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matemýýticas III yobal antologia .pdf



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Temario Matemáticas III
Unidad 1: vectores.
1.1: Definición de vector en R2 y R3 y su generalización
1.2: Operaciones con vectores
1.3: Producto escalar u vectorial
1.4: Triple producto escalar
1.5: Ecuaciones en rectas y planos
1.6: Aplicaciones físicas y geométricas de los productos escalares y
vectoriales
Unidad 2: Curvas planas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares.
2.1: Curvas planas y ecuaciones paramétricas
2.2: Ecuaciones paramétricas de algunas curvas y representación gráfica
2.3: Derivada de una función dada paramétricamente
2.4: Longitud de arco en forma paramétrica
2.5: Coordenadas polares
2.6: Graficas de ecuaciones polares
Unidad 3: Funciones vectoriales de una variable real
3.1: Funciones vectoriales de una variable real
3.2: Límite y continuidad de funciones
3.3: Derivación de funciones vectoriales
3.4: Integración de funciones vectoriales
3.5: Vector tangente y vector normal y binormal
3.6; Curvatura
3.7: Aplicaciones de funciones vectoriales
Unidad 4: Función de varias variables
4.1: Definición de función de dos variables
4.2: Grafica de funciones de dos variables
4.3: Curvas y superficies de nivel
4.4: Límites y continuidad
4.5: Definición de derivadas parciales
4.6: Derivadas parciales de orden superior
4.7: Incrementos diferenciales y regla de cadena

4.8; Derivación implícita
4.9: Coordenadas cilíndricas y esféricas

Unidad 5: integrales múltiples
5.1: Integrales iteradas
5.2: Definición de integral doble, áreas y volúmenes
5.3: Integrales dobles en coordenadas polares
5.4: Aplicaciones de la integral doble
5.5: Definición de integrales triples
5.6: Integral triple en coordenadas cilíndricas y esféricas
5.7: Aplicaciones de la integral triple

Bibliografía

www.monografías.com
www.wikipedia.com
www.itescam.edu.mx

OBJETIVO: QUE EL ALUMNO SEPA DESARROLLAR CUALQUIER TIPO DE
VECTORES Y/O FUNCIONES PARAMETRICAS ASI COMO INTEGRALES QUE
AYUDARAN A EL SIGUIENTE CURSO DE MATEMATICAS.

1. Vectores
Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector
posee una serie de características las cuales son:
Origen: o también denominado punto de aplicación. Es el punto exacto
sobre el que actúa el vector.
Módulo: es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer
el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector,
debemos medir desde su origen hasta su extremo.
Dirección: viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo
contiene.
Sentido: se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del
vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.
Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que
estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de
referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud.
El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de
Coordenadas Cartesianas.

Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas
cartesianas, haremos uso de tres vectores unitarios. Estos vectores unitarios, son
unidimensionales, esto es, tienen módulo 1, son perpendiculares entre sí y
corresponderán a cada uno de los ejes del sistema de referencia.

1.1 Definición de Vectores en R^2 y R^3 y su generalización.

Anteriormente vimos que un vector es un objeto matemático con dirección y
magnitud.

La palabra “vectores” se refiere a los elementos de cualquier R n. En R1 = R
el vector es un punto, que llamamos escalar. En R2 el vector es de la forma (x

y
1, x2)

en R3 el vector es de la forma (x

1, x2, x3).

En R2:
1.- La suma de dos vectores se define por: sean a y b vectores en R 2, entonces
a + b = (a

1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2).

2.- El producto escalar se define por: sea α Є R y a un vector en R 2, entonces
αa = α (a

1, a2) = (α a1, α a2).

Veamos el significado geométrico de la suma de vectores y el producto escalar
en R2.

Observa que si a = (a
(a

1, a2) y b = (b1, b2)

, entonces la suma de los vectores a + b =

). El cual se obtiene trasladando la representación de los
1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2

vectores a y b. De manera, que se puede obtener a + b dibujando un
paralelogramo. A esta regla de suma se le llama la regla del paralelogramo.

Para el producto escalar αa, se puede observar que si α > 0 se alarga o se
acorta el vector a por un factor α. Si α < 0 se invierte la dirección del vector a.
En R3:

1.- La suma de vectores se define por: sean a, b Є R3, entonces a + b = (a

1, a2, a3)

).
+ (b1, b2, b3) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3

2.- El producto escalar se define por: sea α Є R y a un vector en R 3, entonces
αa = α (a

1, a2, a3) = (α a1, α a2, αa3).

Definición: Sean a y b vectores en Rn, tal que a = (a

El
1, a2, a3,…, an) y b = (b1, b2, b3,…, bn).

producto interno de a y b representado por a ∙ b o <a, b>, es el escalar que se
obtiene multiplicando los componentes correspondientes de los vectores y
sumando luego los productos resultantes, esto es:
A ∙ b = <a ∙ b> = (a

1 · b1 + a2 · b2 + a3 · b3 + … + an · bn).

Los vectores a y b se llaman ortogonales si su producto interno es igual a
cero.

1.2 Operaciones con vectores

S um a de ve c tor e s : Para sumar dos vectores libres u y u se escogen
como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con
el extremo origen del otro vector.

R e g l a d e l p a r a l e l o g r a m o : Se toman como representantes dos vectores

con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un
paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.

P ar a s um ar dos ve c t or es se s um a n s us re s pe c ti va s
c om pone nte s .

u=u1 , u2

v= v1 , v2

v+v=( u1+ v1 , u2+ v2)

Resta de vectores

P ar a re s tar dos ve c t or es li br es u y v s e s um a u c on e l

opue s to de v .
La s c om pone nte s de l ve c t or r es ta s e obt ie ne n re s ta ndo la s
c om pone nte s de los ve c t or es .

u= ( u1 , u2) v=( v2 , v2 )

v-v=( u1- v1 , u2- v2)

EJEMPLO:

u=-2 , 5

u=3 , -1

v+v=-2+3 , 5-1=(1 , 4)

v-v=-2-3 , 5--1=(-5 , 6)

Producto de un número por un vector

El producto de un número k por un vector u es otro vector:

1.- De igua l dir e c c ión que el vector u

2.- Del m ism o se nt ido que el vector u s i k e s pos it i vo .

3.-De se nti do c ontr ar i o del vector u s i k es ne ga ti vo .

4.- De m ódu lo k . u

La s
co mp o ne n te s
de l
ve c to r
re sul ta n te
m u l ti p li ca n do po r K la s co mp o ne n te s de l ve c to r.

se

ob ti e n en

u=(u1 , u2)

k . ( u1 , u2) = ( k .

u1 , k . u2)

1.3 Producto Escalar y Vectorial
Producto escalar
El producto interior o producto escalar de dos vectores a y b en el
espacio tridimensional
a · b = |a| |b| cos γ

cuando a ≠ 0, b ≠ 0

a·b=0

cuando a = 0 o b = 0

Aquí γ (0 ≤ γ ≤ ∏) es el ángulo entre a y b (calculado cuando los vectores
tienen sus puntos iniciales coincidentes).

El valor del producto interior (escalar) es un escalar (un número real) y esto motiva

el término producto escalar. El coseno del ángulo γ puede ser positivo, cero o negativo, lo
mismo se aplica al producto interior.

Observamos que el coseno es cero cuando γ = 0.5 ∏ = 90°.

Teorema de Ortogonalidad.
Dos vectores diferentes de cero son ortogonales sí, y sólo si, su producto
interior (escalar) es cero.
Se tienen las siguientes propiedades:

a= a . a

a ≥0

cosγ= a . ba b= a . b a . a b . b

q1 a+q2b . c=q1a . c+ q2b . c

a . b=b . a

Linealidad

Simetría

a . a=0

Solo si a=0

a . a ≥0

Ser positivo definido

a+b . c=a . c+b . c

Distributiva

a . b≤ a b

Desigualdad de Schwarz

a+b≤ a+b

Desigualdad del triángulo

a+b2+ a-b2= 2(a2+ b2)

Igualdad del paralelogramo

Si los vectores a y b se representan en términos de sus componentes;

a= a1i+a2j+ a3k

b= b1i+ b2j+ b3k

Su producto interior está por la siguiente fórmula:

a . b= a1b1+a2b2+a3b3

Proyección
Consideremos dos vectores a y b diferentes de cero, denotando por el

γ ángulo entre ellos, el número real:

p = |a| cos γ
Se llama componente de a en la dirección de b o proyección de a en la dirección

de b. Si a = 0, entonces γ no está definido y se hace p=0.

|p| Es la longitud de la proyección ortogonal de la a sobre una recta 1 en la
dirección de b, p puede ser positiva, cero o negativa.

Producto Vectorial

Varias aplicaciones sugieren la introducción de otro tipo de multiplicación vectorial
en la que el producto de dos vectores sea nuevamente un vector. Este producto vectorial
de los dos vectores a y b se escribe

axb

Y es un vector definido como sigue.
Si a y b tienen la misma dirección,
son opuestos o uno de ellos es el vector
cero, entonces su producto vectorial es

cero (v=0). En cualquier otro caso, v es
el vector cuya longitud es igual al área
del paralelogramo con a y b como lados
adyacentes y cuya dirección es
perpendicular tanto a a como a b y es
tal que a, b, v, en ese orden, forman
una terna derecha o triada derecha.
El término derecho se debe al hecho de
que los vectores a, b, v, en ese orden,
toman la misma orientación que los dedos
pulgar, índice y medio de la mano derecha
cuando se colocan como se muestra en la
figura de al lado. También puede decirse
que si a se gira hacia la dirección de b,

describiendo el ángulo a < P , entonces v
avanza en la misma dirección que un
tornillo de rosca derecha, si este se gira
en el mismo sentido.
El paralelogramo donde a y b son los

lados adyacentes tiene el área |a| |b| sin γ
. Se obtiene

|v| = |a| |b| sen g

El

producto

vectorial

es

anticonmutativo, si a x b = v y b x a = w

Entonces |v| = |w| y para que b, a, w
formen

una

terna

derecha

debe

cumplirse que w = -v. De lo anterior se

obtiene

b x a = - (a x b).

La multiplicación vectorial de
vectores no es conmutativa, sino
anticonmutativa.

1.4 TRIPLE PRODUCTO ESCALAR
Los triples productos aparecen cuando se desea definir multiplicaciones entre tres

vectores. Una expresión de la forma u+ v= w no tiene mucho sentido porque el
resultado del primer producto es un escalar.

u . v. w=r . w

Y no es posible calcular el producto punto entre un número (escalar) y un

vector. Sin embargo, cuando los vectores son elementos de R3, podemos
combinar el producto punto con el producto cruz para definir una nueva operación
entre tres vectores que se denomina triple producto escalar pues el resultado será
una cantidad escalar. Es importante indicar escalar para diferenciarlo del triple
producto vectorial que se obtiene al multiplicar tres vectores usando únicamente el
producto cruz y cuyo resultado es, por tanto un vector.

El triple producto escalar de los vectores u , v , w se denota por u , v , w y está

definido como:

u , v , w= u . v x w
Cálculo del triple producto escalar

Para hallar una fórmula que permita calcular el valor del triple producto
escalar a partir de las coordenadas de los vectores procedemos a realizar la
sustitución del producto cruz:

u , v , w= u . v x w

= u. i

j

kv1 v2 v3w1 w2 w3

=u . v2 v3w2 w3 i- v1 v3 w1 w3j+v1 v2w1 w2k

=v2 v3w2 w3u1-v1 v3 w1 w3u2+v1 v2w1 w2 u3

En donde hemos usado que:

u . i= u1 u . j= u2 u . k= u3
Sin embargo, la última expresión obtenida es precisamente el desarrollo de un
determinante, esto es:

1.5 ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS

Para determinar un plano se necesitan un punto P

o(xo ,yo ,zo)

y un vector N(A, B, C)

normal al plano. La ecuación del plano viene entonces dada por la relación:

A(x - x

o) + B(y - yo) + C(z - zo) = 0

Donde D = -A.x

A.x + B.y + C.z + D = 0 (1)

o - B.yo - C.zo

Se pueden considerar varios casos particulares según que uno o dos de los
coeficientes de la ecuación (1) sean nulos.

a) Plano paralelo al eje OX. Se tiene A = 0 y la ecuación toma la forma:

B.y + C.z + D = 0
Siendo el vector director normal al plano
de la forma:

b) Plano paralelo al eje OY. Se tiene B = 0 y la ecuación general toma la
forma:

A.x + C.z + D = 0
Siendo el vector director normal al plano
de la forma:

c) Plano paralelo al eje OZ. Se tiene C = 0 y la ecuación general toma la
forma:

A.x + B.y + D = 0
Siendo el vector director normal al plano de
la forma:

d) Plano que pasa por el origen. Se tiene D = 0 y la ecuación general toma
la forma:
A.x + B.y + C.z = 0

e) Plano perpendicular al eje OZ. Se tiene en este caso A = 0, B = 0 y la
ecuación general toma la forma:

C.z+D=0;z=Cte
Esta ecuación puede considerarse
también como la correspondiente a un
plano paralelo al plano XOY.

f) Plano perpendicular al eje OY o, lo que es igual, paralelo al plano XOZ.
Se tiene en este caso A = 0, C = 0 y la ecuación general toma la forma:

B.y + D = 0 ; y = Cte.

g) Plano perpendicular al eje OX o, lo que es igual, paralelo al plano YOZ.
Se tiene en este caso B = 0, C = 0 y la ecuación general toma la forma:

A.x + D = 0 ; x = Cte.

Plano que pasa por dos puntos.- Siendo P

tres puntos no consecutivos

o , P1 y P2

pertenecientes a un plano, podemos considerar un punto genérico P de dicho
plano y determinar entonces tres vectores dados por las siguientes coordenadas:

Como sabemos que la condición necesaria y suficiente para que tres
vectores sean coplanarios, es que su producto mixto sea nulo, podemos hacer:

Como caso particular de esta ecuación se puede calcular la ecuación segmentaria
del plano. Se trata de saber la ecuación del plano que corta a los ejes de
coordenadas en los puntos:

x = a ; y = b ; z = c.

Según lo anterior se tiene:

P

o = (a,0,0) ; P1 = (0,b,0) ; P2 = (0,0,c) ; P = (x,y,z)

Y la ecuación segmentaria del plano quedará en la forma:

y desarrollando el determinante:
b.c.x + a.c.y + a.b.z = a.b.c
o, lo que es igual :

Ecuación normal del plano: Conocidos los cosenos directores de un
vector perpendicular al plano y siendo d la distancia del plano al origen de
coordenadas, la ecuación del plano toma la forma:

Posiciones relativas de dos planos: Siendo los planos
ecuaciones:

de

El ángulo que en general forman dichos planos viene dado por la ecuación:

Cuando los planos son paralelos, los vectores directores son linealmente
dependientes y, por lo tanto, uno de ellos se puede poner como combinación lineal
del otro. Esto se expresa en la forma:

Cuando los planos son perpendiculares, se tiene
toma la forma:

y la ecuación (2)

o lo que es igual:
A

1.A2 + B1.B2 + C1.C2 = 0

Ecuación general de la recta.- Conociendo un punto de una recta y su
vector director, la ecuación que la determina toma la forma:

Si consideramos la recta en el espacio, la ecuación que la determina es:

Cuando se conocen dos puntos de la recta, la ecuación viene dada en la
forma:

A partir de la ecuación (3) podemos obtener la ecuación de la recta en
forma paramétrica. Haciendo la relación de proporcionalidad igual a t, nos queda:

Una recta puede venir determinada por la intersección de dos planos:

Condición de paralelismo y perpendicularidad entre rectas.- El ángulo
formado por dos rectas es el mismo que el formado por sus vectores directores y
viene dado, como en el caso de los planos, por la ecuación:

Cuando dos rectas son paralelas sus vectores directores son linealmente
dependientes y, por tanto, son proporcionales. La condición de paralelismo entre
rectas será, por tanto:

Cuando dos rectas son perpendiculares, sus cosenos directores tienen
producto escalar nulo, lo que se traduce por la ecuación:
a

1.a2 + b1.b2 + c1.c2 = 0

Condición de paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos.Siendo, respectivamente:

Los vectores directores de una recta y un plano, sabemos que el vector
director de la recta lleva la misma dirección que esta y que el vector director del
plano es perpendicular al plano. Las condiciones de perpendicularidad o
paralelismo entre ellos será, por tanto:

Paralelismo : A.a + B.b + C.c = 0

Perpendicularidad:

1.6 APLICACIONES FISICAS Y GEOMETRICAS DE LOS PRODUCTOS
ESCALARES Y VECTORIALES
Aplicación: ángulo entre dos vectores (producto escalar): El producto
escalar de dos vectores es por definición un escalar.
a . b= a.b .cosα
Propiedades:
a·b=b·a

p · (q + r) = p · q + p · r
Podemos usar ahora el producto escalar para encontrar el ángulo de los
vectores a y b:
a . b= a.b .cosα
Con lo que deducimos que:
cosa,b= a . ba.b= axbx+ayby+azbzax2+ay2+az2+ bx2+by2+cz2
El coseno dará siempre entre 0 y 1
El producto escalar varía como máximo entre él a.b y 0
El coseno nos dice si los vectores son paralelos o perpendiculares
Si coseno de a y b = 0 vectores perpendiculares.
Si coseno de a y b <> 0 vectores perpendiculares.

En este caso, a · b = 0, podemos sacar como conclusión que a 0 ó b= 0, o
bien que a y b son mutuamente perpendiculares.

Módulo de un Vector
Un vector no solo nos da una dirección y un sentido, sino también una magnitud, a esa
magnitud se le denomina módulo.
Gráficamente: es la distancia que existe entre su origen y su extremo, y se representa por:

Coordenadas cartesianas: En muchas ocasiones es conveniente tomar las componentes
sobre tres direcciones mutuamente perpendiculares OX, OY y OZ que forman un sistema
cartesiano tridimensional.
Si tomamos tres vectores unitarios, i sobre OX, j sobre OY y k sobre OZ, entonces
podemos encontrar puntos ax, ay, az sobre OX, OY, OZ, respectivamente, tales que:

y aplicando el teorema de Pitágoras nos encontramos con que el módulo de a es:

Aplicación: coordenadas intrínsecas y cosenos directores

|a| = modulo del vector
ua = vector unitario de a
Las proyecciones de a sobre los ejes x, y, z, respectivamente, equivalen a:

Si aplicamos la formula (Basada en el teorema de Pitágoras):

Entonces:

de donde se deduce que:

Se debe hacer notar que la proyección de a en una dirección cualquiera (por ejemplo: ax)
es un escalar, mientras que su componente en la misma dirección (por ejemplo: ax · i) es
un vector.

Para un vector genérico a, los cosenos de los ángulos , y , que forma con los
semiejes x, y, z, respectivamente, se denominan cosenos directores de a.

Resolver los siguientes reactivos

1) Un niño frena una bicicleta aplicando una fuerza hacia debajo de 50 libras sobre
el pedal cuando la manivela forma un ángulo de 40° con la horizontal. Calcular el
momento respecto de P si la manivela tiene 6 pulgadas de longitud.
A) -19.15 libras.pie
B) -29.15 libras.pie
C) -39.15 libras.pie
D) -49.15 libras.pie
E) -59.15 libras pie

2) Un niño frena una bicicleta aplicando una fuerza hacia debajo de 60 libras sobre
el pedal cuando la manivela forma un ángulo de 40° con la horizontal. Calcular el
momento respecto de P si la manivela tiene 6 pulgadas de longitud.
A) -22.98 libras.pie
B) -39.96 libras.pie
C) -49.56 libras.pie
D) -57.67 libras.pie
E) -67.54 libras pie

3) Un niño frena una bicicleta aplicando una fuerza hacia debajo de 70 libras sobre
el pedal cuando la manivela forma un ángulo de 40° con la horizontal. Calcular el
momento respecto de P si la manivela tiene 6 pulgadas de longitud.
A) -26.81 libras.pie
B) -35.56 libras.pie
C) -43.97 libras.pie

D) -56.78 libras.pie
E) -60 libras pie

4) Un niño frena una bicicleta aplicando una fuerza hacia debajo de 80 libras sobre
el pedal cuando la manivela forma un ángulo de 40° con la horizontal. Calcular el
momento respecto de P si la manivela tiene 6 pulgadas de longitud.
A) -30.64 libras.pie
B) -42.78 libras.pie
C) -57.98 libras.pie
D) -69.34 libras.pie
E) -70.26 libras pie
5) Un niño frena una bicicleta aplicando una fuerza hacia debajo de 90 libras
sobre el pedal cuando la manivela forma un ángulo de 40° con la horizontal.
Calcular el momento respecto de P si la manivela tiene 6 pulgadas de longitud.
A) -34.47 libras.pie
B) -46.98 libras.pie
C) -58.32 libras.pie
D) -69.76 libras.pie
E) -78.23 libras pie

2.1 CURVAS PLANAS Y ECUACIONS PARAMÉTRICAS
La primera forma de representar una curva plana es la siguiente.
Supongamos que tenemos la curva en el plano wq. Se toma un segmento
del eje e, que llamaremos [e,r] y, para cada valor de t en ese segmento le
asociamos una coordenada y, u(i). Los puntos así formados se llaman curva en
forma explícita o = p(a).
Este tipo de curvas tiene varias desventajas, siendo la más obvia que para
cada valor de s existe solamente un punto de la curva sobre ese valor. Podemos
imaginar una curva de este tipo como un “levantamiento” del segmento [d,f].
Newton basa su definición y cálculo de la curvatura de una curva plana en
cartesianas en las siguientes afirmaciones:
• Un círculo tiene su radio.
• El “círculo más grande” que es el de más radio
Platón define el centro de este círculo como el punto de intersección de las
rectas normales a la curva en puntos de ella arbitrariamente próximos.
Curvatura de una curva plana: Consideremos una curva plana en
coordenadas cartesianas parametrizada por su longitud de arco s

←(a) = (c(w), y®)
El vector tangente unitario a la curva en un punto genérico P es

d←/ds= (x’(s), y’(s))
Intuitivamente podemos imaginar que la curvatura de la curva mide la
variaci´on de su vector tangente en su traslado a lo largo de ella, lo que conduce a
las siguientes definiciones:
Se llama vector de curvatura en P al vector

2←/ds2 = (x”(s), y”(s))

d

Ecuaciones paramétricas: Las ecuaciones paramétricas de la curva son:

x = 2 cos t
Y = 2 sen t .
Eliminando el parámetro t de las 2 primeras ecuaciones, se ve que los
puntos de la curva están situados en el cilindro circular.

X2 + y2 = 4

Cilindro:

x2+ y2 = 4
Curvas Planas Y Ecuaciones Paramétricas: En una ecuación paramétrica
estudiaremos una situación en la cual es útil introducir una tercera variable para
representar una curva en el plano.
Para ver la utilidad de este procedimiento, considérese la trayectoria de un
objeto lanzado al aire formando un Angulo de 45º. Si la velocidad inicial del objeto
es de 48 pies por segundo, puede verse que sigue la trayectoria parabólica dada
por:

Y = x/72 + x (Ecuación rectangular)
Esta ecuación no nos dice todo. Aunque nos dice donde ha estado el
objeto, no nos manifiesta cuando ha estado el objeto en un punto dado de la
trayectoria ( x , y ). Para determinar este instante, introducimos una tercera variable
visible t, a la que llamaremos parámetro. Rescribiendo ambas, X y Y, como
funciones de t, obtenemos ecuaciones paramétricas.
Si f y g son funciones continuas de t en el intervalo I, entonces el conjunto
de pares ordenados (f(t) , g(t)) se le denomina curva plana C. Las ecuaciones X=
f(t) = g(t) se denominan ecuaciones paramétricas de C, conociéndose a t como
parámetro.

En conclusión podemos decir que cuando se nos pida una ecuación
paramétrica se nos está pidiendo una ecuación para X y una ecuación para Y si
hablamos de un plano bidimensional.
Ecuaciones paramétricas: Si en la ecuación vectorial se sustituyen los
vectores por sus coordenadas, queda así: (x, y) = (p1,p2) +t (d1,d2)
Expresando por separado cada coordenada se obtiene las ecuaciones

paramétricas:

(x , y) son las coordenadas de un punto cualquiera desconocido de la recta
(p1, p2): son las coordenadas de un punto conocido de la recta
(d1, d2): son las coordenadas de un vector paralelo a la recta t parámetro.

Para cada valor que le demos a t se obtiene un punto (x,y) de la recta.

La recta queda determinada por un punto fijo P0 y un vector v = ai + bj +ck,
el conjunto de los puntos P, tales que P0 P es paralelo a v, es decir, que satisfacen
d(P0, P) = t para algún número real t.

Si r = OP y r0 = OP son los vectores de posición de P y P0, respectivamente,
entonces:
P0 P = t^v
P0P = r–r0
r = r0+ t^v (1)

Si escribimos r = (x, y ,z) y r0 = x0, y0. z0 e igualamos los componentes en
(1) tenemos:

x = x0+ at
y = y0+ bt
z = z0+ ct.
Y éstas se denominan ecuaciones paramétricas.

Si despejamos t de las ecuaciones paramétricas obtenemos las ecuaciones
simétricas o estándar:

(X – x0) / a = (y–y0) / b = (z–z0) / c

2.3 DERIVADA DE LA FUNCIÓN DADA PARAMÉTRICAMENTE
El siguiente teorema nos proporciona las condiciones necesarias para obtener la
derivada de una función dada en forma paramétrica.

Sean f y g funciones derivables t1,t2 supongamos que f tiene una inversa derivable
en ese intervalo. ^ ≠x=ft, y= g(t).

Entonces en cada punto donde f‘(+) 0, las ecuaciones implican que existe una
función derivable F tal que Dzy=g´(t)f´(t)= DtyDtx .
Ejemplos:

Determine
Solución:
Por el teorema anterior se tiene que

Luego:
Por lo que

2.4 LONGITUD DE ARCO EN FORMA PARAMÉTRICA
Sabemos que toda curva regular es rectificable, es decir, admite el cálculo
de la longitud de su arco sobre un intervalo real dado.

Siendo, por tanto, la representación paramétrica regular ([a, b], v(u))
rectificable, se puede obtener la longitud de su arco sobre el intervalo de definición
[a, b], por

Teorema: Sea ([a,b], v(u)) un arco regular y uo perteneciente a [a, b]. Si es,
para todo u del intervalo [a,b], se cumple que s(u):[a, b] a [s(a), s(b)] es un cambio
de parámetro admisible de clase r.
En efecto:

a) s(u) es suprayectiva y estrictamente creciente, por tratarse de la integral
de una función positiva.

b) La derivada de s con respecto a u es no nula: al parámetro s(u) le
llamaremos parámetro longitud de arco.

2.5 COORDENADAS POLARES
El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas
bidimensional en el cual cada punto o posición del plano se determina por un
ángulo y una distancia.
De manera más precisa, todo punto del plano corresponde a un par de
coordenadas (r, θ) donde r es la distancia del punto al origen o polo y θ es el
ángulo positivo en sentido anti horario medido desde el eje polar (equivalente al
eje x del sistema cartesiano). La distancia se conoce como la «coordenada radial»
o «radio vector» mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo
polar».
En el caso del origen de coordenadas, el valor de r es cero, pero el valor de
θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por
(0,0º).

Representación de puntos con coordenadas polares: En la figura se
representa un sistema de coordenadas polares en el plano, el centro de referencia
(punto O) y la línea OL sobre la que se miden los ángulos. Para referenciar un
punto se indica la distancia al centro de coordenadas y el ángulo sobre el eje OL.

El punto (3, 60º) indica que está a una distancia de 3 unidades desde O,
medidas con un ángulo de 60º sobre OL.
El punto (4, 210º) indica que está a una distancia de 4 unidades desde O y
un ángulo de 210º sobre OL.

Un aspecto importante del sistema de coordenadas polares, que no está presente
en el sistema de coordenadas cartesianas, es que un único punto del plano puede
representarse con un número infinito de coordenadas diferentes. Se puede decir entonces
que en el sistema de coordenadas polares no hay una función biyectiva entre los puntos
del espacio y las coordenadas. Esto ocurre por dos motivos:

Un punto, definido por un ángulo y una distancia, es el mismo punto que el
indicado por ese mismo ángulo más un número de revoluciones completas y la
misma distancia. En general, el punto (r, θ) se puede representar como (r, θ ±
n×360°) o (-r, θ ± (2n + 1)180°), donde n es un número entero cualquiera.[,]
El centro de coordenadas está definido por una distancia nula,
independientemente de los ángulos que se especifiquen. Normalmente se utilizan
las coordenadas arbitrarias (0, θ) para representar el polo, ya que
independientemente del valor que tome el ángulo θ, un punto con radio 0 se
encuentra siempre en el polo.[5] Estas circunstancias deben tenerse en cuenta
para evitar confusiones en este sistema de coordenadas. Para obtener una única
representación de un punto, se suele limitar r a números no negativos r ≥ 0 y θ al
intervalo [0, 360°) o (-180°, 180°] (en radianes, [0, 2π) o (-π, π]).
Los ángulos en notación polar se expresan normalmente en grados o en radianes,
dependiendo del contexto. Por ejemplo, las aplicaciones de navegación marítima utilizan
las medidas en grados, mientras que algunas aplicaciones físicas (especialmente la
mecánica rotacional) y la mayor parte del cálculo matemático expresan las medidas en
radianes.

2.6 GRAFICA DE ECUACIONES POLARES

La gráfica de una ecuación polar es el conjunto de puntos con al menos un
par de coordenadas polares que satisfagan dicha ecuación, a continuación [se
muestran los tipos de gráficas.

Rosa de cuatro hojas/pétalos
Este tipo de gráfico se conoce
como rosa de cuatro pétalos. Es fácil
ver cómo se forma una figura parecida
a una rosa con cuatro pétalos. La
función para este gráfico es:

Rosa de tres hojas/pétalos
Presentamos ahora el gráfico
llamado
rosa
de
tres
pétalos.
Analógicamente al gráfico de la rosa de
cuatro pétalos, este gráfico es parecido
pero tiene sólo tres hojas o pétalos en
su forma gráfica. Un ejemplo es el
siguiente:

Rosa de ocho hojas/pétalos
El siguiente gráfico es como los dos
anteriores, pero ahora con ocho hojas o
pétalos, tal como lo vemos en la
siguiente función graficada:

Una rosa dentro de otra
Un caso interesante y especial que
se puede dar es el que se muestra en
la gráfica que vemos a continuación,
donde se aprecia una rosa de tres
pétalos precisamente dentro de otra
rosa de tres pétalos u hojas. Veamos:

Cardioides
A continuación se presenta el tipo de
gráfico que se denomina cardioide.
Para este ejemplo se presenta una
cardioide simétrica con respecto al eje
polar y que apunta hacia la derecha.
Podemos observar que se distingue
una figura como de un corazón, razón
por la cual se llama este gráfico
cardioide. la función que lo ha generado
es:

Habiendo visto el primer gráfico de
una cardiode, se presenta otro gráfico
de este tipo pero ahora apunta hacia
arriba, tal como lo vemos a en el gráfico
de la siguiente función:

Limacones o caracoles
El caracol de Pascal, lo descubrió
Etienne Pascal padre de Blaise Pascal
en la primera mitad del siglo XVII y el
nombre se lo dio Roberval en 1650
cuando la usó como ejemplo para
mostrar su método para trazar
tangentes. Un limaçon o las gráficas
polares que generan limaçones son las
funciones en coordenadas polares con
la forma:
r = 1 + b cos

Veamos otro gráfico de una función
que tiene como resultado un caracol
con un lazo interior pero que a
diferencia del gráfico anterior, este
apunta hacia abajo

Continuando con la gráfica de
caracoles o limacones, hay otro tipo
que es el caracol con hendidura o
caracol
con
concavidad.
Como
podremos observar, este no tiene lazo,
y está dirigido hacia la izquierda.
Veamos a continuación el gráfico que
resulta, el cual apunta hacia la
izquierda:

Ahora se muestra un gráfico igual al
anterior con la diferencia que ahora
está dirigido hacia la derecha, de modo
que tenemos un limaçon o caracol con
hendidura o concavidad que está
dirigido hacia la derecha:

Circunferencia
Esta nueva función nos presenta
una forma conocida por todos y es
precisamente la circunferencia, la cual
será formada en el gráfico polar
mediante la siguiente función:

Ahora veamos una nueva gráfica
que resulta en una circunferencia, con
la única diferencia que ahora aparece
arriba del rayo inicial (o del eje x que
todos conocemos), a diferencia del
gráfico anterior, que la circunferencia
aparecía abajo del radio inicial. La
función con su gráfico es esta

Lemniscata
La representación gráfica de esta
ecuación genera una curva similar a .
La curva se ha convertido en el símbolo
del infinito y es ampliamente utilizada
en matemáticas. El símbolo en sí
mismo es, a veces, llamado lemniscata.
Un ejemplo de esta función con su
respectivo gráfico lo apreciamos a
continuación:

Tenemos otro ejemplo de
lemniscata, pero ahora aparece a lo
largo del eje x o en sentido horizontal:


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