csch(u) coth(u) · u′

f = sech(u)

f ′ = −sech(u) tanh(u) · u′

f = coth(u)

f ′ = −csch2 (u) · u′

Funciones Hiperb´
olicas Inversas:

17)

Funci´
on:

Su Derivada:

18)

f = arcsenh(u)

u′
f = √
1 + u2

19)

f = arccosh(u)

f = arctanh(u)
f = arccsch(u)

f = arcsech(u)

f = arccoth(u)



u′
f′ = √
;
u2 − 1
f′ =



u
;
1 − u2

f′ = −

20)



u

;
|u| 1 + u2

u′
f =
;
1 − u2

22)

|u| < 1

u′
f′ = − √
;
u 1 − u2


21)

|u| > 1

23)

u 6= 0

24)
25)

0<u<1

26)

|u| > 1


ormulas B´
asicas.
2)

0dx = C

R

kdx = kx + C

R
R
(k · u ± w · v)dx = k udx + w vdx + C
R
n+1
para n 6= −1.
4) Regla de la potencia un du = un+1
R u
5) Regla exponencial e du = eu
R
6) Regla logar´ıtmica ln |u| du = u ln |u| − u

3)

7)

8)

R

R

u

37)
38)
39)

= ln |u| + C

40)

Trigonom´
etricas.
9)

R

10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)

R

sec u tan udu = sec u

cot2 udu = − cot u − u
sen2 udu =

u
2



sen 2u
4

= 12 [u − sen u cos u]

R

cos2 udu =

u
2

+

sen 2u
4

= 12 [u + sen u cos u]

R

csc u cot udu = − csc u

R

senh udu = cosh u

R

tanh udu = ln[cosh u]

R

cosh udu = senh u

R

coth udu = ln[senh u]

R

Integrales con au + b.

au
au du =
+C
ln(a)

R du

R

R

sechudu = sen−1 [tanh u] = 2 tan−1 [eu ]
R


28) cschudu = ln tanh u2 = −2 coth−1 [eu ]
R
29) sech2 udu = tanh u
R
30) csch2 udu = − coth u
R
31) tanh2 udu = u − tanh u
R
32) coth2 udu = u − coth u
R
33) senh2 udu = senh4 2u − u2 = 21 [senh u cosh u − u]
R
34) cosh2 udu = senh4 2u + u2 = 21 [senh u cosh u + u]
R
35) sechu tanh udu = −sechu
R
36) cschu coth udu = −cschu
27)

En este formulario: k, w, C ∈ R son constantes reales, u = u(x)
y v = v(x) son funciones que dependen de x.

R

tan2 udu = tan u − u

Hiperb´
olicas.

Integrales.

1)

R

41)

sen udu = − cos u
R
cos udu = sen u
R
tan udu = ln[sec u] = − ln[cos u] + C
R
cot udu = ln sen u
R


sec udu = ln[sec u + tan u] = ln tan u2 + π4


R
csc udu = ln[csc u − cot u] = ln tan u2
R
sec2 udu = tan u
R
csc2 udu = − cot u

42)
43)
44)
45)
46)
47)
48)
4

R

du
au+b

=

1
a

ln (au + b)

R

udu
au+b

=

u
a



R

u2 du
au+b

=

(au+b)2
2a3

R

u3 du
au+b

=

(au+b)3
3a4

R

du
u2 (au+b)

1
b

b
a2

ln (au + b)





R

du
u(au+b)

R

du
(au+b)2

=

−1
a(au+b)

R

udu
(au+b)2

=

b
a2 (au+b)

R

u2 du
(au+b)2

=

au+b
a3

R

du
u(au+b)2

R

du
u2 (au+b)2

R

du
(au+b)3

=

ln

=

=



1
b(au+b)

a
b2

+



ln

1
a2

+

1
b2



b2
a3

+

au+b
u

ln (au + b)

3b2 (au+b)
a4



b3
a4



ln (au + b)

b2
a3 (au+b)

−a
b2 (au+b)

−1
2(au+b)2

+

3b(au+b)2
2a4

u
au+b

1
= − bu
+

=

2b(au+b)
a3

ln
1
b2 u




2b
a3

ln (au + b)


u
au+b

+

2a
b3

ln

au+b
u



ln (au + b)

49)
50)
51)
52)
53)
54)

55)

R

R

R

R

R

R

R

udu
(au+b)3

=

−1
a2 (au+b)

+

b
2a2 (au+b)2

u2 du
(au+b)3

=

2b
a3 (au+b)



b2
2a3 (au+b)2

57)
58)

59)

60)

n

(au + b) du =

(au+b)n+1
(n+1)a

61)

n

u (au + b) du =
n

u2 (au + b) du =

64)
65)
66)
67)
68)

69)
70)



(au+b)n+3
(n+3)a3

b(au+b)n+1
(n+1)a2





2
√u du
au+b

=

2(3a2 u2 −4ab u+8b2 ) √
au
15a3

R

√du
u au+b

u2

=

√du
au+b







=−

√1
b

ln

√2
−b


R

77)
78)

+b

tan−1

au+b
bu

81)
+b

82)


√au+b−√b
au+b+ b



a
2b



2(3au−2b)
15a2

q
R

83)

au+b
−b

84)

√du
u au+b

85)
86)

q
3
(au + b)

87)

q

2(15a2 u2 −12ab u+8b2 )
u au + b du =
(au + b)3
105a3
2





au+b
du
u
au+b
u2 du
m

√u
du
au+b

um

du

au+b


R
= 2 au + b + b
=−
=


au+b
u


2um au+b
(2m+1)a



a
2



R

89)

√du
u au+b

2mb
(2m+1)a

au+b
= − (m−1)bu
m−1 −
m

88)

√du
u au+b




um au + bdu =



+

2u
(2m+3)a (au

R

90)
um−1

du
au+b

(2m−3)a R
(2m−2)b

91)

du

um−1 au+b

92)

+ b)3/2
R m−1 √
2mb
− (2m+3)a
u
au + bdu



au+b
um du

au+b
= − (m−1)u
m−1 +

au+b
um du

=

−(au+b)3/2
(m−1)bum−1



a
2(m−1)

(2m−5)a
(2m−2)b

R

R

2(au+b)(m+2)/2
a(m+2)

R

(au + b)m/2 du =

R

u2 (au + b)m/2 du =

R

(au+b)m/2
du
u

=

(au+b)m/2
du
u2

= − (au+b)bu

R

du
u(au+b)m/2

R

R

u(au + b)m/2 du =

2(au+b)(m+4)/2
a2 (m+4)

2(au+b)(m+6)/2
a3 (m+6)

4b(au+b)(m+4)/2
a3 (m+4)



2b2 (au+b)(m+2)/2
a3 (m+2)

+

2(au+b)m/2
m

(au+b)(m−2)/2
du
u

R

+b

(m+2)/2

=

2b(au+b)(m+2)/2
a2 (m+2)



+

ma
2b

2
b(m−2)(au+b)(m−2)/2

+

1
b

u2
u2 +a2



(au+b)m/2
du
u

R

du
u(au+b)(m−2)/2

R

Integrales con u2 + a2 .

80)


R√
2 (au+b)3
au + b du =
3a

R

76)

79)

R

R

75)

au + b.

2(au−2b) √
au
3a2

R

b2 (au+b)n+1
(n+1)a3

u (au + b) du =
 um+1 (au+b)n
R m
n−1
nb

+ m+n+1
u (au + b)
du

m+n+1


 m
R m−1
n
u (au+b)n+1
mb
=
− (m+n+1)a
u
(au + b) du
(m+n+1)a




R m
 −um+1 (au+b)n+1
+ m+n+2
u (au + b)n+1 du
(n+1)b
(n+1)b

=

R

+

74)

n

m

√udu
au+b

R

para n 6= −1, −2

2b(au+b)n+2
(n+2)a3


2 au+b
a

R

72)

para n 6= −1, −2, −3

R √
62) u au + b du =
63)

(au+b)n+2
(n+2)a2

=

R

ln (au + b)

para n 6= −1

√ du
au+b

R

1
a3

73)

R

R

+

(au+b)2
2a

(au + b) du =

Integrales con
56)

71)

93)
94)

du

um−1 au+b


au+b
um−1 du

95)
5

R

du
u2 +a2

=

1
a

tan−1

R

udu
u2 +a2

=

1
2

ln u2 + a2

R

u2 du
u2 +a2

= u − a tan−1

R

u3 du
u2 +a2

=

u2
2



R

du
u(u2 +a2 )

=

1
2a2

R

du
u2 (u2 +a2 )

= − a21u −

R

du
u3 (u2 +a2 )

= − 2a21u2 −

R

du
(u2 +a2 )2

=

u
2a2 (u2 +a2 )

R

udu
(u2 +a2 )2

=

−1
2(u2 +a2 )

R

u2 du
(u2 +a2 )2

=

−u
2(u2 +a2 )

+

1
2a

R

u3 du
(u2 +a2 )2

=

a2
2(u2 +a2 )

+

1
2

R
R
R

du



u
a

ln u2 + a2

ln





u2
u2 +a2
1
a3


u
a

tan−1
1
2a4

+

1

=

u(u2 +a2 )2

a2
2

u
a

2a2 (u2 +a2 )

du
u2 (u2 +a2 )2

= − a41u −

du
u3 (u2 +a2 )2

= − 2a41u2 −

ln

1
2a3



ln(u2 + a2 )

+

1
2a4

ln

u
2a4 (u2 +a2 )

=

2a2 (n−1)(u2 +a2 )n−1

R

udu
(u2 +a2 )n

=

−1
2(n−1)(u2 +a2 )n−1

R

um du
(u2 +a2 )n

R

du
u(u2 +a2 )n

du

u

=

=

um (u2 +a2 )n

=

um−2 du
(u2 +a2 )n−1
1
a2

R

u2

(u2 +a2 )

− a2
du

R

3
2a5



+

1
2a2 (n−1)(u2 +a2 )n−1

R



1
2a4 (u2 +a2 )

du

R

u
a

tan−1

(u2 +a2 )n

R

u
a

tan−1

tan−1

1
a6

ln

2n−3
(2n−2)a2

+

um (u2 +a2 )n−1





1
a2

R



R

u
a

u2
u2 +a2



du
(u2 +a2 )n−1

du
u(u2 +a2 )n−1

um−2 du
(u2 +a2 )n



1
a2

R

du
um−2 (u2 +a2 )n

Integrales con u2 − a2 .
96)
97)
98)
99)

R

R

R

R

100)
101)
102)
103)
104)

105)
106)
107)
108)
109)
110)
111)
112)
113)
114)

du
u2 −a2

=

udu

=

u2 −a2
u2 du
u2 −a2
u3 du
u2 −a2

R

R

1
2a



ln

1
2

u−a
u+a



122)

= − a1 coth−1

=

du
u(u2 −a2 )

R

du
u3 (u2 −a2 )

R

udu
(u2 −a2 )2

R

du
(u2 −a2 )2

R

u2 du
(u2 −a2 )2
3

+

1
2a2

=

du
u2 (u2 −a2 )

a2
2

=

2

ln u − a
2 2
ln u u−a
2
+

1
2a2 u2

=

125)

2

1
a2 u

1
2a3



−u
2a2 (u2 −a2 )

=

−1
2(u2 −a2 )

=

−u
2(u2 −a2 )

=

−a
2(u2 −a2 )



ln

1
2a4

=

ln

+

1
4a

+

1
2

127)



ln

2

u
u2 −a2



du
u2 (u2 −a2 )2

= − a41u −

R

du
u3 (u2 −a2 )2

= − 2a41u2 −

R

du
(u2 −a2 )n

=

−u
2a2 (n−1)(u2 −a2 )n−1

R

udu
(u2 −a2 )n

=

−1
2(n−1)(u2 −a2 )n−1

R

R
R

du

u(u2 −a2 )n
um du
(u2 −a2 )n

du
um (u2 −a2 )n

ln

u
2a4 (u2 −a2 )

um−2 du
(u2 −a2 )n−1

=

1
a2

R

+ a2

R

131)
132)

u2
u2 −a2
3
4a5

+



ln

1
a6

133)


ln

2n−3
(2n−2)a2



1
a2

R

u−a
u+a



R



+

1
a2

u2
u2 −a2



du
(u2 −a2 )n−1

du

116)
117)
118)
119)
120)
121)

R
R

R

R

R

R

R

udu
a2 −u2

= − 21 ln(a2 − u2 )


a+u
= −u + a2 ln a−u

u du
a2 −u2
u3 du
a2 −u2

ln

2

= − u2 −

du
u(a2 −u2 )

=

1
2a2

a+u
a−u



=

2

1
2a



du
a2 −u2

1
a

tanh−1

R

du
um (u2 −a2 )n−1

=

du
u3 (a2 −u2 )

= − 2a21u2 +

+

1
2a3

ln

1
2a4

a+u
a−u

ln



u2 du
(a2 −u2 )2

=

u
2(a2 −u2 )



1
4a

R

u3 du
(a2 −u2 )2

=

a2
2(a2 −u2 )

+

1
2

R

du
u(a2 −u2 )2



= − a41u +

R

du
u3 (a2 −u2 )2

= − 2a41u2 +

dx
(a2 −x2 )n

=

x
2(n−1)a2 (a2 −x2 )n−1

R

xdx
(a2 −x2 )n

=

1
2(n−1)(a2 −x2 )n−1

R

R√
u2 + a2 du =





a+u
a−u

a+u
a−u

u2 (a2 −u2 )2

R

du

ln

ln





ln(a2 − u2 )
2
+ 2a14 ln a2u−u2

1
2a2 (a2 −u2 )

=

1
4a3

+

u

2a4 (a2 −u2 )

+

1
2a4 (a2 −u2 )

3
4a5

+

ln

1
a6



ln

2n−3
(2n−2)a2

+

a+u
a−u



R

u2 + a2 .


u u2 +a2
2

+

a2
2

ln u +



u 2 + a2

3/2


2
u(u2 +a2 )
2
2
u2 u2 + a2 du =
− a u 8u +a
4


4
− a8 ln u + u2 + a2

R
R

R

2
√u du
u2 +a2

=

3
√u du
u2 +a2

=



a2
2

ln u +

(u2 +a2 )
3

= − a1 ln

√du
u2 +a2

=−



u 2 + a2


− a2 u 2 + a2


3/2

√ du
u u2 +a2
u2


u u2 +a2
2

143)

R

147)
148)


149)
6

R

u3





√du
u2 +a2

=−

a+ u2 +a2
u


u2 +a2
a2 u

u2 +a2
2a2 u2


u2 +a2
u

2
2
− u2u+a
2

u2 +a2
du
u2

=−

u2 +a2
du
u3

=

R

du
(u2 +a2 )3/2

=

R

udu
(u2 +a2 )3/2

=

√ −1
u2 +a2

R

u2 du
(u2 +a2 )3/2

=

√ −u
u2 +a2

R

u3 du
(u2 +a2 )3/2

=

R

du
u(u2 +a2 )3/2

a2



=

√u
u2 +a2

+



+ ln u + u2 + a2


2
2
1
− 2a
ln a+ uu +a

u 2 + a2 +

a2

1
2a3

+ ln u +

√1
u2 +a2



u 2 + a2

2
√ a
u2 +a2



1
a3

ln





dx
(a2 −x2 )n−1

3/2
R √
(u2 +a2 )
u u2 + a2 du =
3

R



u2
a2 −u2



2
2
ln a+ uu +a



R √u2 +a2
2 + a2 − a ln a+ u2 +a2
142)
du
=
u
u
u

u
a

u2
a2 −u2

R

R

146)



1
2(a2 −u2 )

141)

145)



=

R

140)

u
a2 −u2

du
u2 (a2 −u2 )

udu
(a2 −u2 )2

137)

144)

ln(a2 − u2 )
2

R

R

139)

a2
2

ln

1
a2 u

=

u
2a2 (a2 −u2 )

134)

138)

u(u2 −a2 )n−1

Integrales con a2 − u2 , u2 < a2 .
115)

=

5/2
3/2

a2 (u2 +a2 )
(u2 +a2 )
u3 u2 + a2 du =

5
3


R
= ln u + u2 + a2 = senh−1 ua
135) √udu
2 +a2

R
136) √uudu
= u 2 + a2
2 +a2

um−2 du
(u2 −a2 )n

du
um−2 (u2 −a2 )n

du
(a2 −u2 )2

Integrales con


2





2a2 (n−1)(u2 −a2 )n−1

R



1
2a4 (u2 −a2 )

−1

=

=

1
2a4

130)




ln u2 − a

+

129)



u−a
u+a

u−a
u+a

R

−1
2a2 (u2 −a2 )

=



ln

u du
(u2 −a2 )2

du
u(u2 −a2 )2

128)



u−a
u+a

1
4a3



126)



R

R

123)
124)


ln u2 − a2


= u + a2 ln u−a
u+a
u2
2

u
a

R



a+ u2 +a2
u



150)
151)

152)

153)
154)

155)

156)

157)

R

R

R
R

R

du
u2 (u2 +a2 )3/2

=−

du
u3 (u2 +a2 )3/2

=

u2 + a


2 3/2

2

u u +a

u2 u2 + a

R (u2 +a2 )3/2
u

R (u2 +a2 )3/2
u2

R (u2 +a2 )3/2
u3

159)
160)
161)
162)
163)
164)
165)
166)
167)

168)
169)
170)

R

R
R
R
R

R

R

a4

−1

2a2 u2 u2 +a2



3
2a5

du =


2 3/2



a+ u2 +a2
u

R

R

174)


3a u u2 +a2
8

2 3/2

)

2

du


175)
176)

5
2 5/2

2

2

du =

(u2 +a2 )
3

177)

2 3/2

u(u +a )
a u(u +a )
=

6
24


4
6
2
2
a u u +a
− a16 ln u + u2
16
2

+


+ a2 u 2 + a2



a2

178)



179)

a+ u2 +a2
u

− a3 ln



(u2 +a2 )3/2

2

180)

2

+ 3u u2 +a
u


+ 32 a2 ln u + u2 + a2

du = −

du = −

(u2 +a2 )

− 32 a ln



=


u u2 −a2
2

=

(u2 −a2 )

+

3/2

3

u2

√du
u2 −a2

=

u3

√du
u2 −a2

=

sec−1




u 2 + a2


182)


a+ u2 +a2
u

183)
184)

u2 −a2
2a2 u2

a2
2

185)

ln u +



u 2 − a2

u
a

186)



+

187)
188)

1
2a3


u u2 −a2
2

sec−1



a2
2

u
a



ln u +

189)


u 2 − a2

190)
191)

3/2


2
u(u2 −a2 )
2
2
u u2 − a2 du =
+ a u 8u −a
4


4
− a8 ln u + u2 − a2

192)

2

5/2

(u2 −a2 )
u u2 − a2 du =
+
5

3


u2 −a2
du
u

u2 −a2
du
u2

a2 (u2 −a2 )
3


= u2 − a2 − a sec−1

=−


u2 −a2
u

+ ln u +

R



u2 −a2
du
u3


u2 −a2
2u2

=−

193)

3/2

194)
195)

u
a



u 2 − a2

196)
7

1
2a

+

du
(u2 −a2 )3/2

= − a2 √uu2 −a2

udu
(u2 −a2 )3/2

=

R

u2 du
(u2 −a2 )3/2

= − √u2u−a2 + ln u +

R
R
R

R

u3 du

=

(u2 −a2 )3/2

du
u(u2 −a2 )3/2

=

du

R

du
u3 (u2 −a2 )3/2

R

u 2 − a2

R

u u 2 − a2

√−1
u2 −a2

2a2 u2

u(u −a2 )
6

du =

(u

2

2

−a
3

ln u +

)



u 2 − a2



2

3/2

3

= − a1 ln( a+

u3

√du
a2 −u2

=−

2


3 u2 −a2
2

− 32 a sec−1

+

a2
2

sen−1

u
a


− a2 a2 − u 2



a2 −u2
)
u


a2 −u2
2a2 u2




u a2 −u2
2

1
2a3

+

ln( a+

a2
2


a2 −u2
)
u

sen−1

u
a

R √
(a2 −u2 )3/2
u a2 − u2 du = −
3

R

u
a


a2 −u2
a2 u

R√
a2 − u2 du =
R

u
a

a2 − u2 .

3
√u du
a2 −u2

(a2 −u2 )

+

2u2



5/2


− a2 u2 − a2 + a3 sec−1

(u2 −a2 )3/2

R

=−

2

a2 (u2 −a2 )
5

+

(u2 −a2 )3/2


a2 −u2
2

√du
a2 −u2

u
a

3/2

+ 3u u2 −a
u


− 32 a2 ln u + u2 − a2

u2

sec−1

a2 u(u2 −a2 )
24

+

7

= −u

R

a6
16

2 3/2

2
√u du
a2 −u2

R

+

5/2

(u2 −a2 )

√ udu
a2 −u2

√ du
u a2 −u2



2

3
2a5



5

R

R

√3
u2 −a2

(u2 −a2 )

= sen−1 ua

= − a2 − u 2

=

2a4

7/2

du = −

R




a4 u u2 −a2
16

R (u2 −a2 )3/2
√ du
a2 −u2

u2 −a2

2

du = −

R

a4

5/2

du =

R (u2 −a2 )3/2
u3

√u
u2 −a2



− 3a u 8u −a


+ 38 a4 ln u + u2 + a2

du =

u 3 u 2 − a2

u
a

sec−1

3/2

3/2

R

1
a3



u 2 − a2

u(u2 −a2 )
4

du =



u2

1



2 3/2

u2 u2 − a




u2 −a2
a4 u

du =

3/2

R

u

a2

=

3/2

2
√ a
u2 −a2

u 2 − a2 −

=−

u2 (u2 −a2 )3/2

R (u2 −a2 )3/2

√ −1
u2 −a2



u
a

sec−1

R

Integrales con


+ a2 u 2 − a2

u2 −a2
a2 u





3
2



u 2 − a2


u 2 − a2

1
a

+

181)

u2 − a2 .

=

=

3/2

2u2

R √
(u2 −a2 )3/2
u u2 − a2 du =
3

R

173)

3/2

R√
u2 − a2 du =

R

172)

√3
2a4 u2 +a2

(u2 +a2 )5/2

√ udu
u2 −a2

√ du
u u2 −a2

171)

+


+ 38 a4 ln u + u2 + a2

= ln u +

3
√u du
u2 −a2



u(u +a
4

du =

√ du
u2 −a2

2
√u du
u2 −a2

ln
2


2 3/2

√u
u2 +a2



+

Integrales con
158)


u2 +a2
a4 u

3/2


2
4
u(a2 −u2 )
2
2
u2 a2 − u2 du = −
+ a u 8a −u + a8 sen−1
4
5/2

(a2 −u2 )
u3 a2 − u2 du =

5

3

a2 (a2 −u2 ) 2
3

u
a

197)
198)
199)
200)
201)
202)
203)
204)
205)
206)

R

R

R

R
R

R

R
R

R
R


a2 −u2
du
u

a2 −u2
du
u2

=

udu
(a2 −u2 )3/2

=

u du
(a2 −u2 )3/2
u du
(a2 −u2 )3/2

du
u(a2 −u2 )3/2

=

a2

3/2

u 2 a2 − u 2

R

u 3 a2 − u 2

R (a2 −u2 )3/2
u

R (a

)

u3

ln

a4

a+ a2 −u2
u

√u
a2 −u2

+

2a4



√3
a2 −u2



a+ a2 −u2
u

3/2

du =

3/2

(a2 −u2 )7/2
7

+

214)

215)
216)

217)

R

du
au2 +bu+c

R

udu
au2 +bu+c

=

1
2a

=

u
a

R

u2 du
au2 +bu+c

2 3/2

−u
u

)



2 3/2

−u )
2u2

3
2 a ln

a2 (a2 −u2 )
5

228)






3u a2 −u2
2

+ 23 a2 sen−1

R

du
u(au2 +bu+c)

+



a+ a2 −u2
u

=

2

1
2c

ln

au2 +bu+c



u2
au2 +bu+c







b
2c

R

R

1
6a2

udu
u3 +a3

=

1
6a

R

u2 du
u3 +a3

=

1
3

du
u2 (u3 +a3 )

R

231)

R

du
(u3 +a3 )2

R

udu
(u3 +a3 )2

233)

R

u2 du
(u3 +a3 )2

234)

R

235)
236)
237)
8

=

R

du
au2 +bu+c

du
au2 +bu+c

du
u3 +a3

230)

232)

b
2a

ln au + bu + c
R
b2 −2ac
du
2a2

b
2c



du
u(au2 +bu+c)



c
a

= − cu(au21+bu+c) − 3a
c
R
du
− 2b
c
u(au2 +bu+c)2
um−2 du
au2 +bu+c

R

R

b
4ac−b2

2c
4ac−b2

du
au2 +bu+c
du
au2 +bu+c

R

R

du
au2 +bu+c

du
(au2 +bu+c)2

R

R

1
c

um−1
(m−1)a

R

du
u(u3 +a3 )

u
a


3 a2 −u2
2


ln au2 + bu + c −



1
2c(au2 +bu+c)

2a
4ac−b2

+

a(4ac+b2 )(au2 +bu+c)

=

du
un (au2 +bu+c)

R

229)

2
4ac−b2

b
2a2

R

+

(b2 −2ac)u+bc

+

=

du
au2 +bu+c

R

2au+b
(4ac−b2 )(au2 +bu+c)

=

um du
au2 +bu+c

5/2





tan−1 √2au+b
4ac−b2
=



 √ 1
2au+b−√b2 −4ac

ln
b2 −4ac
2au+b+ b2 −4ac


u2 du

(au2 +bu+c)2

R

Integrales con au2 + bu + c.




R

224)

a+ a2 −u2
u

− a3 ln

(a

= − (4ac−b2bu+2c
)(au2 +bu+c) −

du
u2 (au2 +bu+c)2

227)


+ a2 a2 − u 2



3

du = −

udu
(au2 +bu+c)2

R

R

226)

(a2 −u2 )3/2

2

1
cu

=

b2 −2ac
2c2



du
(au2 +bu+c)2

R



b
a

R

um−1 du
au2 +bu+c

R
1
b
du
= − (n−1)cu
n−1 − c
un−1 (au2 +bu+c)
R
− ac un−2 (audu2 +bu+c)

Integrales con u3 + a3 .

5/2

(a



du
(au2 +bu+c)2

+

ln

5

u(a2 −u2 )
a2 u(a2 −u2 )
+
6
24

a4 u a2 −u2
a6
+ 16 sen−1 ua
+
16

2

au2 +bu+c
u2

R

=

223)

225)

(a2 −u2 )5/2

du = −

du =



ln



3/2

2
u(a2 −u2 )
2
2
+ 3a u 8a −u
4
+ 38 a4 sen−1 ua

3/2

du = −

R (a2 −u2 )3/2

3
2a5

du = −

2 3/2

−u
u2

+

−1

2a2 u2 a2 −u2

3/2

R

1
a3





du
u2 (au2 +bu+c)

du
u(au2 +bu+c)2

√ a
a2 −u2

b
2c2

R

R

222)

2




2
2
− aa4−u
u

du =

u
a

− sen−1

√1
a2 −u2



u a2 − u 2

213)

=

du
u3 (a2 −u2 )3/2

2

220)
221)

√ u
a2 −u2

=

R

219)

√ 1
a2 −u2

du
u2 (a2 −u2 )3/2

208)

212)

√u
a2 −u2

218)

− sen−1 ua


2
2
1
+ 2a
ln a+ au −u


= a2 − u 2 +

3

a2 − u 2

211)


a2 −u2
2u2

a2

=

R

210)


a2 −u2
u

=−

du
(a2 −u2 )3/2

2




2
2
a2 − u2 − a ln a+ au −u

=−


a2 −u2
du
u3

207)

209)

=

R
R
R

2

ln u3 + a3
1
3a3

=

ln



1
6a4

u
3a3 (u3 +a3 )

=

2√
3a5 3

1√
3a4 3

+

tan−1

u2
3a3 (u3 +a3 )

=



u3
u3 +a3

= − a31u −

+

+

tan−1

1√
a2 3

1

a 3

tan−1

tan−1

2u−a

a 3

2u−a

a 3


2

2

−au+a
ln u (u+a)

2
1
9a5

1√
a4 3

tan−1

2

ln u2(u+a)
−au+a2

2u−a

a 3
1
18a4

2

2

−au+a
ln u (u+a)
2

2u−a

a 3

= − 3(u31+a3 )

du

=

u(u3 +a3 )2
du
u2 (u3 +a3 )2

=

2

−au+a
ln u (u+a)
+
2

+

um du
u3 +a3

2

ln u2(u+a)
−au+a2 +

1

3a3 (u3 +a3 )

= − a61u −

um−2
m−2

du
un (u3 +a3 )

=

− a3

R

+

1
3a6

ln

u2
3a6 (u3 +a3 )
um−3 du
u3 +a3

−1
a3 (n−1)un−1



1
a3

R



u3

u3 +a3



4
3a6



R

udu
u3 +a3

du
un−3 (u3 +a3 )

2u−a

a 3

Integrales con u3 ± a3 .
238)

239)

240)

241)
242)
243)
244)
245)
246)
247)
248)
249)
250)
251)

R
R
R

du
u4 +a4

u2 du
u4 +a4

=

2


2
√2+a
ln uu2 +au
2
−au 2+a
h



− 2a31√2 tan−1 1 − u a 2 − tan−1 1 +

u3 du
u4 +a4

R

udu
u4 +a4

=

= − a41u − 4a51√2 ln
h

+ 2a51√2 tan−1 1 −

=

du
u(u4 +a4 )

R

du
u3 (u4 +a4 )
du
u4 −a4

R

udu
u4 −a4

R



1√
u2 −au√2+a2
ln
2
2
4a 2
u +au 2+a
h


− 2a1√2 tan−1 1 − u a 2


R

R

=

1+

+

√ i
u 2
a

263)
264)
265)

√ i
u 2
a


u 2
a

=

i 266)
267)
268)
269)

u2
a2

tan−1

270)
2

271)

= − 2a41u2 − 2a16 tan−1 ua2


1
−1 u
= 4a13 ln u−a
u+a − 2a3 tan
a
=

1
4a2

u2 du
u4 −a4

=

1
4a

u3 du
u4 −a4

=

1
4

R

du
u(u4 −a4 )

R

− tan





u2 −au√2+a2
u2 +au 2+a2


u 2
− tan−1 1
a


ln u4 + a4
4
= 4a14 ln u4u+a4
1
2a2

−1



1
4

R

R

262)

1√
2

4a3

du
u2 (u4 +a4 )

R

261)

du
u2 (u4 −a4 )
du
u3 (u4 −a4 )

ln

ln





2

2

u −a
u2 +a2

u−a
u+a





+

1
2a


ln u4 − a4
4 4
= 4a14 ln u u−a
4
=
=

1
a4 u

+

1
2a4 u2

1
4a5

+



ln

1
4a6

ln

252)
253)
254)
255)
256)
257)

258)
259)
260)

R

R

sen(au)du =

275)
276)
u−a
u+a



2



+
2

u −a
u2 +a2

1
2a5

tan−1

u
a

277)



278)
279)

u sen(au)du =
2

u sen(au)du =

2u
a2



3u2
a2

u3 sen(au)du =

R

un sen(au)du = − u

R

sen2 (au)du =

R

R

n

un sen(au)du = − u

n

u
2



u cos(au)
a

sen(au) +

R

R

280)

− cos(au)
a
sen(au)
a2



6
a4

+

nun−1
a2

sen(2au)
4a

R

2

u
a

sen(au)+

cos(au)
a







n
a

n(n−1)
a2

3u
8

2
a3

+

sen3 (au)du = − cos(ax)
+
a
sen4 (au)du =





cos(au)
a



u2
4

u sen(2au)
4a



(au)3
3·3!

R

sen(au)
du
u

= au −

R

sen(au)
du
u2

= − sen(au)
+a
u

R

du
sen(au)

=

1
a

R

udu
sen(au)

=

R

du
sen2 (au)

= − a1 cot(au)

du
sen3 (au)

= − 2acos(au)
sen2 (au) +

R

sen(pu) sen(qu)du =

R

1
a2

R


au +

(au)3
18

(au)5
5·5!

+

− ...

cos(au)
du
u

R

ln [csc(au) − cot(au)] =

7(au)5
1800

+

+ ...+

=

1
a

tan

π
4

+

au
2

udu
1−sen(au)

=

u
a

tan

π
4

+

au
2

R

du
1+sen(au)

= − a1 tan

R

=

− ua


ln tan

sen[(p−q)u]
2(p−q)

du
1−sen(au)

π
4



π
4

1
a

tan



au
2


ln tan

2(22n−1 −1)Bn (au)2n+1
(2n+1)!

1
2a

R

udu
1+sen(au)

cos(2au)
8a2







2
a2



+

au

au
2


+ ...



sen[(p+q)u]
2(p+q)

π
4

ln sen



au
2

2

au
2







π
4

+

au
2

π
4

+

au
2

π
4



ax
2







Integrales con cos(au).

Integrales con sen(au).
R

u sen2 (au)du =

+ a22 ln sen

R
du
1
π
au
1
3
273) (1−sen(au))
2 = 2a tan
4 + 2 + 6a tan
R

1
π
ax
1
dx
3
274) (1+senax)
2 = − 2a tan
4 − 2 − 6a tan
272)

u
a

tan−1

R

R





281)
cos(au)

6u
a3

282)



3

u
a

cos(au)

283)

un−1 cos(au)du

284)
285)

un−2 sen(au)du

+

cos(au)du =

R
R

un cos(au)du =

cos(au)
a2

R

u cos(au)du =

u2 cos(au)du =

2u
a2

R

u3 cos(au)du =



R

un cos(au)du = − u

R

cos2 (au)du =

u
2

R

cos3 (au)du =

sen(au)
a

R

cos4 (au)du =

3u
8

R

u cos2 (au)du =

u sen(au)
a

cos(au) +

3u2
a2



6
a4

un sen(au)
a
n



sen(4au)
32a

=

9

R

1
a2

cos(au)
du
u

+

+



sen(au)
a

n(n−1) R
a2

u2
a



cos(au)+
n
a

+

R



2
a3



sen(au)

u3
a



6u
a3

n

(au)2
2

+

= ln u −

(au)4
8

+



sen(au)

un−1 sen(au)du

nun−1
a2

cos(au)

un−2 cos(au)du

sen(2au)
4a

+

u2
4







sen3 (au)
3a

sen 2(au)
4a

+

+

u sen 2(au)
4a

(au)2
2·2!

sen 4(au)
32a

+
4

cos 2(au)
8a2
6

(au)
+ (au)
4·4! − 6·6! + . . .
R
R
cos(au)
286) cos(au)
− a sen(au)
du
u2 du = −
u
u
R du

287) cos(au)
= a1 ln [sec(au) + tan(au)] = a1 ln tan
R udu
288) cos(au)
=

sen(au)

cos3 (au)
3a

sen(2au)
4a

sen(au)
a

R

5(au)6
144

+ ...+

En (au)2n+2
(2n+2)(2n)!

o
+ ...

π
4

+

au
2



289)
290)
291)
292)
293)
294)
295)
296)
297)

R

du
cos2 (au)

=

tan(au)
a

du
cos3 (au)

=

sen(au)
2a cos2 (au)

R

cos(au) cos(pu)du =

R

317)
+

1
2a

sen[(a−p)u]
2(a−p)

R

du
1−cos(au)

= − a1 cot au
2

R

udu
1−cos(au)

= − ua cot au
2 +

R

du
1+cos(au)

R

udu
1+cos(au)

R

du
(1−cos(au))2

1
= − 2a
cot au
2 −

R

du
(1+cos(au))2

=

=

1
a

tan

=

u
a

tan au
2 +

1
2a

π
4


ln tan

2
a2

+

au
2



318)

sen[(a+pu)]
2(a+p)



319)

320)
321)

ln cos au
2

tan au
2 +

1
6a

1
6a

cot3

tan3

322)

au
2

323)

au
2

324)

Integrales con sen(au) y cos(au).
298)
299)
300)
301)
302)
303)
304)
305)
306)
307)
308)
309)
310)
311)

325)

R

sen(au) cos(au)du =

sen2 (au)
2a

sen(pu) cos(qu)du =

− cos[(p−q)u]
2(p−q)

R

senn (au) cos(au)du =

R



327)

n+1

(au)
cosn (au) sen(au)du = − cos(n+1)a

R

du
sen(au) cos(au)

2

sen (au) cos (au)du =

R

du
sen2 (au) cos(au)

R

R
R

=

du
sen(au) cos2 (au)
du
sen2 (au) cos2 (au)
sen2 (au)
cos(au) du
2

cos (au)
sen(au) du

1
a


= a1 ln tan

328)

+


au
2

329)

au
2

+



1
a sen(au)

330)

1
a cos(au)

331)

= − 2 cot(2au)
a

=

cos(au)
a

R

π
4


= a1 ln tan

=

du
sen(au)±cos(au)



332)


+ a1 ln tan


+ a1 ln tan

=

1

a 2

ln tan

sen(au)du
sen(au)±cos(au)

=

x
2

1
2a

cos(au)du
sen(au)±cos(au)

= ± x2 +



au
2

au
2


au

+


π
4

333)

2

±

π
8

334)



335)

ln [sen(au) ± cos(au)]

336)

Integrales con tan(au).
312)
313)
314)
315)
316)

R

tan (au) du = − a1 ln cos(au) =

R

tan2 (au)du =

tan(au)
a

R

tan3 (au)du =

tan2 (au)
2a

R

tann (au)du =

tann−1 (au)
(n−1)a

R

tann (au) sec2 (au)du =

1
a

337)

ln sec(au)

338)

−u
+

1
a

339)

ln cos(au)



R

du
tan(au)

1
a

R

u tan2 (au)du =

R

=

1
a

ln tan(au)

ln sen(au)
u tan(au)
a

+

1
a2

ln cos(au) −

u2
2

1
a

R

cot(au)du =

R

cot3 (au)du = − cot2a(au) −

R

csc2 (au)
cot(au) du

R

ln sen(au)

−u
cot2 (au)du = − cot(au)
a
2

1
a

ln sen(au)
n+1

R

(au)
cotn (au) csc2 (au)du = − cot(n+1)a

R

du
cot(au)

R

R

= − a1 ln cot(au)

= − a1 ln cos(au)

+
u cot2 (au)du = − u cot(au)
a
n−1

(au)
cotn (au)du = − cot(n−1)a


1
a2

ln sen(au) −

R

cotn−2 (au)du

u2
2

R

sec(au)du =

R

1
a

ln [sec(au) + tan(au)] =

R

sec2 (au)du =

tan(au)
a

sec3 (au)du =

sec(au) tan(au)
2a

R

secn (au) tan(au)du =

R

u sec2 (au)du =

R
R

du
sec(au)

=

+

1
2a

1
a

ln tan

ax
2

+

π
4

ln [sec(au) + tan(au)]

secn (au)
na

sen(au)
a

secn (au)du =

x
a

tan(au) +

1
a2

secn−2 (au) tan(au)
a(n−1)

ln cos(au)
+

n−2
n−1

R

secn−2 (au)du

Integrales con csc(au).

ln [sen(au) ± cos(au)]

1
2a

=

Integrales con sec(au).

sen 4(au)
32a

ln [tan(au)]

− sen(au)
a

R
R

u
8

2

R

R

326)

cos[(p+q)u]
2(p+q)

senn+1 (au)
(n+1)a

R

sec2 (au)
tan(au) du

Integrales con cot(au).

ln sen au
2

au
2
2
a2

R

tann−2 (au) du

340)

tann+1 (au)
(n+1)a

341)
10

1
a

R

csc(au)du =

R

csc3 (au)du = − csc(au)2acot(au) +

R

du
csc(au)

ln [csc(au) − cot(au)] =

R

csc2 (au)du = − cot(au)
a

R

cscn (au) cot(au)du = − cscna(au)

R

u csc2 (au)du = − u cot(au)
+
a

R

1
2a

n

1
a



ln tan au
2

h
i
ln tan (au)
2

= − cos(au)
a

n−2

cscn (au)du = − csc

1
a2

ln [sen(au)]

(au) cot(au)
a(n−1)

+

n−2
n−1

R

cscn−2 (au)du



Integrales de Funciones Trigonom´
etricas Inversas.
342)

R

sen−1 (u/a)du = u sen−1 (u/a) +

u3
3

sen−1 (u/a) +

sen−1 (u/a)
du
u

=

(u/a)3
2·3·3

sen−1 (u/a)
du
u2

= − sen

344)

R

R

345)
346)
347)
348)
349)
350)
351)
352)
353)
354)
355)
356)
357)
358)
359)
360)
361)
362)
363)
364)
365)
366)
367)

R

R
R

R

R

R

R
R

R

R

R
R

R

R

R

R
R



u2 sen−1 (u/a)du =

u sen−1 (u/a)du =

R





R

sen−1


u 2
a

u
a

+

(u/a)
u

du = u sen−1

u cos−1 (u/a)du =
u cos

−1

(u/a)
du
u

cos−1 (u/a)
du
u2

cos−1



(u/a)du =

−1

cos


u 2
a

+

−1

cos−1 (u/a)du = u cos−1

2

a2
4

=

π
2

1
a



a2
4





u3
3

cos−1 ua

ln(u) −
−1

= − cos

(u/a)
u

du = u cos−1

ln

1
2

−1

tan

(u/a)
du
u

−1

tan

(u/a)
du
u2





1
a

+


u 2
a

9

cot−1 (u/a)
du
u
−1

cot

(u/a)
du
u2

=

π
2

= − cot

a2 −u2

ln





a+ a2 −u2
u

a
2

ln u2 + a2

u
a

(u/a)
32

3

+

(u/a)
52


2

a
2

1
2a

5

379)

au
2

ln

(u/a)
72




R

7

+ ...

2


2

u +a
u2

cot−1 (u/a) +
2

+

1
2a

ln

380)



R

um cos−1 (u/a)du =

um+1
m+1

1
cos−1 (u/a)+ m+1

um tan−1 (u/a)du =

um+1
m+1

tan−1 (u/a) −

R

um cot−1 (u/a)du =

um+1
m+1

cot−1 (u/a) +

R

a
m+1
a
m+1

R

R

eau
a



2u
a

u2 −

+

2
a2



m+1
√u
du
a2 −u2
m+1
√u
du
a2 −u2

um+1
u2 +a2 du
um+1
u2 +a2 du

11

R

R

eau
u

R

du
p+qeau

au
1·1!

= ln(u) +

+

−eau
(n−1)un−1

(au)2
2·2!

+

(au)3
3·3!

(−1)n n!
an

+ ···

eau
un−1 du

R

eau
un du

=

u
p



1
ap

R

du
(p+qeau )2

=

u
p2

+

R

du
peau +qe−au

R

eau sen (bu) du =

eau [a sen(bu)−b cos(bu)]
a2 −b2

eau cos (bu) du =

eau [a cos(bu)+bsen(bu)]
a2 +b2

R
R

=

+

a
n−1

R



ln (p + qeau )
1
ap (p+qeau )



1
ap2

ln |p + qeau |

q

p au
tan−1
e
q



=
au

 2a√1−pq ln eau −√−q/p




eau ln udu =

√1
a pq

e

eau ln u
a

1
a



+

−q/p

eau
u du

R

R

ln (u) du = u ln (u) − u
2

2

n

n

R
R

ln2 udu = u ln2 u − 2u ln u + 2u

389)

R

du
u ln u

391)

R





ln u2 − a2 du = u ln u2 − a2 − 2u + a ln u+a
u−a

385)

387)
R

1
a

u−

R

384)

u2 +a
u2

1
sen−1 (u/a)− m+1

u2 eau du =

eau
a

u eau du =

[ln (u)] du = u [ln (u)] − 2u ln (u) + 2u

386)

2

R

R

R

383)

au
2

3

eau du =

Integrales con ln(u).

382)


2

tan−1 (u/a)
du
u

(u/a)
u



381)

ln u2 + a



378)



3

um+1
m+1

R

377)


− 2u − 2 a2 − u2 cos−1

um sen−1 (u/a)du =

R



cot−1 (u/a)+ au6 − a6 ln u2 + a2

ln u −
−1

375)

376)

2

u2 + a
u3
3

373)

sen(u/a)
du
u

cot−1 (u/a)du = u cot−1 (u/a) +

u2 cot−1 (u/a)du =

u
a


u a2 −u2
4



(u2 −2a2 )

= − u1 tan−1 (u/a) −

1
2

372)

tan−1 (u/a)− au6 + a6 ln u2 + a2

= (u/a) −

u cot−1 (u/a)du =

+ ···

374)


u2 + a2 tan−1 (u/a) −

u3
3

u2 tan−1 (u/a)du =

u
a

eau
a

R

R
n au
un eau du = u ae − na un−1 eau du

n−2
au
n−1
= e a un − nua + n(n−1)u
+ .... +
a2
con n = entero positivo

371)



a+ a2 −u2
u



cos−1

tan−1 (u/a)du = u tan−1 (u/a) −
u tan−1 (u/a)du =

a2 −u2

1·3·5(u/a)7
2·4·6·7·7

+

370)


a2 − u 2

u2
2

R

9


− 2u + 2 a2 − u2 sen−1


u 2




(u2 +2a2 )

1·3(u/a)5
2·4·5·5

369)


u a2 −u2
4

sen−1 (u/a) +

a

u
a

368)


a2 − u 2

u2
2

343)

Integrales con eau .

388)

R

[ln (u)] du = u [ln (u)] − n
u ln (u) du =

u2
2

R

um ln udu =

um+1
m+1

ln u
u du

=

R

ln u
u2 du

= − lnuu −

R

lnn udu
u

=

1
2



ln2 u

ln (u) −


1
2

ln u −



R

n−1

[ln (u)]

1
m+1

du



1
u

lnn+1 u
n+1

= ln (ln u)


R
390) ln u2 + a2 du = u ln u2 + a2 − 2u + 2a arctan ua

Integrales con senh(au).
392)
393)
394)
395)
396)
397)
398)
399)
400)
401)
402)
403)
404)
405)

cosh(au)
a

R

senh(au)du =

R

u2 senh(au)du =

R

senh(au)
du
u2

R

senh2 (au)du =

R

du
senh2 (au)

R

u senh(au)du =

R

senh(au)
du
u

R

du
senh(au)

406)

u cosh(au)
a



= au +

u2
a

− senh(au)
a2

+ a23 cosh(au) −

(au)3
3·3!

+

(au)5
5·5!

= − senh(au)
+a
u


= a1 ln tanh au
2

R

u senh(2au)
4a

u senh2 (au)du =

R

senh(au) senh(pu)du =

R

senhn (au)du =

R

du
senhn (au)

407)
2u
a2

senh(au)

408)

+ ...

409)

cosh(au)
du
u

410)
411)

senh(au) cosh(au)
2a

R



u
2

412)

cosh(2au)
8a2





u2
4

413)

= − coth(au)
a

R

um senh(au)du =

R

senh(au)
du
un

5.

Integrales con cosh(au).

=

=

414)
senh[(a+p)u]
2(a+p)

um cosh(au)
a



m
a



R

senh[(a−p)u]
2(a−p)

um−1 cosh(au)du

senhn−1 (au) cosh(au) n−1
− n
an

− senh(au)
(n−1)un−1

+

a
n−1

− cosh(au)
a(n−1) senhn−1 (au)

R



415)

R

416)

senhn−2 (au)du 417)

cosh(au)
un−1 du

418)

n−2
n−1

419)

R

du
senhn−2 (au)

R

cosh(au)du =

senh(au)
a

R

u cosh(au)du =

R
R

u senh(au)
a

R

u2 cosh(au)du = − 2u cosh(au)
+
a2
cosh(au)
du
u

= ln u +

R

cosh(au)
du
u2

= − cosh(au)
+a
u

du
cosh(au)

2
a

R

cosh2 (au)du =

R

du
cosh2 (au)

=

(au)2
2·2!

tan−1 eau

(au)4
4·4!

R

u2
a

+

+

(au)6
6·6!

+

senh(au) cosh(au)
2a

R

u cosh2 (au)du =

u2
4

+

R

cosh(au) cosh(pu)du =

=



senh(au)

+ ...

u senh(2au)
4a

cosh(2au)
8a2



tanh(au)
a

R

um cosh(au)du =

R

cosh(au)
du
un

R

coshn (au)du =

R

du
coshn (au)

=

=

2
a3

senh(au)
du
u

u
2

senh[(a−pu)]
2(a−p)

um senh(au)
a



m
a

+

R

senh[(a+p)u]
2(a+p)

um−1 senh(au)du

coshn−1 (au) senh(au) n−1
+ n
an

− cosh(au)
(n−1)un−1

+

a
n−1

senh(au)
a(n−1) coshn−1 (au)

F (t)

f (s)

F (t)

s
s2 + a2

cos(at)
a

1
(s − b)2 + a2

ebt sen(at)
a

s−b
(s − b)2 + a2

ebt cos(at)

1
s2 − a2

senh(at)
a

s
s2 − a2

cosh(at)

k
s

k

1
s2

t

1
sn

tn−1
(n − 1)!

1
sn

tn−1
Γ(n)

1
s−a

eat

1
(s − a)n

tn−1 eat
(n − 1)!

con n = 0, 1, 2, . . .

1
(s − b)2 − a2

ebt senh(at)
a

1
(s − a)n

tn−1 eat
Γ(n)

con n > 0

s−b
(s − b)2 − a2

ebt cosh(at)

1
(s − a)(s − b)

ebt − eat
b−a

1
+ a2

+



R

+

R

coshn−2 (au)du

senh(au)
un−1 du
n−2
n−1

R

du
coshn−2 (au)

Transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f (s)

s2

cosh(au)
a2



con k = constante

con n = 0, 1, 2, . . .

con n > 0

sen(at)
a

12

con a 6= b

f (s)

F (t)

f (s)
s5
+ a2 )3

F (t)
(8 − a2 t2 ) cos(at) − 7at sen(at)
8

s
(s − a)(s − b)

bebt − aeat
b−a

1
(s2 + a2 )2

sen(at) − at cos(at)
2a3

3s2 − a2
(s2 + a2 )3

t2 sen(at)
2a

s
(s2 + a2 )2

t sen(at)
2a

s3 − 3a2 s
(s2 + a2 )3

1 2
t
2

cos(at)

s2
(s2 + a2 )2

sen(at) + at cos(at)
2a

s4 − 6a2 s + a4
(s2 + a2 )4

1 3
t
6

cos(at)

s3
(s2 + a2 )2

cos(at) − 21 at sen(at)

s3 − a2 s
(s2 + a2 )4

t3 sen(at)
24a

s2 − a2
(s2 + a2 )2

t cos(at)

1
(s2 − a2 )2
s
(s2 − a2 )2

con a 6= b

(s2

1
− a2 )3

(3 + a2 t2 ) senh(at) − 3at cosh(at)
8a5

at cosh(at) − sinh(at)
2a3

(s2

s
− a2 )3

at2 cosh(at) − t senh(at)
8a3

t senh(at)
2a

(s2

s2
− a2 )3

at cosh(at) + (a2 t2 − 1) senh(at)
8a3

(s2

s3
− a2 )3

3t senh(at) + at2 cosh(at)
8a

(s2

s4
− a2 )3

(3 + a2 t2 ) senh(at) + 5at cosh(at)
8a

(s2

s5
− a2 )3

(8 + a2 t2 ) cosh(at) + 7at senh(at)
8

(s2

s2
− a2 )2

senh(at) + at cosh(at)
2a

(s2

s3
− a2 )2

cosh(at) + 12 at senh(at)

s2 + a2
(s2 − a2 )2

(s2

t cosh(at)

(s2

1
+ a2 )3

(3 − a2 t2 ) sen(at) − 3at cos(at)
8a5

3s2 + a2
(s2 − a2 )3

t2 senh(at)
2a

(s2

s
+ a2 )3

t sen(at) − at2 cos(at)
8a3

s3 + 3a2 s
(s2 − a2 )3

1 2
t
2

cosh(at)

(s2

s2
+ a2 )3

(1 + a2 t2 ) sen(at) − at cos(at)
8a3

s4 + 6a2 s + a4
(s2 − a2 )4

1 3
t
6

cosh(at)

(s2

s3
+ a2 )3

3t sen(at) + at2 cos(at)
8a

s3 + a2 s
(s2 − a2 )4

t3 senh(at)
24a

(s2

s4
+ a2 )a3

(3 − a2 t2 ) sen(at) + 5at cos(at)
8a

1
s3 + a3

eat/2
3a2

13



3 sen



3at
− cos
2



3at
+ e−3at/2
2

!

f (s)

F (t)

s
s3 + a3

eat/2
3a

s2
s3 + a3

1
3

1
s3 − a3
s
s3 − a3
s2
3
s − a3
1
s4 + 4a4
s
s4 + 4a4
s2
s4 + 4a4

cos

3at √
+ 3 sen
2



3at
− e−3at/2
2

!

!

3at
−at
at/2
e
+ 2e
cos
2

e−at/2
3a2

e3at/2 − cos



e−at/2
3a

1
3



eat

+

3 sen





2e−at/2 cos

3at
2

!

3at
+ e3at/2
2

!

3at √
− 3 sen
2

3at
− cos
2





s2
s4 − a4


1
senh(at) + sen(at)
2a

s3
− a4

1

s+a+ s+b

1
s s+a


1
sen(at) cosh(at) + cos(at) senh(at)
2a


1
senh(at) − sen(at)
2a3


1
cosh(at) − cos(at)
2a2



sen(at) senh(at)
2a2

1
s4 − a4

s
s4 − a4




1
sen(at)
cosh(at)

cos(at)
senh(at)
4a3

cos(at) cosh(at)

F (t)

s4

!

3at
2

s3
s4 + 4a4

f (s)



1
s(s − a)



1
s−a+b



s2 + a2



14

1

1
s2 − a2


1
cosh(at) + cos(at)
2
e−bt − e−at

2(b − a) πt3

fer at

a

eat fer at

a

eat




1
2
√ − beb t fcer b t
πt

J0 (at)

I0 (at)



A en grados

A en radianes

sen A

cos A

tan A

cot A

sec A

csc A

0◦

0

0

1

0



1



15o

π/12

30o


1 √
6− 2
4

π/6

1
2


1 √
6+ 2
4

45o

π/4

60o

π/3

75o

5π/12

90o

π/2

105o

7π/12

120o

2π/3

1√
3
2

135o

3π/4

1√
2
2

150o

5π/6

1
2

165o

11π/12

180o

π

195o

13π/12

210o

7π/6

225o

5π/4



1√
2
2

240o

4π/3



1√
3
2

255o

17π/12

270o

3π/2

285o

19π/12

300o

5π/3



1√
3
2

315o

7π/4



330o

11π/6

345o

23π/12

360o



2−



3

2+





3

6−

1√
3
2

1√
3
3



1√
2
2

1√
2
2

1

1



1√
3
2

1
2



1√
3
3

2


1 √
6+ 2
4


1 √
6− 2
4

1

0


1 √
6+ 2
4


1 √
6− 2
4




1 √
6− 2
4




1
2


1 √
6+ 2
4
−1




1 √
6+ 2
4


3


− 3



1√
2
2

−1



1√
3
2




1 √
6+ 2
4

− 2−

1√
3
3

2−


3



3

− 2−




3


3







6+


3







6−





6−

1√
3
2

1√
3
3





1√
2
2

1

1


− 2

1
2



1√
3
3

−2


1 √
6− 2
4
0

2+



3

2−

− 2+


3

1√
2
2

1√
2
2

−1

1
2

1√
3
2




1 √
6− 2
4


1 √
6+ 2
4

− 2−

1

15

3





− 2−



3


3



1√
3
3



6−



6+




3


2



∓∞

1



2

±∞

2





6+


2

−2

− 2



2







2








2√
3
3
6−


2

−1
6−


2

2√
3
3


− 2

2

6−

2

2

6+

2√
3
3




2

2√
3
3

6+

2

2√
3
3

2


− 3
− 2+


2

∓∞

−1

1√
3
3

0





0

±∞


1 √
6− 2
4

3



1

−1
3

2

2

6−

2√
3
3



3



2


− 2




2√
3
3

−2


− 3

2+



±∞

1√
3
3

− 2+

6+
2

2

6+

±∞


− 3

0



−1

0


1 √
6+ 2
4




2−



2

2√
3
3

3

0

1
2




− 2+

−1


3

1
2

0




±∞


1 √
6− 2
4




2+

3



−2
2





6+

∓∞


2

Definici´
on 1. Ecuaci´
on en Variables Separadas.
Consideremos la ecuaci´on con forma est´andar:
M (x)dx + N (y)dy = 0

(1)

La soluci´on se obtiene integrando directamente:
Z

Z

M (x)dx +

N (y)dy = C

Definici´
on 2. Ecuaci´
on en Variables Separables.
Las siguientes dos ecuaciones, son ecuaciones en variables separables.

M1 (x)N1 (y)dx + M2 (x)N2 (y)dy = 0

dy
= f (x)g(y)
dx

(2)

(3)

Para determinar la soluci´on de la Ec.(2), se divide
la ecuaci´on entre: M2 (x)N1 (y), para reducirla a la
ecuaci´on en variables separadas:

La soluci´on de la Ec.(3), se obtiene al dividir entre
g(y) y multiplicar por dx, para reducirla a la ecuaci´on en variables separadas:

M1 (x)
N2 (y)
dx +
dy = 0
M2 (x)
N1 (y)

1
dy = f (x)dx
g(y)
ahora s´olo se integra directamente:
Z
Z
1
dy = f (x)dx + C
g(y)

ahora s´olo se integra directamente:
Z
Z
N2 (y)
M1 (x)
dx +
dy = C
M2 (x)
N1 (y)
Definici´
on 3. Ecuaci´
on Lineal.
La ecuaci´on lineal tiene la forma general:

a(x)y ′ + b(x)y = g(x)

(4)

a(x), se llama coeficiente principal. La Ec.(4) se tiene que dividir entre a(x) para obtener la forma est´
andar:
y ′ + P (x)y = Q(x)

(5)

´ n es:
La Ec.(5) tiene a 1 como coeficiente principal y a partir de aqu´ı se obtiene la soluci´on de la Ec.(4), La solucio
Z R

R
− P (x)dx
P (x)dx
y(x) = e
e
Q(x)dx + C
Si Q(x) = 0, la soluci´on es:
y(x) = Ce
R

El termino e

P (x)dx



R

P (x)dx

se llama Factor Integrante de la ecuaci´on.

Definici´
on 4. Ecuaci´
on de Bernoulli.
Tiene la forma:
y ′ + P (x)y = Q(x)y n

(6)

con n 6= 0 y n 6= 1, n puede ser positivo o negativo. Con el cambio de variable z = y −n+1 , la ecuaci´on de Bernoulli se reduce a
la ecuaci´on lineal:
z ′ + (−n + 1)P (x)z = (−n + 1)Q(x)
´ n de la Ec.(6) de Bernoulli es:
al resolver la Ec.(7), se obtiene que la solucio


Z R
R
− (−n+1)P (x)dx
(−n+1)P (x)dx
−n+1
y
=e
(−n + 1) e
Q(x)dx + C
16

(7)

Definici´
on 5. Ecuaciones Exactas o en Diferenciales Totales.
Consideramos la ecuaci´on:
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0

(8)

donde se cumple: My = Nx . La soluci´on se obtiene de calcular:
R
R
i) u = M (x, y)dx,
iii) v = [N (x, y) − uy ]dy
ii)

calculamos: uy

iv)

La soluci´
on general impl´ıcita es: u + v = C

Definici´
on 6. Factor Integrante.
Consideremos la ecuaci´on:
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0

(9)

donde My 6= Nx . Para determinar la soluci´on de esta ecuaci´on, se tiene que reducir a una ecuaci´on exacta; as´ı que
debe calcular uno de los dos posibles factores integrantes:
R My −Nx
R Nx −My
dx
dy
N
M

1) µ(x) = e

primero se

2) µ(y) = e

segundo se multiplica la Ec.(9) por el factor integrante que exista y se obtiene la ecuaci´on exacta:
µM (x, y)dx + µN (x, y)dy = 0

(10)

la soluci´
on de la Ec.(10), que ya se sabe resolver, es la soluci´on de la Ec.(9).
Definici´
on 7. Funci´
on Homog´
enea.
Se dice que una funci´
on f (x, y) es una “funci´
on homog´enea de grado n” respecto a las variables x e y, si para cualquier valor
real λ se cumple la propiedad:
f (xλ, yλ) = λn f (x, y)
donde n ∈ R. En particular, cuando n = 0 se tiene una funci´
on homog´enea de grado cero, se cumple que:
f (xλ, yλ) = f (x, y)
Definici´
on 8. Ecuaciones Homog´
eneas de Grado Cero.
Consideremos las ecuaciones:
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
dy
= f (x, y)
dx

(11)
(12)

Se dice que la Ec.(11) es homog´enea de grado cero, si tanto M (x, y) y N (x, y) son funciones homog´eneas del mismo grado.
La Ec.(12) ser´a homog´enea si f (x, y) es una funci´on homog´enea de grado cero. Las Ecs.(11) y (12) se transforman en ecuaciones
en variables separadas al utilizar los cambios de variables: u = xy y v = xy .
Si N es algebraicamente m´
as sencilla que M , se elige u = xy .
Si M es algebraicamente m´
as sencilla que N , se elige v = xy .
A) Con el cambio de variable u = yx .

La Ec.(11) se reduce a la ecuaci´on en variables separadas:
dx
N (1, u)
+
du = 0
x
M (1, u) + uN (1, u)

la cual se integra directamente

la soluci´on de la Ec.(11) se obtiene al sustituir nuevamente u por

La Ec.(12) se reduce a la ecuaci´on en variables separadas:
du
dx
=
f (1, u) − u
x

y
x

la cual se integra directamente

la soluci´on de la Ec.(12) se obtiene al sustituir nuevamente u por

17

y
x

R dx R
N (1, u)
+
du = C
x
M (1, u) + uN (1, u)

en el resultado de la integral.

R

R dx
du
=
+C
f (1, u) − u
x

en el resultado de la integral.

B) Con el cambio de variable v = xy .

La Ec.(11) se reduce a la ecuaci´on en variables separadas:
dy
M (v, 1)
+
dv = 0
y
N (v, 1) + vM (v, 1)

la cual se integra directamente

la soluci´on de la Ec.(11) se obtiene al sustituir nuevamente v por

La Ec.(12) se reduce a la ecuaci´on en variables separadas:
dv
1
f (v,1)

−v

=

dy
y

x
y

la cual se integra directamente

la soluci´on de la Ec.(12) se obtiene al sustituir nuevamente v por

x
y

R dy R
M (v, 1)
+
dv = C
y
N (v, 1) + vM (v, 1)

en el resultado de la integral.

R

dv
1
f (v,1)

−v

=

R dy
+C
y

en el resultado de la integral.

I. Wronskiano.

W [y1 , y2 , . . . , yn ] =

y1

y2



y1



y2

′′

′′

yn

···



yn

Primera derivada de las funciones.

′′

Segunda derivada de las funciones.
..
.

y1

y2

···

yn

..
.

..
.

..
.

..
.

(n−1)

y1

(n−1)

y2

Rengl´
on de las funciones.

···

···

(n−1)

yn

Derivada de orden n − 1 de las funciones.

• Si el W [y1 , y2 , . . . , yn ] = 0, entonces, el conjunto de funciones {y1 , y2 , . . . , yn } es linealmente dependiente (LD).
• Si el W [y1 , y2 , . . . , yn ] 6= 0, entonces, el conjunto de funciones {y1 , y2 , . . . , yn } es linealmente independiente (LI).
´lculo de yh (x). Ecuaci´
(1) Ca
on Auxiliar.
Primero. Dada la ecuaci´on:
an y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a2 y ′′ + a1 y ′ + a0 y = g(x)

(13)

establecer la ecuaci´on homog´enea asociada:
an y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a2 y ′′ + a1 y ′ + a0 y = 0

(14)

Segundo. Establecer la ecuaci´on auxiliar :
an mn + an−1 mn−1 + · · · + a2 m2 + a1 m + a0 = 0

(15)

la Ec.(15) es un polinomio de grado n, en la variable m. Al resolver este polinomio se pueden tener:
⋆ ra´ıces reales y diferentes
⋆ ra´ıces reales repetidas

⋆ ra´ıces conjugadas complejas, y
⋆ ra´ıces conjugadas complejas repetidas

Por esta raz´on yh (x) consta de cuatro partes: yh (x) = y1 (x) + y2 (x) + y3 (x) + y4 (x), ¡¡ no necesariamente existen los
cuatro casos !!
Caso i. Ra´ıces Reales y Diferentes, y1 (x).
Sean m1 , m2 , m3 , . . . las ra´ıces reales y diferentes de (15), entonces, una parte de yh (x) se escribe como:
y1 (x) = C1 em1 x + C2 em2 x + C3 em3 x + · · ·

(16)

Caso ii. Ra´ıces Reales Repetidas, y2 (x).
Sean m = m1 = m2 = m3 = m4 · · · las ra´ıces reales repetidas de (15), entonces, otra parte de yh (x) se escribe como:
y2 (x) = C1 emx + C2 xemx + C3 x2 emx + C4 x3 emx + · · ·

18

(17)

Caso iii. Ra´ıces Conjugadas Complejas, y3 (x).
Sean m1 = α1 ± β1 i, m2 = α2 ± β2 i, m3 = α3 ± β3 i, . . . las ra´ıces complejas conjugadas de (15), entonces, otra parte
de yh (x) se escribe como:


y3 (x) = eα1 x C1 cos(β1 x) + C2 sen(β1 x) +



eα2 x C3 cos(β2 x) + C4 sen(β2 x) +

Nota: Obs´ervese que se toma el valor positivo de β en todos las casos.



eα3 x C5 cos(β3 x) + C6 sen(β3 x) + · · · (18)

Caso iv. Ra´ıces Conjugadas Complejas Repetidas, y4 (x).
Sean m1 = α ± βi = m2 = α ± βi = m3 = α ± βi = · · · las ra´ıces conjugadas complejas repetidas de (15), entonces,
otra parte de yh (x) se escribe como:


y4 (x) = eαx C1 cos(βx) + C2 sen(βx) +



xeαx C3 cos(βx) + C4 sen(βx) +

Nota: Obs´ervese que se toma el valor positivo de β en todos las casos.



x2 eαx C5 cos(βx) + C6 sen(βx) + · · · (19)

• Conjunto Fundamental de Soluciones (CFS). Sean y1 , y2 , . . . , yn , n soluciones LI de la Ec.(14). Entonces el
conjunto {y1 , y2 , . . . , yn } se llama Conjunto Fundamental de Soluciones para la Ec.(14).
´lculo de soluciones particulares yp (x) para la Ec.(13).
(2) Ca

Primer M´
etodo:Coeficientes Indeterminados.
La soluci´on yp (x) depende de la forma que tiene g(x). Por esta raz´on se utiliza la siguiente tabla:
entonces yp (x) se propone como

si g(x) es
k − cte
an

xn

+ an−1

A
xn−1

+ · · · + a2

x2

+ a1 x + a0

An xn + An−1 xn−1 + · · · + A2 x2 + A1 x + A0

cos(ax)

A cos(ax) + B sen(ax)

sen(ax)

A cos(ax) + B sen(ax)

eax

Aeax

Si g(x) es una multiplicaci´
on de las anteriores formas, yp (x) se propone como una multiplicaci´
on de las
respectivas yp (x).

Una vez propuesta yp (x), se debe calcular la soluci´on general homog´enea yh (x) y verificar que los t´erminos de yp (x) no
aparezcan en yh (x); pero si alg´
un t´ermino de yp (x) aparecen en yh (x), entonces, se deber´a multiplicar dicho t´ermino
por x o x2 o x3 . . . o por alguna potencia xn , hasta que dicho t´ermino de la soluci´on particular yp (x) no aparezcan
en la soluci´on yh (x). Despu´es yp (x) debe derivarse seg´
un las derivadas que aparecen en la Ec.(13); ya calculadas las
derivadas, se sustituyen en la Ec.(13) para comparar coeficientes y determinar sus respectivos valores.

Segundo M´
etodo:Variaci´on de Par´ametros.
Cuando el t´ermino independiente g(x) no tiene la forma de alguno de los de la tabla de coeficientes indeterminados,
es cuando se utiliza variaci´
on de par´
ametros.
Se debe determinar el conjunto fundamental de soluciones (CFS) de la ecuaci´on homog´enea asociada (14). En general,
una manera de determinar un CFS para la Ec.(14), es a partir de la soluci´on general homog´enea yh (x) = C1 y1 (x) +
C2 y2 (x) + C3 y3 (x) + · · · + Ck yk (x), el CFS es:
{y1 (x), y2 (x), y3 (x), . . . , yk (x)}

Primero.S´olo se trabajar´a con EDO-LOS de segundo y tercer orden. Entonces se deben determinar los conjuntos
fundamentales de soluciones {y1 (x), y2 (x)} o { y1 (x), y2 (x), y3 (x) }, seg´
un se trate de una EDO de segundo o tercer
orden respectivamente.

19

Segundo.
Caso i. Ecuaci´on de segundo orden.
La soluci´on particular tiene la forma:
yp (x) = u1 y1 + u2 y2
donde:
u′1 =

−g(x)y2
,
W [y1 , y2 ]

u1 =

Z

−g(x)y2
dx
W [y1 , y2 ]

u′2 =

g(x)y1
,
W [y1 , y2 ]

u2 =

Z

g(x)y1
dx
W [y1 , y2 ]

Caso ii. Ecuaci´on de tercer orden.
La soluci´on particular tiene la forma:
yp (x) = u1 y1 + u2 y2 + u3 y3
donde:


u′1 =



g(x)[y2 y3 − y3 y2 ]
,
W [y1 , y2 , y3 ]


g(x)[−y1 y3 + y3 y1 ]
,
W [y1 , y2 , y3 ]

u′3

g(x)[y1 y2 − y2 y1 ]
=
,
W [y1 , y2 , y3 ]





Z

g(x)[y2 y3 − y3 y2 ]
dx
W [y1 , y2 , y3 ]

u2 =

Z

g(x)[−y1 y3 + y3 y1 ]
dx
W [y1 , y2 , y3 ]

u3 =

Z

g(x)[y1 y2 − y2 y1 ]
dx
W [y1 , y2 , y3 ]



u′2 =



u1 =











Finalmente la soluci´on general de la Ec.(13) se obtiene de sumar yh (x) y las yp (x) obtenidas por coeficientes indeterminados
y/o por variaci´on de par´ametros.
II. Transformada de Laplace L .
La transformada de Laplace de una funci´on f (t) existe si f (t) es seccionalmente (por tramos) continua en [0, ∞) y es de
orden exponencial.
L {f (t)} =

Z



e−st f (t)dt

0

una vez calculada la integral, representamos por F (s) a L {f (t)}.
Y en general: L {g(t)} = G(s), L {h(t)} = H(s), . . .
Propiedades de la Transformada de Laplace.
• La transformada de Laplace es lineal porque:
L {kf (t)} = kL {f (t)}

L {k1 f (t) + k2 g(t)}

= k1 L {f (t)} + k2 L {g(t)}

donde: k, k1 y k2 son constantes.
• Transformada de una Derivada.
L {y} =


L {y } =
L {y ′′ } =

L {y ′′′ } =
..
.
(n)
L {y } =

Y (s)
sY (s) − y(0)
s2 Y (s) − sy(0) − y ′ (0)

s3 Y (s) − s2 y(0) − sy ′ (0) − y ′′ (0)
sn Y (s) − sn−1 y(0) − sn−2 y ′ (0) − · · · − sy (n−2) (0) − y (n−1) (0)

20

• Primer Teorema de Traslaci´on o de Desplazamiento:
L {eat f (t)} = F (s − a)

Primero identificamos el valor de a y se calcula L {f (t)} = F (s). Segundo se calcula F (s) s=s−a , y as´ı se cumple que
L {eat f (t)} = F (s − a).
• Funci´on Escal´on Unitario de Heaviside, denotada como U (t − a) o H(t − a).

0, 0 ≤ t ≤ a;
H(t − a) = U (t − a) =
1, t ≥ a.

• Funci´on por partes en t´erminos la funci´on escal´on unitario. Sea

f1 (t) 0 ≤ t ≤ a



f2 (t) a ≤ t < b
f (t) =
f3 (t) b ≤ t < c



f4 (t) t ≥ c
entonces:







f (t) = f1 (t)U (t) + f2 (t) − f1 (t) U (t − a) + f3 (t) − f2 (t) U (t − b) + f4 (t) − f3 (t) U (t − c)

• Segundo Teorema de Traslaci´on:




L {f (t)U (t − a)} = e−as L f (t) t=t+a







Primero se identifica el valor de a y f (t). Segundo, se calcula f (t) t=t+a . Tercero se calcula L f (t) t=t+a . Y as´ı se tiene



que L {f (t)U a} = e−as L f (t) t=t+a

III. Transformada Inversa de Laplace L −1 .

Sea F (s) la transformada de Laplace de alguna funci´on f (t). Entonces, se dice que f (t) es la transformada inversa de
Laplace de F (s), y se denota con L −1 {F (s)} = f (t).
• La Transformada Inversa de Laplace es Lineal porque:

L −1 {kF (s)} =
L −1 {k1 F (s) + k2 G(s)} =

kL −1 {F (s)}
k1 L −1 {F (s)} + k2 L −1 {G(s)}

donde: k, k1 y k2 son constantes.
Propiedades de la Transformada Inversa de Laplace.
• Forma Inversa del Primer Teorema de Traslaci´on.
L −1 {F (s − a)} = eat f (t)
• Forma Inversa del Segundo Teorema de Traslaci´on.

L −1 {e−as F (s)} = f (t) t=t−a U a


Primero identificar el valor de a y F (s). Segundo calcular L −1 {F (s)} = f (t). Tercero evaluar f (t) t=t−a y as´ı se tiene que

L −1 {e−as F (s)} = f (t) t=t−a U a.

21


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