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Page 219

CAPÍTULO

5

Fuerzas distribuidas: centroides
y centros de gravedad

En la fotografía se muestra la construcción de un tramo del viaducto Skyway, el cual cruza la bahía que se
encuentra entre San Francisco y Oakland. En este capítulo se introducirá el concepto del centroide de un área;
en cursos posteriores se establecerá la relación existente entre la ubicación del centroide y el comportamiento
de la carretera tendida sobre el viaducto.

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5.1. INTRODUCCIÓN
FUERZAS DISTRIBUIDAS:
CENTROIDES Y CENTROS
DE GRAVEDAD
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9

5.10

5.11
5.12

Introducción
Áreas y líneas
Centro de gravedad de un cuerpo
bidimensional
Centroides de áreas y líneas
Primeros momentos de áreas y
líneas
Placas y alambres compuestos
Determinación de centroides por
integración
Teoremas de Pappus-Guldinus
Cargas distribuidas en vigas
Fuerzas sobre superficies
sumergidas
Volúmenes
Centro de gravedad de un cuerpo
tridimensional. Centroide de un
volumen
Cuerpos compuestos
Determinación de centroides de
volúmenes por integración

Hasta ahora se ha supuesto que la atracción ejercida por la Tierra sobre un cuerpo rígido podía representarse por una sola fuerza W. Esta
fuerza, denominada fuerza de gravedad o peso del cuerpo, debía aplicarse en el centro de gravedad del cuerpo (sección 3.2). De hecho, la
Tierra ejerce una fuerza sobre cada una de las partículas que constituyen al cuerpo. En este sentido, la acción de la Tierra sobre un cuerpo
rígido debe representarse por un gran número de pequeñas fuerzas
distribuidas sobre todo el cuerpo. Sin embargo, en este capítulo se
aprenderá que la totalidad de dichas fuerzas pequeñas puede ser reemplazada por una sola fuerza equivalente W. También se aprenderá cómo determinar el centro de gravedad, esto es, el punto de aplicación
de la resultante W, para cuerpos de varias formas.
En la primera parte del capítulo se describen cuerpos bidimensionales como placas planas y alambres que están contenidos en un plano dado. Se introducen dos conceptos que están muy relacionados con
la determinación del centro de gravedad de una placa o de un alambre: el concepto de centroide de un área o de una línea y el concepto
del primer momento de un área o de una línea con respecto a un eje
dado.
También se aprenderá que el cálculo del área de una superficie de
revolución o del volumen de un cuerpo de revolución está directamente relacionado con la determinación del centroide de la línea o del área
utilizados para generar dicha superficie o cuerpo de revolución (teoremas de Pappus-Guldinus). Además, como se muestra en las secciones
5.8 y 5.9, la determinación del centroide de un área simplifica el análisis de vigas sujetas a cargas distribuidas y el cálculo de las fuerzas ejercidas sobre superficies rectangulares sumergidas, como compuertas hidráulicas y porciones de presas.
Al final del capítulo se aprenderá cómo determinar tanto el centro de gravedad de cuerpos tridimensionales como el centroide de un
volumen y los primeros momentos de dicho volumen con respecto a
los planos coordenados.

ÁREAS Y LÍNEAS
5.2. CENTRO DE GRAVEDAD DE UN CUERPO BIDIMENSIONAL

Para iniciar, considere una placa plana horizontal (figura 5.1). La placa puede dividirse en n elementos pequeños. Las coordenadas del priz

z
∆W

y

Fotografía 5.1 El balance preciso de los
componentes de un móvil requiere de una
comprensión de los centros de gravedad y
centroides, que son los tópicos principales de
este capítulo.

⎯x
O

=

x
y

G
O

⎯y
x

ΣM y : ⎯ x W = Σ x ∆W
ΣM x : ⎯ y W = Σ y ∆W
Figura 5.1 Centro de gravedad de una placa.

220

y

W

x

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mer elemento se representan con x1 y y1, las del segundo elemento se
representan con x2 y y2, etcétera. Las fuerzas ejercidas por la Tierra
sobre los elementos de la placa serán representadas, respectivamente,
con W1, W2, . . . , Wn. Estas fuerzas o pesos están dirigidos hacia
el centro de la Tierra; sin embargo, para todos los propósitos prácticos,
se puede suponer que dichas fuerzas son paralelas. Por tanto, su resultante es una sola fuerza en la misma dirección. La magnitud W de esta fuerza se obtiene a partir de la suma de las magnitudes de los pesos
de los elementos.

Fz:

W W1 W2 Wn

para obtener las coordenadas x y y del punto G, donde debe aplicarse
la resultante W, se escribe que los momentos de W con respecto a los
ejes y y x son iguales a la suma de los momentos correspondientes de
los pesos elementales, esto es

My:
Mx:

x W x1 W1 x2 W2 xn Wn
y W y1 W1 y2 W2 yn Wn

(5.1)

Si ahora se incrementa el número de elementos en los cuales se ha dividido la placa y simultáneamente se disminuye el tamaño de cada elemento se obtienen, en el límite, las siguientes expresiones:

W

dW

x W

x dW

y W

y dW

(5.2)

Estas ecuaciones definen el peso W y las coordenadas x y y del centro
de gravedad G de una placa plana. Se pueden derivar las mismas ecuaciones para un alambre que se encuentra en el plano xy (figura 5.2).
Se observa que usualmente el centro de gravedad G de un alambre no
está localizado sobre este último.

z

z
y

W

=

y

x

⎯x
O

∆W

G
O

⎯y
x

ΣM y : ⎯ x W = Σ x ∆W
ΣM x : ⎯ y W = Σ y ∆W
Figura 5.2 Centro de gravedad de un alambre.

y
x

5.2. Centro de gravedad de un cuerpo
bidimensional

221

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Fuerzas distribuidas: centroides y centros
de gravedad

5.3. CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS

En el caso de una placa plana homogénea de espesor uniforme, la magnitud W del pcso de un elemento de la placa puede expresarse como

W t A
donde peso específico (peso por unidad de volumen) del material
t espesor de la placa
A área del elemento
En forma similar, se puede expresar la magnitud W del peso de toda
la placa como

W tA
donde A es el área total de la placa.
Si se emplean las unidades de uso común en Estados Unidos, se
debe expresar el peso específıco en lb/ft3, el espesor t en pies y las
áreas A y A en pies cuadrados. Entonces, se observa que W y W
estarán expresados en libras. Si se usan las unidades del SI, se debe
expresar a en N/m3, a t en metros y a las áreas A y A en metros
cuadrados; entonces, los pesos W y W estarán expresados en newtons.†
Si se sustituye a W y a W en las ecuaciones de momento (5.1) y
se divide a todos los términos entre t, se obtiene

My:
Mx:

x A x1 A1 x2 A2 xn An
y A y1 A1 y2 A2 yn An

Si se incrementa el número de elementos en los cuales se divide el área
A y simultáneamente se disminuye el tamaño de cada elemento, se obtiene en el límite

x A

x dA

yA

y dA

(5.3)

Estas ecuaciones definen las coordenadas x y y del centro de gravedad
de una placa homogénea. El punto cuyas coordenadas son x y y también se conoce como el centroide C del área A de la placa (figura 5.3).
Si la placa no es homogénea, estas ecuaciones no se pueden utilizar para determinar el centro de gravedad de la placa; sin embargo, éstas aún
definen al centroide del área.
En el caso de un alambre homogéneo de sección transversal uniforme, la magnitud W del peso de un elemento de alambre puede
expresarse como

W a L
donde peso específico del material
a área de la sección transversal del alambre
L longitud del elemento
†

Se debe señalar que en el Sistema Internacional de unidades generalmente se caracteriza a un material dado por su densidad (masa por unidad de volumen) en lugar de caracterizarlo por su peso específico . Entonees, el pcso específico del material se puede
obtener a partir de la relación
g
donde g 9.81 m/s . Como se expresa en kg/m3, se observa que estará expresado en
(kg/m3)(m/s2), esto es, en N/m3.
2

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5.4. Primeros momentos de áreas y líneas

y

y

y

=

⎯y
O

x

=

∆A

A
C

y
L

x

⎯x

⎯x

y

C

x

⎯y
O

O

x

x

O

ΣM y : ⎯ x L = Σ x ∆ L

ΣM x : ⎯ y A = Σ y ∆ A
Figura 5.3 Centroide de un área.

ΣM x : ⎯ y L = Σ y ∆ L
Figura 5.4 Centroide de una línea.

El centro de gravedad de un alambre coincide con el centroide C de
la línea L que define la forma del alambre (figura 5.4). Las coordenadas x y y del centroide de la línea L se obtienen a partir de las ecuaciones

x dL

yL

y dL

(5.4)

5.4. PRIMEROS MOMENTOS DE ÁREAS Y LÍNEAS

La integral x dA en las ecuaciones (5.3) de la sección anterior se conoce como el primer momento del área A con respecto al eje y y se representa con Qy. En forma similar, la integral y dA define el primer
momento de A con respecto al eje x y se representa con Qx. Así se escribe

Qy

x dA

Qx

y dA

(5.5)

Si comparamos las ecuaciones (5.3) con las ecuaciones (5.5), se observa que los primeros momentos del área A pueden ser expresados como los productos del área con las coordenadas de su centroide:

Qy xA

Qx yA

(5.6)

A partir de las ecuaciones (5.6) se concluye que las coordenadas del
centroide de un área pueden obtenerse al dividir los primeros momentos de dicha área entre el área misma. Los primeros momentos de un
área también son útiles en la mecánica de materiales para determinar
los esfuerzos de corte en vigas sujetas a cargas transversales. Por último,
a partir de las ecuaciones (5.6) se observa que si el centroide de un área
está localizado sobre un eje coordenado, entonces el primer momento
del área con respecto a ese eje es igual a cero. De manera inversa, si el
primer momento de un área con respecto a un eje coordenado es igual
a cero, entonces el centroide del área está localizado sobre ese eje.
Se pueden utilizar relaciones similares a partir de las ecuaciones
(5.5) y (5.6) para definir los primeros momentos de una línea con respecto a los ejes coordenados y para expresar dichos momentos como los
productos de la longitud L de la línea y las coordenadas x y y de su centroide.

∆L
y

ΣM y : ⎯ x A = Σ x ∆ A

x L

223

x

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Fuerzas distribuidas: centroides y centros
de gravedad

B'

P

P'
B

a)
y
–x

x

dA'

C

dA

A
x

O

b)
Figura 5.5

Se dice que un área A es simétrica con respecto a un eje BB si para todo punto P del área existe un punto P de esa misma área tal que
la línea PP sea perpendicular a BB y dicha línea está dividida en dos
partes iguales por el eje en cuestión (fıgura 5.5a). Se dice que una línea L es simétrica con respecto a un eje BB si satisface condiciones
similares. Cuando un área A o una línea L posee un eje de simetría
BB , su primer momento con respecto a BB es igual a cero y su centroide está localizado sobre dicho eje. Por ejemplo, en el caso del área
A de la figura 5.5b, la cual es simétriaca con respecto al eje y, se observa que para cada elemento de área dA de abscisa x existe un elemento de área dA que tiene la misma superficie y cuya abscisa es x.
Se concluye que la integral en la primera de las ecuaciones (5.5) es
igual a cero y, por tanto, se tiene que Qy 0. También se concluye a
partir de la primera de las relaciones (5.3) que x 0. Por consiguiente, si un área A o una línea L poseen un eje de simetría, su centroide
C está localizado sobre dicho eje.
Además, se debe señalar que si un área o una línea posee dos ejes
de simetría, su centroide C debe estar localizado en la intersección de
esos dos ejes (figura 5.6). Esta propiedad permite determinar de inmediato el centroide de áreas como círculos, elipses, cuadrados, rectángulos, triángulos equiláteros u otras figuras simétricas, así como el centroide de líneas que tienen la forma de la circunferencia de un círculo,
el perímetro de un cuadrado, entre otros.
B

B

D'
D
C
D

B'
a)

C

D'

B'
b)

Figura 5.6

y
x
A

dA
y

O
–y
d A'
–x
Figura 5.7

x

Se dice que un área A es simétrica con respecto a un centro O si
para cada elemento de área dA de coordenadas x y y existe un elemento de área dA de igual superficie con coordenadas x y y (figura
5.7). Entonces, se concluye que ambas integrales en las ecuaciones (5.5)
son iguales a cero y que Qx Qy 0. También, a partir de las ecuaciones (5.3), se concluye que x y 0, esto es, que el centroide del
área coincide con su centro de simetría O. En forma análoga, si una línea posee un centro de simetría O, el centroide de la línea coincidirá
con el centro O.
Se debe señalar que una figura con un centro de simetría no necesariamente posee un eje de simetría (figura 5.7) y que una figura con
dos ejes de simetría no necesariamente tiene un centro de simetría (figura 5.6a). Sin embargo, si una figura posee dos ejes de simetría que
son perpendiculares entre sí, el punto de intersección de dichos ejes
es un centro de simetría (figura 5.6b).
La determinación de los centroides de áreas asimétricas y de líneas y áreas que poseen un solo eje de simetría se estudiará en las secciones 5.6 y 5.7. En las figuras 5.8A y 5.8B se muestran los centroides
de formas comunes de áreas y de líneas.

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5.4. Primeros momentos de áreas y líneas

Forma

⎯y

Un cuarto de área
circular

bh
2

4r
3␲

4r
3␲

␲ r2
4

0

4r
3␲

␲ r2
2

4a
3␲

4b
3␲

␲ ab
4

0

4b
3␲

␲ ab
2

3a
8

3h
5

2ah
3

0

3h
5

4ah
3

3a
4

3h
10

ah
3

b
2

C

C
O

Un cuarto de área
elíptica

r

⎯y
O

⎯x

C

b

C

⎯y

O

O

⎯x

a

a

Área
semiparabólica
C
Área parabólica

h
3

C
b
2

Área
semielíptica

Área

h

Área triangular

Área semicircular

⎯y

⎯x

C

⎯y

O

O

⎯x

h
a

a
y = kx2
Enjuta parabólica

h

C

⎯y

O
⎯x
a
y = kxn

Enjuta general

h
C

O

n+1
a
n+2

n+1
h
4n + 2

ah
n+1

⎯y

⎯x
r
Sector circular
C

O
⎯x
Figura 5.8A Centroides de áreas comunes.

2r sen α
3α

0

α r2

225

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Fuerzas distribuidas: centroides y centros
de gravedad

Forma

⎯x

⎯y

Longitud

Un cuarto de arco
circular

2r
␲

2r
␲

␲r
2

0

2r
␲

␲r

r sen a
a

0

2ar

C
C

⎯y
Arco semicircular

O

r

O
⎯x
r

Arco de círculo

a

C

a

O
⎯x

Figura 5.8B Centroides de formas comunes de líneas.

5.5. PLACAS Y ALAMBRES COMPUESTOS

En muchos casos, una placa plana puede dividirse en rectángulos, triángulos u otras de las formas comunes mostradas en la figura 5.8A. La
abscisa
X de su centro de gravedad G puede determinarse a partir de
las abscisas x1, x 2, . . . , xn de los centros de gravedad de las diferentes
partes que constituyen la placa, expresando que el momento del peso
de toda la placa con respecto al eje y es igual a la suma de los momentos de los pesos de las diferentes partes con respecto a ese mismo
eje (figura 5.9). La ordenada Y
del centro de gravedad de la placa se
encuentra de una forma similar, igualando momentos con respecto al
eje x. Así, se escribe

My:

(W1 W2 Wn) x1W1 x2W2 x nWn
X

Mx:
Y(W1 W2 Wn) y1W1 y2W2 y nWn

z

z
y

⎯X
O

G

W1

O

⎯Y

W3

y

=

ΣW

G1

x
ΣM y : ⎯X Σ W = Σ⎯ x W
ΣM x : ⎯Y Σ W = Σ⎯ y W
Figura 5.9 Centro de gravedad de una placa compuesta.

W2

G3

G2

x

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5.5. Placas y alambres compuestos

o en forma condensada,

W x W
X

Y
W y W

(5.7)

Estas ecuaciones se pueden resolver para las coordenadas
Xy
Y del
centro de gravedad de la placa.

y

y

⎯X

A1

=

ΣA
C

C3
A2

C1

⎯Y
x

O

A3

C2
x

O

Qy = ⎯X Σ A = Σ⎯ x A
Qx = ⎯Y Σ A = Σ⎯ y A
Figura 5.10 Centroide de un área compuesta.

Si la placa es homogénea y de espesor uniforme, el centro de gravedad coincide con el centroide C de su área. La abscisa
X del centroide del área puede determinarse observando que el primer momento
Qy del área compuesta con respecto al eje y puede expresarse como el
producto de
X con el área total y como la suma de los primeros momentos de las áreas elementales con respecto al eje y (figura 5.10). La
ordenada Y
del centroide se encuentra de forma similar, considerando
el primer momento Qx del área compuesta. Así, se tiene

Qy
X(A1 A2 An) x1A1 x2A2 x nAn
Qx
Y(A1 A2 An) y1A1 y2A2 y nAn

z
W1

y
W3

⎯x1
⎯x2
⎯x3

o en forma condensada,

Qy
X A x A

W2

x

y

Qx
Y A yA

(5.8)
A1

Estas ecuaciones proporcionan los primeros momentos del área compuesta o pueden utilizarse para obtener las coordenadas
Xy
Y de su
centroide.
Se debe tener cuidado de asignarle el signo apropiado al momento de cada área. Los primeros momentos de áreas, al igual que los momentos de las fuerzas, pueden ser positivos o negativos. Por ejemplo,
un área cuyo centroide está localizado a la izquierda del eje y tendrá
un primer momento negativo con respecto a dicho eje. Además al área
de un agujero se le debe asignar un signo negativo (fıgura 5.11).
De manera similar, en muchos casos es posible determinar el centro de gravedad de un alambre compuesto o el centroide de una línea
compuesta dividiendo al alambre o a la línea en elementos más simples (véase problema resuelto 5.2).

A2

A3
x

⎯x2

⎯x1

⎯x3

A1 Semicírculo

⎯x A ⎯xA
– + –

A2 Rectángulo
completo

+ + +

A3 Agujero
circular

+ – –

Figura 5.11

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y

PROBLEMA RESUELTO 5.1

120 mm

Para el área plana mostrada en la figura, determine: a) los primeros momentos con respecto a los ejes x y, y y b) la ubicación de su centroide.

60 mm
40 mm
80 mm
x

60 mm

SOLUCIÓN
Componentes del área. El área se obtiene con la suma de un rectángulo, un triángulo y un semicírculo y después se resta un círculo. Utilizando los ejes coordenados mostrados, se determinan el área y las coordenadas del centroide para cada una de las áreas componentes y luego se
introducen en la tabla que parece en la parte inferior. El área del círculo
se indica como negativa puesto que debe restarse de las demás áreas. Nótese
que la coordenada y del centroide del triángulo es negativa para los ejes
mostrados. Los primeros momentos de las áreas componentes con respecto
a los ejes coordenados se calculan y se introducen en la tabla.
y

y
120 mm

r1 = 60 mm
r2 =40 mm

=

y

60 mm

80 mm

Rectángulo
Triángulo
Semicírculo
Círculo

x

A, mm2

x , mm

y , mm

(120)(80) 9.6 103
3.6 103
5.655 103
(40) 5.027 103

60
40
60
60

40
20
105.46
80

1
(120)(60)
2
1
(60)2
2
2

A 13.828 103

r2 = 40 mm

80 mm

x
60 mm

x A, mm3

x
60 mm

y A, mm3

576 103
144 103
339.3 103
301.6 103

384 103
72 103
596.4 103
402.2 103

x A 757.7 103

3
y
A 506.2 10

a) Primeros momentos del área. Con las ecuaciones (5.8) se escribe

y

3
3
Qx y
A 506.2 103 mm3
Qy x A 757.7 10 mm

C

X = 54.8 mm

228

_

105.46 mm

80 mm

– 20 mm

Componente

y

+

40 mm

40 mm
x

x

60 mm

+

y
4 r1
= 25.46 mm r = 60 mm
1
3␲

Y = 36.6 mm
x

Qx 506 103 mm3
Qy 758 103 mm3

b) Ubicación del centroide. Si se sustituyen los valores dados en la
tabla, dentro de las ecuaciones que definen el centroide de un área compuesta se obtiene
X A x A:


X
(13.828 103 mm2) 757.7 103 mm3
54.8 mm
X

Y A y

A:


Y(13.828 103 mm2) 506.2 103 mm3
36.6 mm
Y

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PROBLEMA RESUELTO 5.2

C
26 i

La figura mostrada está hecha a partir de un pedazo de alambre delgado y
homogéneo. Determine la ubicación de su centro de gravedad.

n.

10 in.

B

A
24 in.

SOLUCIÓN
y
C

Como la figura está hecha de un alambre homogéneo, su centro de gravedad coincide con el centroide de la línea correspondiente. Por tanto, se determinará dicho centroide. Si se seleccionan los ejes mostrados, con origen
en A, se determinan las coordenadas del centroide de cada segmento de línea y se calculan los primeros momentos con respecto a los ejes coordenados.

12 in.
26 i

n.

10 in.
5 in.
B

A
24 in.

x

Segmento

L, in.

x , in.

y , in.

x L, in2

y L, in2

AB
BC
CA

24
26
10

12
12
0

0
5
5

288
312
0

0
130
50

xL 600

yL 180

L 60

Con la sustitución de los valores obtenidos en la tabla, en las ecuaciones que
defınen el centroide de una línea compuesta, se obtiene

X L x L:


X(60 in.) 600 in2

10 in.
X

Y L yL:



Y(60 in.) 180 in

13 in.
Y

2

229

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A

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PROBLEMA RESUELTO 5.3
Una barra semicircular uniforme de pcso W y radio r está unida a un perno
en A y descansa contra una superficie sin fricción en B. Determine las reacciones en A y B

r
O

B

SOLUCIÓN
Diagrama de cuerpo libre. Se dibuja un diagrama de cuerpo libre
de la barra. Las fuerzas que actúan sobre la barra son su peso W, el cual está
aplicado en el centro de gravedad G (cuya posición se obtiene a partir de la
figura 5.8B); una reacción en A, representada por sus componentes A x y A y
y una reacción horizontal en B.

Ay
Ax
A
2r
␲

2r

Ecuaciones de equilibrio

G

l MA 0:
B

B

2r
B(2r) W 0




W

W
B y


W
B

Ay = W

A


y
Fx 0:

Ax B 0
W
Ax B


x Fy 0:

a
Ax =

W
␲

Ay W 0

W
Ax z

A y Wx

Sumando las dos componentes de la reacción en A:
W
A W2




2 1 2



1
A W 1 2




W
tan
W

1 2



tan 1

Las respuestas también pueden expresarse como sigue:
A 1.049W b72.3°

230

B 0.318W y

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
EN FORMA INDEPENDIENTE
En esta lección se desarrollaron las ecuaciones generales para localizar los centros de
gravedad de cuerpos bidimensionales y alambres [ecuaciones (5.2)] y los centroides de
áreas planas [ecuaciones (5.3)] y de líneas [ecuaciones (5.4)]. En los problemas que se
presentan a continuación, se deberán localizar los centroides de áreas compuestas y líneas o tendrán que determinarse los primeros momentos del área de placas compuestas [ecuaciones (5.8)].
1. Localización de centroides de áreas compuestas y líneas. Los problemas resueltos 5.1 y 5.2 ilustran el procedimiento que debe seguirse al resolver problemas de
este tipo. Sin embargo, hay ciertos puntos que se deben enfatizar.
a) El primer paso en la solución debe ser decidir cómo construir el área o la línea
dada, a partir de las formas comunes de la figura 5.8. Se debe reconocer que, en el caso de áreas planas, una forma en particular se puede construir de varias maneras. Además, mostrar las diferentes componentes (como se hace en el problema resuelto 5.1)
ayudará a establecer correctamente sus centroides y sus áreas o longitudes. No debe
olvidarse que, para obtener la forma deseada, es posible restar o sumar áreas.
b) Se recomienda que para cada problema se construya una tabla que contenga las
áreas o las longitudes y las coordenadas respectivas de sus centroides. Es esencial recordar que las áreas que son “removidas” (por ejemplo los agujeros) se toman como negativas. Además se debe incluir el signo de las coordenadas negativas. Por tanto, siempre debe observarse la ubicación del origen de los ejes coordenados.
c) Cuando sea posible, se deben utilizar consideraciones de simetría [sección 5.4]
para determinar con mayor facilidad la ubicación de un centroide.
d) En las fórmulas de la figura 5.8 para el sector circular y para el arco del círcuIo,
el ángulo siempre debe ser expresado en radianes.
2. Cálculo de los primeros momentos de un área. Los procedimientos para ubicar el centroide de un área y para determinar los primeros momentos de un área son
similares; sin embargo, para calcular estos últimos no es necesario determinar el área
total. Además, como se señaló en la sección 5.4, se debe reconocer que el primer momento de un área con respecto a un eje centroidal es igual a cero.
3. Resolución de problemas que involucran al centro de gravedad. En los problemas que se presentan a continuación se considera que los cuerpos son homogéneos;
por tanto, sus centros de gravedad coinciden con sus centroides. Además, cuando un
cuerpo que está suspendido de un solo perno está en equilibrio, el perno y el centro
de gravedad del cuerpo deben estar localizados sobre la misma línea vertical.
Pudiera parecer que muchos de los problemas en esta lección tienen poco que ver con
el estudio de la mecánica. Sin embargo, ser capaz de localizar el centroide de formas
compuestas será esencial en varios tópicos que se estudiarán más adelante.

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Problemas

Localice el centroide del área plana mostrado en cada figura.

5.1 a 5.8

y

y

10 in.

y 90 mm
135 mm

9 in.

300 mm

12 in.

150 mm

270 mm

8 in.
x
200 mm

400 mm

x

x
Figura P5.3

Figura P5.2

Figura P5.1

y

y
y

8 in.

24 in.

9 in.
4.5 in. 6 in.
9 in.

225 mm

16 in.
21 in.

x
13 in.

375 mm

x

x
Figura P5.6

Figura P5.5

Figura P5.4

y
y
r = 16 in.

r2 = 150 mm

a = 8 in.

r1 = 75 mm

x

x
a = 8 in.
Figura P5.7

Figura P5.8

5.9 Para el área del problema 5.8, determine la relación r2/r1 tal que
x 4r1/3.

232

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Problemas

5.10 Para el área mostrada en la figura, demuestre que si r1 tiende
a r2, la localización de su centroide tiende a ser igual al centroide de
un arco circular con radio (r1 r2)/2.

233

y

r1

α

r2

α
x

Figura P5.10

5.11 a 5.16

Localice el centroide del área plana mostrada en cada figura.

y

12 in.

6 in.

8 in.

y
240 mm

y

x
3 in.

6 in.

3 in.

x

9 in.

150 mm
y=

9 in.

kx2

Un cuarto
de elipse

x

Figura P5.11

Figura P5.13

Figura P5.12

y
200 mm
y
90 mm

90 mm

120 mm

Enjuta elíptica
Figura P5.14

150 mm

y
80 mm

x

Parábola

r = 72 mm

Parábola

x

50 mm
Vértice
Figura P5.15

48 mm

x
Vértice

100 mm

Figura P5.16

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Fuerzas distribuidas: centroides y centros
de gravedad

5.17 y 5.18 El eje horizontal x se traza a través del centroide C y divide al área mostrada en dos áreas componentes A1 y A2. Determine el primer
momento de cada área componente respecto al eje x y explique los resultados obtenidos.
y

4 in.

4 in.
2 in.

A1

y
40

40
15 in.

20

A1
x

C

A2

x

C

100

A2

3 in.

20
2 in.

Dimensiones en mm

2 in.

Figura P5.17

5.19 El primer momento respecto al eje x del área sombreada que se
muestra en la figura se representa mediante Qx. a) Exprese Qx en términos
de r y . b) Determine el valor de para el cual Qx es máximo y encuentre
dicho valor máximo.

y

r
q

q
x

Figura P5.19

Figura P5.18

5.20 Una viga compuesta se construye atornillando cuatro placas a cuatro ángulos de 60 60 12 mm, como indica la figura. Los tornillos están
igualmente espaciados a lo largo de la viga, la cual sostiene una carga vertical. Tal como se demuestra en mecánica de materiales, las fuerzas cortantes
ejercidas sobre los tornillos colocados en A y B son proporcionales a los
primeros momentos respecto al eje centroidal x de las áreas sombreadas con
rojo, respectivamente, en las partes a y b de la figura. Si la fuerza ejercida
en el tornillo A es de 280 N, determine la fuerza ejercida sobre el tornillo B.
12 mm

300 mm
A
60 mm

B

12 mm
C
x

450 mm

C
x

60 mm

12 mm

12 mm
a)

Figura P5.20

b)

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Problemas

5.21 a 5.24 Un alambre delgado y homogéneo se dobla para formar
el perímetro de la figura que se indica en cada inciso. Localice el centro de
gravedad de la figura formada con el alambre.
5.21 Fig. P5.1.
5.22 Fig. P5.2.
5.23 Fig. P5.5.
5.24 Fig. P5.8.
5.25 Una barra uniforme de acero pesa 1.75 lb y se dobla para formar
un arco de 20 in. de radio como el que muestra la figura. La barra se sostiene
mediante un pasador puesto en A y la cuerda BC. Determine a) la tensión
en la cuerda, b) la reacción en A.
5.26 El alambre homogéneo ABCD está doblado como indica la figura
y se sostiene mediante un pasador puesto en B. Si l 200 mm, determine
el ángulo para el que el tramo BC del alambre se mantiene horizontal.

235

C

B
20 in.
60°
A

Figura P5.25

l
B

C
q
150 mm
D

150 mm

A
Figura P5.26 y P5.27

5.27 El alambre homogéneo ABCD está doblado como indica la figura
y se sostiene mediante un pasador instalado en B. Si 30 , determine la
longitud l para la cual el tramo CD del alambre se mantiene horizontal.
5.28 Si la figura que se muestra está formada con un alambre homogéneo delgado, determine la longitud l del tramo CE del alambre para el cual
el centro de gravedad de la figura se localiza en el punto C cuando a)
15 , b) 60 .
A
r
q

C

E

D

kb

q
l
B
Figura P5.28
a

5.29 Determine la distancia h tal que el centroide del área sombreada
esté tan cerca como sea posible de la línea BB cuando a) k 0.2, b) k
0.6.
5.30 Si la distancia h es seleccionada para minimizar la distancia y
desde la línea BB hasta el centroide del área sombreada que muestra la
figura, demuestre que y h.

h
B'

B
b
Figura P5.29 y P5.30

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Fuerzas distribuidas: centroides y centros
de gravedad

5.6. DETERMINACIÓN DE CENTROIDES
POR INTEGRACIÓN

El centroide de un área limitada por curvas analíticas (esto es, curvas
definidas por ecuaciones algebraicas) por lo general se determina evaluando las integrales que aparecen en las ecuaciones (5.3) de la sección 5.3:

x A

x dA

yA

y dA

(5.3)

Si el elemento de área dA es un pequeño rectángulo de lados dx y dy,
la evaluación de cada una de estas integrales requiere una integración
doble con respecto a x y y. También es necesaria una integración doble
si se usan coordenadas polares para las cuales dA es un elemento de
lados dr y r d .
Sin embargo, en la mayoría de los casos es posible determinar las
coordenadas del centroide de un área con una sola integración. Esto
se logra seleccionando a dA como un rectángulo o tira delgada o como
un sector circular delgado (fıgura 5.12A); el centroide de un rectángulo delgado está localizado en su centro y el centroide de un sector
delgado está localizado a una distancia de 23 r a partir de su vértice (como
en el caso de un triángulo). Entonces, las coordenadas del centroide
del área en consideración se obtienen expresando que el primer momento del área total con respecto a cada uno de los ejes coordenados
es igual a la suma (o integral) de los momentos correspondientes de
los elementos del área. Representando con x el y y el las coordenadas del
centroide del elemento dA, se escribe

x
Q yA y
Qy xA

el

dA

el

dA

x

(5.9)

Si el área A no se conoce aún, ésta también puede calcularse a partir
de estos elementos.

P(x, y)
y

y

y

x

P(x, y)
x
dy

y

⎯ x el

y

⎯ yel
O

dx

r

⎯ yel

θ

x

O

x

⎯ x el
a

Figura 5.12A Centroides y áreas de elementos diferenciales.

O

P(θ , r)

2r
3

⎯ x el

⎯ yel
x

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Las coordenadas xel y yel del centroide del elemento del área dA
deben expresarse en términos de las coordenadas de un punto localizado sobre la curva que limita al área en consideración. Además, el área
del elemento dA debe expresarse en términos de las coordenadas de
dicho punto y de los diferenciales apropiados. Esto se ha hecho
en la figura 5.12B para tres tipos comunes de elementos; la porción
de círculo de la parte c debe utilizarse cuando la ecuación de la curva
que limita al área esté dada en coordenadas polares. Deben sustituirse las expresiones apropiadas en las fórmulas (5.9) y debe utilizarse la

5.6. Determinación de centroides
por integración

P(x, y)
y

y

y

x

P(x, y)
x
dy

y

⎯xel

y

⎯yel
O

⎯yel
O

x

⎯xel

O

P(θ , r)

2r
3
θ

x

dx

r

⎯yel
x

⎯xel

a
⎯xel = x

a+x
⎯xel = 2

⎯yel = y/2

⎯yel = y

dA = ydx

dA = (a – x) dy

a)

b)

c)

Figura 5.12B Centroides y áreas de elementos diferenciales.

ecuación de la curva que limita al área para expresar a una de las coordenadas en términos de la otra. De esta forma, se reduce a una sola
integración. Una vez que se ha determinado el área y han sido evaluadas las integrales en las ecuaciones (5.9), estas ecuaciones pueden resolverse para las coordenadas x y y del centroide del área.
Cuando una línea está defınida por una ecuación algebraica, puede determinarse su centroide al evaluar las integrales que aparecen en
las ecuaciones (5.4) de la sección 5.3:

x L

x dL

yL

y dL

(5.4)

El diferencial de longitud dL debe reemplazarse por una de las siguiente expresiones, dependiendo de cuál coordenada x, y o , se seleccione como la variable independiente en la ecuación utilizada para definir la línea (estas expresiones pueden derivarse con el uso del teorema
de Pitágoras):

dL






dy
dr

d
dL
r
d
dy
1
dx

2

dy

2

dy
1
dx

dL

2

2

2r
⎯xel = 3 cos θ
2r
⎯yel = 3 sen θ
1
dA = r2 dθ
2

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Fuerzas distribuidas: centroides y centros
de gravedad

Después de que se ha utilizado la ecuación de la línea para expresar
una de las coordenadas en términos de la otra, se puede llevar a cabo
la integración y se pueden resolver las ecuaciones (5.4) para las coordenadas x y y del centroide de la línea.
5.7. TEOREMAS DE PAPPUS-GULDINUS

Estos teoremas fueron formulados primero por el geómetra griego Pappus durante el siglo III después de Cristo y fueron replanteados posteriormente por el matemático suizo Guldinus o Guldin (1577-1643), se
refieren a superficies y cuerpos de revolución.
Una superficie de revolución se genera mediante la rotación de una
curva plana con respecto a un eje fıjo. Por ejemplo (figura 5.13), se

B

A

B

C
Esfera

A

C
Cono

A

C
Toroide

Figura 5.13

Fotografía 5.2 Todos los tanques de
almacenamiento que se muestran en la fotografía
son cuerpos de revolución. Por tanto, las áreas
de sus superficies y sus volúmenes pueden
determinarse con los teoremas de PappusGuldinus.

puede obtener la superficie de una esfera rotando un arco semicircular ABC con respecto al diámetro AC; se puede producir la superficie
de un cono rotando una línea recta AB con respecto a un eje AC y se
puede generar la superficie de un toroide o anillo rotando la circunferencia de un círculo con respecto a un eje que no interseca a dicha
circunferencia. Un cuerpo de revolución se genera mediante la rotación
de un área plana alrededor de un eje fıjo. Como se muestra en la fıgura
5.14, se puede generar una esfera, un cono y un toroide rotando la
forma apropiada con respecto al eje que se indica.

Esfera

Cono

Toroide

Figura 5.14

TEOREMA I. El área de una superficie de revolución es igual a
la longitud de la curva generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide de dicha curva al momento de generar la superficie.
Demostración. Considérese un elemento dL de la línea L (figura
5.15) que rota alrededor del eje x. El área dA generada por el elemento
dL es igual a 2 y dL. Por tanto, el área total generada por L es A
2 y dL. En la sección 5.3 se encontró que la integral y dL es igual

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5.7. Teoremas de Pappus-Guldinus

dL

L
C
y

⎯y
x

x
2␲⎯ y

dA
Figura 5.15

a y L, por tanto, se tiene

A 2 yL

(5.10)

donde 2 y es la distancia recorrida por el centroide de L (figura 5.15).
Se debe señalar que la curva generatriz no debe cruzar el eje sobre el
cual rota; si lo hiciera, las dos secciones, una a cada lado del eje, generarían áreas que tendrían signos opuestos y el teorema no podría aplicarse.
TEOREMA II. El volumen de un cuerpo de revolución es igual al
área generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide
del área al momento de generar el cuerpo.
Demostración. Considérese un elemento dA del área A, el cual se
rota con respecto al eje x (figura 5.16). El volumen dV generado por

dA
C

A
y

y
x

x
2␲ y

dV
Figura 5.16

el elemento dA es igual a 2 y dA. Por tanto, el volumen total generado por A es V 2 y dA y, puesto que la integral y dA es igual
yA (sección 5.3), se tiene

V 2 y
A

(5.11)

donde 2 y es la distancia recorrida por el centroide de A. Es importante señalar que el teorema no puede aplicarse si el eje de rotación
interseca al área generatriz.
Los teoremas de Pappus-Guldinus proporcionan una forma sencilla de calcular las áreas de superficies de revolución y los volúmenes
de cuerpos de revolución. En forma inversa, estos teoremas se emplean
para determinar el centroide de una curva plana cuando el área de la
superfıcie generada por la curva es conocida o para determinar el centroide de un área plana cuando el volumen del cuerpo generado por
el área es conocido (véase el problema resuelto 5 8).

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y

PROBLEMA RESUELTO 5.4

y = k x2

Determine por integración directa la localización del centroide de una enjuta parabólica.

b
x

a

SOLUCIÓN
Determinación de la constante k. El valor de k se determina sustituyendo x a y y b en la ecuación dada. Se tiene b ka2 o k b a2. Por
tanto la ecuación de la curva es
b
y 2 x2
a

o

a 1 2
x
y
b1 2

y

Elemento diferencial vertical. Se selecciona el elemento diferencial mostrado y se determina el área total de la figura.

dA = ydx
y
⎯ yel = 2

y

A

x

⎯ xel = x
a

dA y dx

a

0

b
b x3
2 x2 dx 2
a
a 3



ab

3
0

a



El primer momento del elemento diferencial con respecto al eje y es xel dA;
por tanto, el primer momento de toda el área con respecto a dicho eje es
Qy

x

el

dA

xy dx x ab x dx ab x4
4

a

0

Como Qy xA, se tiene que
x A

x

el

2

2

2

a2b

4
0

a

ab
a2b
x
3
4

dA

3
x 4 a

De la misma forma, el primer momento del elemento diferencial con respecto al eje x es yel dA y el primer momento de toda el área es
Qx

y

el

dA

y2 y dx 12 ab x
a

0

Since Qx yA, we have
y A
dA = (a – x) dy
b

⎯ xel =

a+x
2
a

el

2

2

b2 x5
dx 4
2a 5



ab2
ab
y
3
10

dA

ab2

10
0

a



3
y 10 b

Elemento diferencial horizontal. Se pueden obtener los mismos resultados considerando un elemento horizontal. Los primeros momentos del
área son

y

x

y

2

x
⎯ yel = y

a x
a x
(a x) dy dy
x dA
2
2
1
a
ab
a y dy
2
b
4
a
Q y dA y(a x) dy y a y dy
b
a
ab
ay y dy
b
10
b

Qy

el

b

2

2

0

2

2

2

0

x

1 2

el

2

b

0

1 2

1 2

3 2

Para determinar x y y , las expresiones obtenidas se sustituyen nuevamente
en las ecuaciones que definen el centroide del área.

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PROBLEMA RESUELTO 5.5
Determine la ubicación del centroide del arco mostrado.

r

α
O

α

SOLUCIÓN
y

Como el arco es simétrico con respecto al eje x, y 0. Se selecciona un elemento diferencial, como se muestra en la figura, y se determina la longitud
del arco por integración.

θ =α
r

dθ

dL = r dθ

dL





r d r





d 2r



El primer momento del arco con respecto al eje y es

θ

O

L

x

x = r cos θ

Qy

x dL





(r cos )(r d ) r2








r2[sen ]
2r2 sen

cos d

Como Qy xL, se escribe

θ = –α

r sen
x


x (2r ) 2r2 sen

PROBLEMA RESUELTO 5.6
r

Determine el área de la superficie de revolución mostrada en la figura, la
cual se obtiene rotando un cuarto de arco circular con respecto a un eje vertical.

2r

SOLUCIÓN
y

De acuerdo con el teorema I de Pappus-Guldinus, el área generada es igual
al producto de la longitud del arco y la distancia recorrida por su centroide.
Refiriéndose a la figura 5.88, se tiene

2r
␲

x

2r
1
x 2r 2r 1





C
2r

x



1
A 2 xL 2 2r 1




r

2
A 2 r2( 1)

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20 mm

100 mm

PROBLEMA RESUELTO 5.7
El diámetro exterior de una polea es 0.8 m y la sección transversal de su corona es como se muestra en la figura. Se sabe que la polea está hecha de acero y que la densidad de dicho material es 7.85 103 kg/m3, determine
la masa y el peso de la corona.

30 mm
400 mm
60 mm
20 mm

20 mm

SOLUCIÓN
60 mm

100 mm
50 mm

I

30 mm II

CI

_

CII

375 mm

El volumen de la corona se puede encontrar con el teorema II de Pappus
Guldinus, el cual establece que el volumen es igual al producto del área de
la sección transversal dada por la distancia recorrida por su centroide en una
revolución completa. Sin embargo, el volumen se puede determinar más fácilmente si se observa que la sección transversal se puede transformar a partir del rectángulo I, cuya área es positiva y del rectángulo II, cuya área es negativa.

365 mm

I
II

Área, mm2 y , mm

Distancia viajada
por C, mm

5 000
1 800

2 (375) 2 356 (5 000)(2 356) 11.78 106
2 (365) 2 293 ( 1 800)(2 293) 4.13 106

375
365

Volumen, mm3

Volumen de la corona 7.65 106
Como 1 mm 10 3 m, se tiene que 1 mm3 (10 3 m)3 10 9 m3, y se
obtiene V 7.65 106 mm3 (7.65 106)(10 9 m3) 7.65 10 3 m3.
m V (7.85 103 kg/m3)(7.65 10 3 m3)
W mg (60.0 kg)(9.81 m/s2) 589 kg m/s2

m 60.0 kg
W 589 N

PROBLEMA RESUELTO 5.8
Con los teoremas de Pappus-Guldinus, determine: a) el centroide de un área
semicircular y b) el centroide de un arco semicircular. Se debe recordar que
el volumen y el área superficial de una esfera son, respectivamente, 43 r3 y
4 r2.

A = ␲r
2
r

SOLUCIÓN

2

⎯y
x
L = ␲r

r

⎯y
x

242

El volumen de una esfera es igual al producto del área de un semicírculo y
la distancia recorrida por el centroide del semicírculo en una revolución
alrededor del eje x.
4r
4
1
r3 2 y( r2)

V 2 y A
2
y
3
3
De la misma forma, el área superficial de una esfera es igual al producto de
la longitud del semicírculo generatriz por la distancia recorrida por su centroide en una revolución.
2r
A 2 y
4 r2 2 y
L
( r)
y

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Page 243

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
EN FORMA INDEPENDIENTE
En los problemas propuestos correspondientes a esta lección se usarán las ecuaciones

x dA
xL x dL

x A

y dA
y L y dL
yA

(5.3)
(5.4)

para localizar, respectivamente, los centroides de áreas y líneas planas. Además, se aplicarán los teoremas de Pappus-Guldinus (sección 5.7) para determinar las áreas de superficie de revolución y los volúmenes de cuerpos de revolución.
1. Determinación de los centroides de áreas y líneas por integración directa.
Cuando se resuelven problemas de este tipo, se debe seguir el método de solución mostrado en los problemas resueltos 5.4 y 5.5: calcular A o L, determinar los primeros momentos del área o de la línea y resolver las ecuaciones (5.3) o (5.4) para las coordenadas del centroide. Además, se debe poner atención especial en los siguientes puntos.
a) La solución se inicia con la definición o determinación cuidadosa de cada término en las integrales de las fórmulas aplicables. Es bastante recomendable mostrar en
el esquema del área o de la línea dada la elección que se ha hecho para dA o para dL
y las distancias a su centroide.
b) Como se explicó en la sección 5.6, la x y la y en las ecuaciones anteriores representan las coordenadas del centroide de los elementos diferenciales dA y dL. Es importante reconocer que las coordenadas del centroide de dA no son iguales a las coordenadas de un punto localizado sobre la curva que limita al área en consideración. Se
debe estudiar con detalle la fıgura 5.12 hasta que se comprenda en forma cabal este
punto que es tan importante.
c) Para tratar de simplifıcar o minimizar los cálculos, siempre se debe examinar la
forma del área o de la línea dada antes de defınir el elemento diferencial que se utilizará. Por ejemplo, algunas veces es preferible utilizar elementos rectangulares que sean
horizontales en lugar de verticales. Por lo general es mejor emplear coordenadas polares cuando una línea o un área tienen simetría circular.
d) A pesar de que la mayoría de las integraciones en esta lección son sencillas, en
algunas ocasiones es posible que se tengan que utilizar técnicas más avanzadas como la
sustitución trigonométrica o la integración por partes. Por supuesto, emplear una tabla
de integrales es el método más rápido para evaluar integrales difíciles.
2. Aplicación de los teoremas de Pappus-Guldinus. Como se mostró en los problemas resueltos 5.6 al 5.8, estos teoromas, que son simples pero muy útiles, permiten
aplicar el conocimiento sobre centroides para el cálculo de áreas y volúmenes. A pesar
de que los teoremas hacen referencia a la distancia recorrida por el centroide y a la
longitud de la curva generatriz o del área generatriz, las ecuaciones resultantes [ecuaciones (5.10) y (5.11)] contienen los productos de estas cantidades, los cuales son simplemente los primeros momentos de una línea (y
L) y de un área (y
A), respectivamente. Por tanto, para aquellos problemas en los cuales la línea o el área generatriz consista
de más de una forma común, sólo se necesita determinar yL o y A; de esta manera, no
se tiene que calcular la longitud de la curva generatriz o el área generatriz.

243

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Problemas

5.31 a 5.33 Determine por integración directa el centroide del área
mostrada en cada figura. Exprese la respuesta en términos de a y h.
y

y

a

a
y

x = k2

y3

y = h(1 – kx3)
h

h

h
x

a

Figura P5.31

y = k1x3

x

x

Figura P5.32

Figura P5.33

5.34 a 5.36 Determine por integración directa el centroide del área
mostrada en cada figura.
y

y
y
x2
a2

+

y2
b2

=1
a

b
r1

R

r2
x

a

Figura P5.34

a
R

x
x

Figura P5.35

Figura P5.36

5.37 y 5.38 Determine por integración directa el centroide del área
mostrada en cada figura. Exprese la respuesta en términos de a y b.
y
a
y = k2 x 2
b
y

x
y = k(x – a)2
y = k1x3

b

a
Figura P5.37

244

x
Figura P5.38

2b

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Problemas

5.39 Determine por integración directa el centroide del área mostrada
en la figura.

2
y = h 1 + x – 2 x2
L
L

(

y

5.40 y 5.41 Determine por integración directa el centroide del área
mostrada en cada figura. Exprese la respuesta en términos de a y b.

(

h
y

y

y = 2b(1 – kx 2)
b

b
2

2b

b
2
a

Figura P5.39

x

a
2

a
2

x

a

x

L

x = ky2

Figura P5.41

Figura P5.40

5.42 y 5.43 Un alambre homogéneo se dobla en la forma indicada
por la figura. Determine por integración directa la coordenada x de su centroide.

y
y

r

␲
x = a cos3 θ
0≤θ≤ 2
y = a sen3 θ

45°
45°

x

a

x
a
Figura P5.43

Figura P5.42

*5.44 Un alambre homogéneo se dobla en la forma indicada por la figura. Determine por integración directa la coordenada x de su centroide. Exprese la respuesta en términos de a.
*5.45 y *5.46 Determine por integración directa el centroide del área
mostrada en la figura.

y
a
y = kx2
a

y

x
y = x sen␲ x
L

Figura P5.44

y
r = R cos 2θ
45°

L
2

θ

O

L
2
Figura P5.45

x

x

45°
Figura P5.46

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5.47 Determine el volumen y el área de la superficie del sólido que
se obtiene al rotar el área del problema 5.2 respecto a a) el eje x, b) la línea
x 19 in.

Fuerzas distribuidas: centroides y centros
de gravedad

y

A'

B'

b
x
a

a

A

Figura P5.50

R

B

5.49 Determine el volumen y el área de la superficie del sólido que
se obtiene al rotar el área del problema 5.1 respecto a a) el eje x, b) la línea
x 400 mm.
5.50 Determine el volumen del sólido que se genera al rotar el área
semielíptica mostrada en la figura respecto a a) el eje AA , b) el eje BB , c)
el eje y.
5.51 Si R 0.75 in. y L 3 in, determine el volumen y el área de la
superficie del eslabón de cadena mostrado en la figura, el cual fue hecho a
partir de una barra de 0.5 in. de diámetro.

L

R

a

5.48 Determine el volumen y el área de la superficie del sólido que
se obtiene al rotar el área del problema 5.4 respecto a a) el eje y, b) la línea
y 40 in.

5.52 Verifique si las expresiones para los volúmenes de las primeras
cuatro formas dadas en la figura 5.21 de la página 261 son correctas.

Figura P5.51

5.53 Se taladra un agujero de 15 mm de diámetro en una pieza de
acero de 20 mm de espesor, y después se avellana como indica la figura. Determine el volumen de acero removido durante el proceso de avellanado.

90°
25 mm

20 mm

5.54 Tres perfiles diferentes de bandas motrices se someten a un estudio. Si, en todo momento, las bandas hacen contacto con la mitad de la circunferencia de su polea, determine el área de contacto que hay entre la banda
y la polea en cada diseño.
40
40

0.625 in.

15 mm
Figura P5.53

0.08 in.

r = 0.25 in.

0.375 in.
0.125 in.
3 in.

3 in.

3 in.

a)

b)

c)

Figura P5.54

5.55 Determine el volumen y el área de la superficie del cuerpo que
se muestra en la figura.
52 mm

42 mm

60 mm
20 mm
Figura P5.55

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Problemas

5.56 El escudete (una placa decorativa colocada sobre la parte de tubería que sale de una pared) fue moldeado en latón como indica la figura.
Si la densidad del latón es de 8 470 kg/m3, determine la masa del escudete.

75 mm
75 mm

5.57 La cubierta redondeada de una mesa de madera tiene el perfil
que muestra la figura. Si el diámetro de la cubierta es de 44 in. antes de darle forma, y el peso específico de la madera es de 0.025 lb/in3, determine el
peso del desperdicio que resulta de la producción de 5 000 cubiertas.
21.9 in.

0.5 in.

0.75 in.
Figura P5.57 y P5.58

5.58 La cubierta redondeada de una mesa de madera tiene la forma
que muestra la figura. Si a cada cubierta se le aplican tres capas de laca y
cada litro de laca cubre 500 ft2 de material, determine la cantidad de galones
de laca requeridos para darle este acabado a 5 000 cubiertas.
5.59 El reflector de aluminio de una pequeña lámpara de alta intensidad tiene espesor uniforme de 1 mm. Si la densidad del aluminio es de
2 800 kg/m3, determine la masa del reflector.

56 mm 32 mm 26 mm

66 mm

32 mm
28 mm
8 mm
Figura P5.59

*5.60 El reflector de una pequeña linterna eléctrica tiene la forma parabólica que muestra la figura. Determine el área de la superficie interior
del reflector.
y
15 mm

x = ky2

12.5 mm
x

7.5 mm
12.5 mm

Figura P5.60

26°
26°

Figura P5.56

21.9 in.

7.5 mm

25 mm

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Fuerzas distribuidas: centroides y centros
de gravedad

El concepto del centroide de un área puede utilizarse para resolver
otros problemas distintos a los relacionados con los pesos de placas planas. Por ejemplo, considérese una viga que soporta una carga distribuida; esta carga puede estar constituida por el peso de los materiales
soportados directa o indirectamente por la viga o puede ser ocasionada por el viento o por una presión hidrostática. La carga distribuida
puede representarse al graficar la carga w soportada por unidad de longitud (figura 5.17); esta carga está expresada en N/m o en lb/ft. La magnitud de la fuerza ejercida sobre un elemento de viga de longitud dx
es dW w dx, y la carga total soportada por la viga es

w
dW

*5.8. CARGAS DISTRIBUIDAS EN VIGAS

dW = dA

w
O

B

dx

x

W



L

w dx

0

x

Se observa que el producto w dx es igual en magnitud al elemento de
área dA mostrado en la figura 5.17a. Por tanto, la carga W es igual en
magnitud al área total A bajo la curva de carga:

L
a)
w

W

W

=

W=A

⎯x

C

O

P

B

x

L
b)
Figura 5.17

dA A

Ahora se procede a determinar dónde debe aplicarse, sobre la viga, una sola carga concentrada W, de la misma magnitud W que la carga distribuida total, si se deben producir las mismas reacciones en los
apoyos (figura 5.17b). Sin embargo, debe aclararse que esta carga concentrada W, la cual representa la resultante de la carga distribuida dada, es equivalente a esta última sólo cuando se considera el diagrama
de cuerpo libre de toda la viga. El punto de aplicación P de la carga
concentrada equivalente W se obtiene expresando que el momento de
W con respecto a un punto O es igual a la suma de los momentos de
las cargas elementales dW con respecto a O:

(OP)W

x dW

o, como dW w dx dA y W A,

(OP)A

Fotografía 5.3 Los techos de las
construcciones que se muestran en la fotografía
pueden ser capaces de soportar no sólo el peso
de la nieve, sino también las cargas distribuidas
no simétricas causadas por el amontonamiento
de la nieve.



L

0

x dA

(5.12)

Puesto que la integral representa el primer momento con respecto al
eje w del área bajo la curva de carga, ésta puede ser reemplazada por
el producto xA. Por tanto, se tiene que OP x, donde x es la distancia desde el eje w hasta el centroide C del área A (nótese que dicho
centroide no es el centroide de la viga).
En este sentido, una carga distribuida que actúa sobre una viga
puede reemplazarse por una carga concentrada, la magnitud de dicha
carga es igual al área bajo la curva de carga y su línea de acción pasa
a través del centroide de dicha área. Sin embargo, se debe señalar que
la carga concentrada es equivalente a la carga distribuida dada sólo en
lo que respecta a las fuerzas externas. Esta carga concentrada puede
utilizarse para determinar reacciones pero no debe ser empleada para
calcular fuerzas internas y deflexiones.

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5.9. Fuerzas sobre superficies sumergidas

*5.9. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS

El procediamiento usado en la sección anterior puede emplearse para
determinar la resultante de las fuerzas de presión hidrostática ejercidas sobre una superficie rectangular sumergida en un líquido. Considérese la placa rectangular mostrada en la figura 5.18, la cual tiene una
longitud L y un ancho b, donde b se mide perpendicular al plano de
la figura. Como se señaló en la sección 5.8, la carga ejercida sobre un
elemento de la placa de longitud dx es w dx, donde w es la carga por
unidad de longitud. Sin embargo, esta carga también puede expresarse como p dA pb dx, donde p es la presión manométrica en el líquido† y b es el ancho de la placa; por tanto, w bp. Como la presión
manométrica en un líquido es p h, donde es el peso específıco
del líquido y h es la distancia vertical a partir de la superficie libre, se
concluye que

w bp b h

(5.13)

lo cual demuestra que la carga por unidad de longitud w es proporcional a h y, por tanto, varía linealmente con x.
De acuerdo con los resultados de la sección 5.8, se observa que la
resultante R de las fuerzas hidrostáticas ejercidas sobre un lado de
la placa es igual en magnitud al área trapezoidal bajo la curva de carga y
su línea de acción pasa a través del centroide C de dicha área. El punto
P de la placa donde se aplica R se conoce como el centro de presión.‡
A continuación se consideran las fuerzas ejercidas por un líquido
sobre una superfıcie curva de ancho constante (figura 5.19a). Como la
determinación por integración directa de la resultante R de dichas fuerzas podría no ser fácil, se considera el cuerpo libre obtenido por la separación del volumen de líquido ABD el cual está limitado por la superficie curva AB y por las dos superficies planas AD y DB como se
muestra en la fıgura 5.19b. Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre ABD son el peso W del volumen de líquido separado, la resultante R1 de las fuerzas ejercidas sobre AD, la resultante R2 de las fuerzas
ejercidas sobre BD y la resultante R de las fuerzas ejercidas por la
superficie curva sobre el liíquido. La resultante R es igual y opuesta
y tiene la misma línea de acción que la resultante R de las fuerzas ejercidas por el líquido sobre la superficie curva. Las fuerzas W, R1 y R2
se pueden determinar mediante los métodos convencionales; una vez
que se han encontrado estos valores, la fuerza R se obtiene al resolver las ecuaciones de equilibrio para el cuerpo libre de la figura 5.19b.
Entonces la resultante R de las fuerzas hidrostáticas ejercidas sobre la
superficie curva se obtienen invirtiendo el sentido de R.
Los métodos presentados en esta sección pueden emplearse para
determinar la resultante de las fuerzas hidrostáticas ejercidas sobre las
superfıcies de presas y de compuertas rectangulares y álabes. Las resultantes de las fuerzas que actúan sobre superficies sumergidas de ancho variable se determinarán en el capítulo 9.

R

w

A

249

x

C

dx

E
P

L

B

Figura 5.18

A

R

B
a)

R1
A

D
R2
B

–R

W
b)

Figura 5.19

†
La presión p, la eual representa una carga por unidad de área, se expresa en N/m2 o
en lb/ft2. La unidad derivada del SI N/m2 recibe el nombre de pascal (Pa).
‡
Observe que el área bajo la curva de carga es igual a wEL, donde wE es la carga por unidad
de longitud en el centro E de la placa y de acuerdo con la ecuación (5.13), se puede escribir

R wEL (bpE)L pE (bL) pEA
donde A representa el área de la placa. Por tanto, se puede obtener la magnitud de R si
se multiplica el área de la placa por la presión en su centro E. Sin embargo, la resultante
R debe ser aplicada en P, no en E.

Fotografía 5.4 Como se expuso en esta
sección, la presa Grand Coulee soporta tres
diferentes tipos de cargas distribuidas: los pesos
de los elementos que la constituyen, las fuerzas
de presión ejercidas por el agua sobre su cara
sumergida y las fuerzas de presión ejercidas por
el suelo sobre su base.

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wB = 4 500 N/m
wA = 1500 N/m

A

B

PROBLEMA RESUELTO 5.9
Una viga soporta una carga distribuida como lo muestra la figura; a) determine la carga concentrada equivalente y b) determine las reacciones en los
apoyos.

L=6m

SOLUCIÓN
⎯x = 4 m
II

4.5 kN/m

1.5 kN/m I

x

⎯x = 2 m

6m

a) Carga concentrada equivalente. La magnitud de la resultante de
la carga es igual al área bajo la curva de carga y la línea de acción de la resultante pasa a través del centroide de dicha área. Se divide el área bajo la
curva de carga en dos triángulos y se construye la tabla que se presenta a
continuación. Para simplificar los cálculos y la tabulación, las cargas por
unidad de longitud dadas se han convertido a kN/m.

Componente

A, kN

Triángulo I
Triángulo II

x , m

4.5
13.5

2
4

A 18.0
18 kN
⎯X = 3.5 m

Por lo tanto,

X
A xA:

x A, kN m

9
54
x A 63

X
(18 kN) 63 kN m


X 3.5 m

La carga concentrada equivalente es
A

W 18 kNw

B

y su línea de acción está localizada a una distancia
X 3.5 m a la derecha de A


4.5 kN

13.5 kN

Bx
By

A
2m

b) Reacciones. La reacción en A es vertical y se representa con A; la
reacción en B está representada por sus componentes Bx y By. Como se
muestra en la figura, la carga dada se puede considerar como la suma de dos
cargas triangulares. La resultante de cada carga triangular es igual al área del
triángulo y actúa en su centroide. Se escriben las siguientes ecuaciones de
equilibrio para el cuerpo libre mostrado:

Fx 0:
y

l MA 0:

Bx 0
(4.5 kN)(2 m) (13.5 kN)(4 m) By(6 m) 0

4m

By 10.5 kNx

6m

l MB 0:

(4.5 kN)(4 m) (13.5 kN)(2 m) A(6 m) 0
A 7.5 kNx

Solución alternativa. La carga distribuida dada se puede reemplazar
por su resultante, la cual se determinó en la parte a. Las reacciones pueden
determinarse con las ecuaciones de equilibrio Fx 0, MA 0 y MB 0.
De nuevo se obtiene
Bx 0

250

By 10.5 kNx

A 7.5 kNx

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5 ft

9 ft

Page 251

PROBLEMA RESUELTO 5.10

10 ft

La sección transversal de una presa de concreto es como se muestra en la
figura. Considere una sección de la presa de 1 ft de espesor y determine:
a) la resultante de las fuerzas de reacción ejercidas por el suelo sobre la base
AB de la presa y b) la resultante de las fuerzas de presión ejercidas por
el agua sobre la cara BC de la presa. Los pesos específicos del concreto y del
agua son, respectivamente, 150 lb/ft3 y 62.4 lb/ft3.

C
Vértice
Parábola
22 ft

18 ft

A

B

SOLUCIÓN
y

2.5 ft
9 ft

4 ft

6 ft
F

E

C

6 ft

D

22 ft

W4
W2

A

H

x

B

14 ft

M

6 ft

W3

W1

a) Reacción del suelo. Se selecciona como cuerpo libre la sección
de 1 ft de espesor AEFCDB de la presa y el agua. Las fuerzas de reacción
ejercidas por el suelo sobre la base AB están representadas por un sistema
equivalente fuerza-par en A. Otras fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre
son el peso de la presa, representado con los pesos de sus componentes W1,
W2 y W3; el peso del agua W4 y la resultante P de las fuerzas de presión
ejercidas sobre la sección BD por el agua que se encuentra a la derecha de
18 ft
dicha sección. Así se tiene
P

w = bp
= (1 ft)(18 ft)(62.4 lb/ft 3)

3 ft

V

W1 12 (9 ft)(22 ft)(1 ft)(150 lb/ft3) 14 850 lb
W2 (5 ft)(22 ft)(1 ft)(150 lb/ft3) 16 500 lb
W3 13 (10 ft)(18 ft)(1 ft)(150 lb/ft3) 9 000 lb
W4 23 (10 ft)(18 ft)(1 ft)(62.4 lb/ft3) 7 488 lb
P 12 (18 ft)(1 ft)(18 ft)(62.4 lb/ft3) 10 109 lb

Ecuaciones de equilibrio


y Fx 0:
x Fy 0:

H 10 109 lb 0

H 10 110 lb y

V 14 850 lb 16 500 lb 9 000 lb 7 488 lb 0
V 47 840 lbx

l MA 0:

(14 850 lb)(6 ft) (16 500 lb)(11.5 ft) (9 000 lb)(17 ft)
(7 488 lb)(20 ft) (10 109 lb)(6 ft) M 0
M 520 960 lb ft l

Se puede reemplazar el sistema fuerza-par obtenido por una fuerza que actúa a una distancia d a la derecha de A, donde
520 960 lb ft
d 10.89 ft
47 840 lb

y
4 ft
C

D

–R
a

W4

W4 =
7 488 lb

P = 10 109 lb
–R

P

G

6 ft
B

a = 36.5
R = 12 580 lb
x

b) Resultante R de las fuerzas ejercidas por el agua. Se elige
como cuerpo libre la sección parabólica de agua BCD. Las fuerzas involucradas son la resultante R de las fuerzas ejercidas por la presa sobre el
agua, el peso W4 y la fuerza P. Como estas fuerzas deben ser concurrentes,
R pasa a través del punto de intersección G de W4 y P. Se dibuja un triángulo de fuerzas a partir del cual se determinan la magnitud y la dirección de
R. La resultante R de las fuerzas ejercidas por el agua sobre la cara BC es
igual y opuesta:
R 12 580 lb d36.5°

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
EN FORMA INDEPENDIENTE
Los problemas en esta lección involucran dos tipos de cargas comunes muy importantes: cargas distribuidas sobre vigas y fuerzas sobre superficies sumergidas de ancho constante. Como se estudió en las secciones 5.8 y 5.9 y se ilustró en los problemas resueltos 5.9 y 5.10, la determinación de la fuerza equivalente única para
cada una de estas cargas requiere conocimiento sobre centroides.
1. Análisis de vigas sujetas a cargas distribuidas. En la sección 5.8 se demostró que una carga distribuida que actúa sobre una viga puede reemplazarse por
una fuerza equivalente. La magnitud de dicha fuerza es igual al área bajo la curva
de la carga distribuida y su línea de acción pasa a través del centroide de dicha área.
Por tanto, la solución debe comenzar reemplazando las diversas cargas distribuidas
que actúan sobre una viga dada, por sus respectivas fuerzas equivalentes. Entonces, las reacciones en los apoyos de la viga pueden determinarse empleando los métodos del capítulo 4.
Cuando sea posible, las cargas distribuidas complejas deben dividirse en áreas que
correspondan a las formas comunes mostradas en la figura 5.8A [problema resuelto 5.9]. Entonces, cada una de estas áreas se puede reemplazar por una sola fuerza equivalente. Si así se requiere, el sistema de fuerzas equivalentes puede reducirse aún más a una sola fuerza equivalente. A medida que se estudie el problema
resuelto 5.9, observe cómo se ha utilizado la analogía entre fuerza y área y las técnicas para localizar el centroide de áreas compuestas para analizar una viga sujeta
a una carga distribuida.
2. Resolución de problemas que involucran fuerzas que actúan sobre cuerpos sumergidos. Se deben recordar los siguientes puntos y las siguientes técnicas al momento de resolver problemas de este tipo.
a) La presión p a una profundidad h por debajo de la superficie libre de un líquido es igual a h o gh, donde y son, respectivamente, el peso específico y
la densidad del líquido. Por tanto, la carga por unidad de longitud w que actúa sobre una superficie sumergida de ancho constante b está dada por
w bp b h b gh
b) La línea de acción de la fuerza resultante R que actúa sobre una superficie
plana sumergida es perpendicular a dicha superficie.
c) Para una superfıcie rectangular plana vertical o inclinada de ancho b, la carga
que actúa sobre la superficie puede representarse por medio de una carga linealmente distribuida que tiene forma trapezoidal (figura 5.18). Además, la magnitud
de R está dada por
R hEA
donde hE es la distancia vertical al centro de la superficie y A es el área de la superficie.

252

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Page 253

d) En virtud de que la presión del líquido en la superficie libre del mismo es
igua a cero, la curva de carga será triangular (en lugar de trapezoidal) cuando el
borde superior de una superfıcie rectangular plana coincida con la superficie libre
del líquido. Para este caso, la línea de acción de R puede determinarse fácilmente
debido a que pasa a través del centroide de una carga distribuida triangular.
e) Para el caso general, en lugar de analizar un trapezoide, se sugiere que se
use el método señalado en la parte b del problema resuelto 5.9. Primero se divide
a la carga distribuida trapezoidal en dos triángulos y, entonces, se calcula la magnitud de la resultante de cada carga triangular. (La magnitud es igual al producto del
área del triángulo por el ancho de la placa.) Observe que la línea de acción de cada fuerza resultante pasa a través del centroide del triángulo correspondiente y que
la suma de dichas fuerzas es equivalente a R. Por tanto, en lugar de utilizar R, se
pueden usar las dos fuerzas resultantes equivalentes cuyos puntos de aplicación pueden determinarse fácilmente. Por supuesto, la ecuación dada para R en el párrafo
c se debe utilizar cuando sólo se necesite conocer la magnitud de R.
f ) Cuando la superficie sumergida de ancho constante es curva, la fuerza resultante que actúa sobre la superficie se obtiene al considerar el equilibrio del volumen, del líquido, limitado por la superfıcie curva y por planos horizontales y verticales (figura 5.19). Obsérvese que la fuerza R1 de la figura 5.19 es igual al peso
del líquido que se encuentra por encima del plano AD. El método de solución para problemas que involucran superfıcies curvas se muestra en la parte b del problema resuelto 5.10.
En los cursos subsecuentes de mecánica (en particular el curso de mecánica de materiales y el curso de mecánica de fluidos) se tendrá una oportunidad amplia de utilizar las ideas presentadas en esta lección.

253

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Page 254

Problemas

5.61 y 5.62 Para la viga y las cargas mostradas en cada figura, determine a) magnitud y localización de la resultante de la carga distribuida, b)
las reacciones en los apoyos de la viga.
Parábola
Vértice
80 lb/ft
600 N/m

240 N/m
B

A
2m

20 lb/ft
B

A

4.2 m

18 ft
Figura P5.62

Figura P5.61

5.63 a 5.68 Para las cargas dadas, determine las reacciones en los
apoyos de cada viga.

3 kN/m

1.8 kN/m

1.5 kN/m

A
B

B

A

1.2 m
1.6 m

3.6 m

0.8 m

2.4 m

1.6 m

Figura P5.64

Figura P5.63

240 lb/ft
90 lb/ft
B

A

A

B
30 lb/ft

180 lb/ft
4.8 ft

1.5 ft

3.6 ft

Figura P5.65

Figura P5.66

Vértice

Parábolas

Parábola

Vértices
120 lb/ft

7.5 kN/m
A

B

Figura P5.67

2.4 m

45 lb/ft
B

A

1.5 kN/m
0.3 m

0.6 m
3.2 ft
Figura P5.68

254

4.5 ft

2.4 ft

1.6 ft

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Page 255

5.69 Para la carga aplicada en la viga que se muestra en la figura, determine las reacciones en los apoyos, cuando w0 1.5 kN/m.
3.5 kN/m
w0
D

50 kN â‹… m

A

B

C
6m

2m

1m

Figura P5.69 y P5.70

5.70 Determine a) la carga distribuida w0 en el extremo D de la viga
ABCD para la cual la reacción en B es cero, b) la reacción correspondiente
en C.
5.71 Si w 300 N/m, determine a) la distancia mínima a para la cual
la reacción vertical en el apoyo B es igual a A, b) las reacciones correspondientes en los apoyos.

2.7 kN/m

w
A

B
a
8m

Figura P5.71 y P5.72

5.72 Si w 300 N/m, determine a) la distancia a para la cual la razón
de la reacción vertical en el apoyo B respecto a la reacción vertical en el soporte A es máxima, b) las reacciones correspondientes en los apoyos.
5.73 Una viga de nivel AB soporta tres cargas concentradas y descansa sobre el suelo encima de una roca grande. El suelo ejerce una carga distribuida hacia arriba, y la roca ejerce una carga concentrada RR como indica la figura. Si P 1 kip y wB 1⁄2 wA, determine los valores de wA y RR
correspondientes al estado de equilibrio.

1.5 ft

1.2 ft

4.5 ft
6 kips

4.5 kips

A
wA

P
B
wB

RR
3.6 ft

5.4 ft

Figura P5.73 y P5.74

5.74 Una viga de nivel AB soporta tres cargas concentradas y descansa
sobre el suelo encima de una roca grande. El suelo ejerce una carga distribuida hacia arriba, y la roca ejerce una carga concentrada RR como indica
la figura. Si wB 0.4wA, determine a) el valor máximo de P en el cual la
viga está equilibrada, b) el valor correspondiente de wA.

Problemas

255

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Fuerzas distribuidas: centroides y centros
de gravedad

En los problemas siguientes, debe usarse 62.4 lb/ft3 para el peso específico del agua dulce c 150 lb/ft3 para el peso específico del concreto
cuando se utilicen las unidades del sistema inglés. Al emplear unidades SI,
se debe utilizar 103 kg/m3 para la densidad del agua dulce y c 2.40
103 kg/m3 para la densidad del concreto. (Vea la nota al pie de la página
222 para saber cómo se determina el peso específico de un material a partir
de su densidad.)
5.75 y 5.76 La sección transversal de un dique de concreto tiene la
forma que se muestra en la figura. Para una sección del dique de una unidad
de ancho, determine a) las fuerzas de reacción ejercidas por el suelo sobre
la base AB del dique, b) el punto de aplicación de la resultante de las fuerzas
de reacción encontradas en el inciso a), c) la resultante de las fuerzas de presión ejercidas por el agua sobre la cara BD del dique.

18 ft

10.5 ft

3 ft

D

Parábola

C

2m

5m
Vértice

D

Parábola

C

21 ft
24 ft
9 ft

4m

B

A

8m

6m
A

B

Figura P5.75

Vértice
Figura P5.76

5.77 Una válvula automática consiste en una placa cuadrada de 225
225 mm pivoteada respecto a un eje horizontal a través de A, localizado a
una distancia h 90 mm por encima del borde inferior. Determine la profundidad d del agua para la cual la válvula se abrirá.

d
A 225 mm
h

B

Figura P5.77 y P5.78

Océano

Marisma
d = 9 ft
A

h = 6 ft
B

Figura P5.79

3 ft

5.78 Una válvula automática consiste en una placa cuadrada de 225
225 mm pivoteada respecto a un eje horizontal a través de A. Si la válvula se
abre cuando la profundidad del agua es d 450 mm, determine la distancia h desde la parte baja de la válvula hasta el pivote A.
5.79 Una marisma de agua dulce drena hacia el océano a través de
una compuerta de marea automática que tiene 4 ft de ancho y 3 ft de alto.
La compuerta se sostiene mediante bisagras ubicadas a lo largo de su borde
superior en A y se apoya sobre un tope en B. En un momento determinado,
los niveles de agua en la marisma y el océano son h 6 ft y d 9 ft, respectivamente. Determine la fuerza ejercida por el tope sobre la compuerta
en B y la reacción de las bisagras en A. (El peso específico del agua salada
es de 64 lb/ft3.)

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Problemas

5.80 El dique de un lago se diseña para soportar la fuerza adicional
producida por el sedimento acumulado en el fondo del lago. Si la densidad
del sedimento es equivalente a la de un líquido con densidad s 1.76
103 kg/m3 y considerando que el ancho del dique es de 1 m, determine el
porcentaje de incremento en la fuerza que actúa sobre la cara del dique cuando se tiene una acumulación de sedimento de 1.5 m de profundidad.

Agua
6m
Sedimento

Figura P5.80 y P5.81

5.81 La base del dique de un lago se diseña para soportar hasta el 150
por ciento de la fuerza horizontal ejercida por el agua. Después de su construcción, se descubrió que se está acumulando sedimento (el cual es equivalente a un líquido de densidad s 1.76 103 kg/m3) en el fondo del lago
a razón de 20 mm/año. Si el ancho del dique mide 1 m, determine el número de años que deben transcurrir para que el dique se vuelva inseguro.
5.82 En un canal de agua dulce, de 1.5 m de ancho, se construye un
dique temporal clavando dos tablas a los pilotes ubicados a los lados del canal y apuntalando una tercera tabla AB contra los pilotes y el piso del canal.
Sin tomar en cuenta la fricción BC, determine a) la fuerza horizontal ejercida sobre la tabla AB por cada uno de los pilotes, b) la fuerza vertical que se
ejerce sobre la superficie de la tabla AB, c) la reacción en B.

C

0.6 m
1m

A

B
0.3 m
Figura P5.82 y P5.83
A

5.83 En un canal de agua dulce, de 1.5 m de ancho, se construye un
dique temporal clavando dos tablas a los pilotes ubicados a los lados del canal y apuntalando una tercera tabla AB contra los pilotes y el piso del canal.
Sin tomar en cuenta la fricción, determine la magnitud y la dirección de la
tensión mínima requerida en la cuerda BC para mover la tabla AB.
5.84 La compuerta AB está situada al final del canal de agua de 6 ft
de ancho y se mantiene en la posición mostrada en la figura mediante bisagras instaladas a lo largo de su extremo superior A. Si el piso del canal no
tiene fricción, determine las reacciones en A y B.

6 ft
10 ft
4 ft
B
3 ft
Figura P5.84

257

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Fuerzas distribuidas: centroides y centros
de gravedad

30 in.

d

C
B

h
A

16 in.
Figura P5.85 y P5.86

5.85 Al final de un canal de agua dulce se encuentra una compuerta
en forma de prisma que está sostenida por medio de un pasador y una ménsula colocados en A y descansa sin fricción sobre un soporte ubicado en B.
El pasador se localiza a una distancia de h 4 in. por abajo del centro de
gravedad C de la compuerta. Determine la profundidad del agua d para la
cual se abrirá la compuerta.
5.86 Al final de un canal de agua dulce se encuentra una compuerta
en forma de prisma que está sostenida por medio de un pasador y una ménsula colocados en A y descansa sin fricción sobre un soporte puesto en B.
Determine la distancia h si la compuerta debe abrirse cuando d 30 in..
5.87 Una compuerta colocada en el extremo de un canal de agua dulce de 1 m de ancho fue fabricada con tres placas de acero rectangulares de
125 kg cada una. La compuerta está articulada en A y descansa sin fricción
sobre un apoyo puesto en D. Si d 0.75 m, determine las reacciones en A
y D.
D

0.6 m

0.6 m
B
d

C
0.6 m
A

Figura P5.87 y P5.88

5.88 Una compuerta colocada en el extremo de un canal de agua dulce
de 1 m de ancho fue fabricada con tres placas de acero rectangulares de 125
kg cada una. La compuerta está articulada en A y descansa sin fricción sobre un apoyo colocado en D. Determine la profundidad d del agua para la
cual se abrirá la compuerta.
5.89 Un canalón para lluvia se sostiene del techo de una casa mediante ganchos espaciados 24 in. entre sí. Este canalón se obstruye y poco a poco se llena con agua de lluvia. Si el canalón está lleno de agua, determine a)
la resultante de las fuerzas de presión ejercidas por el agua sobre una sección de 24 in. de la superficie curva del canalón que se muestra en la figura, b) el sistema fuerza-par ejercido sobre uno de los ganchos que sostienen
al canalón.

2.25 in.

Vértice

3 in.

Parábola

Figura P5.89

4.5 in.

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5.10. Centro de gravedad de un cuerpo
tridimensional. Centroide de un volumen

VOLÚMENES

259

5.10. CENTRO DE GRAVEDAD DE UN CUERPO
TRIDIMENSIONAL. CENTROIDE DE UN VOLUMEN

El centro de gravedad G de un cuerpo tridimensional se obtiene dividiendo el cuerpo en pequeños elementos y expresando que el peso W
del cuerpo actuando en G es equivalente al sistema de fuerzas distribuidas W que representan a los pesos de los elementos pequeños.
Al seleccionar al eje y vertical con un sentido positivo hacia arriba
(fıgura 5.20) y representar con r al vector de posición de G, se escribe
y

y

Fotografía 5.5 Cuando el Boeing 747 fue
modificado para transportar un transbordador
espacial, fue necesario determinar el centro de
gravedad de cada nave para predecir las
características del vuelo.

G

=

r

r
∆W = –∆W j

O
z

O

x
W = –W j

∆W
x

z

Figura 5.20

que W es igual a la suma de los pcsos elementales W y que su momento con respecto a O es igual a la suma de los momentos con respecto a O de los pesos elementales.

F:
MO:

Wj ( Wj)
r ( Wj) [r ( Wj)]

(5.13)

Se reescribe la última ecuación de la siguiente forma

r W ( j) ( r W) ( j)
(5.14)
se observa que el peso W del cuerpo es equivalente al sistema de pesos elementales W si se cumplen las siguientes condiciones:
W W

r W r W
Si se incrementa el número de elementos y al mismo tiempo se disminuye el tamaño de cada uno de ellos, se obtiene en el límite
W

dW

r W

r dW

(5.15)

Se observa que las relaciones obtenidas son independientes de la orientación del cuerpo. Por ejemplo, si el cuerpo y los ejes coordenados fueran rotados de manera que el eje z apuntara hacia arriba, el vector unitario j sería reemplazado por k en las ecuaciones (5.13) y (5.14),
pero las relaciones (5.15) permanecerían intactas. Descomponiendo los
vectores r y r en sus componentes rectangulares, se observa que la segunda de las relaciones (5.15) es equivalente a las tres ecuaciones escalares que se presentan a continuación

x W

x dW

y W

y dW

z W

z dW

(5.16)

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Fuerzas distribuidas: centroides y centros
de gravedad

Si el cuerpo está hecho de un material homogéneo de peso específico
, la magnitud dW del peso de un elemento infinitesimal se puede expresar en términos del volumen dV de dicho elemento y la magnitud W del peso total puede expresarse en términos del volumen total
V. Así, se escribe

dW dV

W V

Sustituyendo a dW y a W en la segunda de las relaciones (5.15), se escribe

r V

r dV

y V

y dV

(5.17)

o, en forma escalar,

x V

x dV

z V

z dV

(5.18)

El punto cuyas coordenadas son x , y y z también se conoce como el
centroide C del volumen V del cuerpo. Si el cuerpo no es homogéneo,
las ecuaciones (5.18) no pueden utilizarse para determinar el centro de
gravedad del mismo; sin embargo, las ecuaciones (5.18) aún definen al
centroide de su volumen.
La integral x dV se conoce como el primer momento del volumen con respecto al plano yz. De manera análoga, las integrales y dV
y z dV definen, respectivamente, los primeros momentos del volumen con respecto al plano zx y al plano xy. A partir de las ecuaciones
(5.18) se observa que si el centroide de un volumen está localizado en
un plano coordenado, el primer momento del volumen con respecto a
dicho plano es igual a cero.
Se dice que un volumen es simétrico con respecto a un plano dado si para cada punto P del volumen existe un punto P del mismo volumen tal que la línea PP es perpendicular al plano dado y está dividida en dos partes por dicho plano. Bajo estas circunstancias, se dice
que el plano en cuestión es un plano de simetna para el volumen dado. Cuando un volumen V posee un plano de simetría, el primer momento de V con respecto a ese plano es igual a cero y el centroide del
volumen está localizado en el plano de simetría. Cuando un volumen
posee dos planos de simetría, el centroide del volumen está localizado
en la línea de intersección de los dos planos. Finalmente, cuando un
volumen tiene tres ejes de simetría que se intersecan en un punto bien
definido (esto es, que no se intersecan a lo largo de una línea común),
el punto de intersección de los tres planos coincide con el centroide
del volumen. Esta propiedad permite determinar la ubicación de los
centroides de esferas, elipsoides, cubos y paralelepípedos rectangulares, entre otros.
Los centroides de volúmenes que no son simétricos o de volúmenes que tienen sólo uno o dos planos de simetría deben determinarse
mediante integración (sección 5.12). Los centroides de varios volúmenes comunes se muestran en la figura 5.21. Se debe observar que, en
general, el centroide de un volumen de revolución no coincide con el
centroide de su sección transversal. Por tanto, el centroide de un hemisferio es diferente al de un área semicircular y el centroide de un
cono es diferente al de un triángulo.

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Forma

⎯x

Volumen

a
C

Semiesfera

3a
8

2
␲ a3
3

3h
8

2
␲ a2h
3

h
3

1
␲ a2h
2

⎯x
h

a
Semielipsoide
de revolución

C

⎯x
h

a
Paraboloide
de revolución

C

⎯x
h
a
h
4

C

Cono

1
␲ a2h
3

⎯x
h

Pirámide

b

C

h
4

1
3

abh

a
⎯x
Figura 5.21 Centroides y volúmenes comunes.

261

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Page 262

Fuerzas distribuidas: centroides y centros
de gravedad

5.11. CUERPOS COMPUESTOS

Si un cuerpo puede dividirse en varias de las formas comunes mostradas
en la figura 5.21, su centro de gravedad G puede determinarse al expresar que el momento con respecto a O de su peso total es igual a la
suma de los momentos con respecto a O de los pesos de las diferentes
partes que lo componen. Si se procede de la misma forma que en la
sección 5.10, se obtienen las siguientes ecuaciones que definen las
coordenadas X
,
YyZ
del centro de gravedad G de un cuerpo.

W x W
X

Y
W y W


Z W z W

(5.19)

Si el cuerpo está hecho de un material homogéneo, su centro de
gravedad coincide con el centroide de su volumen y se obtiene:
z

V x V
X


Y V y
V


Z V z V

(5.20)

P(x,y,z)

5.12. DETERMINACIÓN DE CENTROIDES
DE VOLÚMENES POR INTEGRACIÓN
z

E1 centroide de un volumen limitado por superficies analíticas se puede
determinar al evaluar las integrales dadas en la sección 5.10:

zel
xel

y

yel

x

dy

dx

x el = x, y el = y, z el =
dV = z dx dy

z
2

Figura 5.22 Determinación del centroide de un
volumen por integración doble.

x V

y V

y dV

z V

z dV

(5.21)

Si el elemento de volumen dV se selecciona de manera que sea igual
a un pequeño cubo de lados dx, dy y dz, la evaluación de cada una de
estas integrales requiere una integración triple. Sin embargo, es posible determinar las coordenadas del centroide de la mayoría de los
volúmenes utilizando integración doble si dV se selecciona de tal forma
que sea igual al volumen de un fılamento delgado (figura 5.22). Entonces, las coordenadas del centroide del volumen se obtienen rescribiendo las ecuaciones (5.21),

x V

x

el

dV

y V

y

el

dV

z V

z

el

dV (5.22)

y sustituyendo después las expresiones dadas en la fıgura 5.22 para el
volumen dV y para las coordenadas xel, y el y zel. Si se utiliza la ecuación
de la superfıcie para expresar a z en términos de x y y, la integración
se reduce a una integración doble en x y y.
Si el volumen en consideración posee dos planos de simetría, su
centroide debe estar localizado sobre la línea de intersección de los dos
planos. Seleccionando al eje x de manera que coincida con esta línea
se tiene

y

xel

y z 0
r

z

x dV

dx

x
xel = x
dV = ␲ r 2 dx

Figura 5.23 Determinación del centroide de un
cuerpo de revolución.

y la única coordenada que se tiene que determinar es x . Esto se puede realizar con una sola integración dividiendo el volumen dado en placas delgadas paralelas al plano yz y expresando a dV en términos de x
y dx en la ecuación

x V

x

el

dV

(5.23)

Para un cuerpo de revolución las placas son circulares y sus volúmenes
se dan en la figura 5.23.

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Page 263

y

PROBLEMA RESUELTO 5.11
100 mm

Determine la ubicación del centro de gravedad del cuerpo de revolución homogéneo que se muestra en la figura, el cual se obtuvo al unir una semiesfera y un cilindro y removiendo un cono.

60 mm
x

O
60 mm
z

SOLUCIÓN
Debido a la simetría, el centro de gravedad se encuentra sobre el eje x, como se muestra en la figura que se presenta a continuación. El cuerpo puede obtenerse sumándole una semiesfera a un cilindro y después restándole
un cono. El volumen y la abscisa del centroide de cada una de estas componentes se obtiene a partir de la figura 5.21 y se introduce en la tabla que aparece a continuación. Entonces, se determinan el volumen total del cuerpo y
el primer momento de dicho volumen con respecto al plano yz.

y

y

60 mm
O

3
8

x

(60 mm) = 22.5 mm

+

y

x

O

–

50 mm

x

O

3
4

(100 mm) = 75 mm

Componente Volumen, mm3

Semiesfera
Cilindro
Cono

x , mm x V, mm4

1 4
(60)3 0.4524 106 22.5
2 3
(60)2(100) 1.1310 106 50

(60)2(100) 0.3770 106 75
3
V

1.206 106

10.18 106
56.55 106
28.28 106
x V 18.09 106

Por tanto,
X
V x V:

X
(1.206 106 mm3) 18.09 106 mm4

15 mm
X

263

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Page 264

y

PROBLEMA RESUELTO 5.12
Localice el centro de gravedad del elemento de una máquina hecho de acero
que se muestra en la figura. El diámetro de cada agujero es 1 in.

2.5 in.
4.5 in.

0.5 in.
2 in.
x
1 in.

z

1 in.
2 in.
0.5 in.

1 in.

SOLUCIÓN
4.5 in.

El elemento de máquina se puede obtener sumándole a un paralelepípedo
rectangular (I) un cuarto de cilindro (II) y, entonces, restando dos cilindros
de 1 in. de diámetro (III y IV). Se determinan el volumen y las coordenadas
del centroide de cada componente y se introducen en la tabla que se presenta a continuación. Entonces, al utilizar los datos que están en la tabla se determina el volumen total y los momentos de dicho volumen con respecto a cada
uno de los planos coordenados.

2 in.
I

+

II
2 in.

_

1 in. diám.

_

III

IV
y

y
0.5 in.

4r 4 (2)
=
= 0.8488 in.
3␲ 3␲
x

1 in.
CI, CIII, CIV

2.25 in.

0.25 in.

z
1 in.

CIII

CI

CII

CIV

8
in.
3␲
CII

0.5 in.
2 in.

0.25 in.

I
II
III
IV

1.5 in.

V, in3

x , in.

y , in.

z , in.

x V, in4

y V, in4

(4.5)(2)(0.5) 4.5
1
(2)2(0.5) 1.571
4
(0.5)2(0.5) 0.3927
(0.5)2(0.5) 0.3927

0.25
1.3488
0.25
0.25

1
0.8488
1
1

2.25
0.25
3.5
1.5

1.125
2.119
0.098
0.098

4.5
1.333
0.393
0.393

x V 3.048

y V 5.047

V 5.286

z V, in4

10.125
0.393
1.374
0.589
z V 8.555

Por tanto,
X V x V:


Y V y
V:
V z V:
Z

264

X
(5.286 in3) 3.048 in4
Y
(5.286 in3) 5.047 in4
Z
(5.286 in3) 8.555 in4

X 0.577 in.

0.955 in.
Y
1.618 in.
Z

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Page 265

y

PROBLEMA RESUELTO 5.13
Determine la ubicación del centroide del medio cono circular recto mostrado
en la figura.

h

z
a

x

SOLUCIÓN
y

Como el plano xy es un plano de simetría, el centroide se encuentra en dicho plano y z 0. Se selecciona una placa de espesor dx como el elemento
diferencial. El volumen de dicho elemento es

h
⎯ xel = x

1

dV 2 r2 dx
r

z

a

x

Las coordenadas x el y y el del centroide del elemento son

⎯ yel

4r
yel
3

x el x

donde y el se obtiene a partir de la figura 5.8 (área semicircular).
Se observa que r es proporcional a x y se escribe
r
a

x
h

a
r x
h

Así, el volumen del cuerpo está dado por
V

dV

h

0

1
r2
2

ha x
h

dx

0

a2h
dx
6

2

1

2

El primer momento del elemento diferencial con respecto al plano yz es
xel dV; en consecuencia, el momento total del cuerpo con respecto a ese
mismo plano es

x

el

dV



h

1

x( 2 r2) dx

0



h

0

a
1
x( 2 ) x
h

a2h2
dx
8

2



Por tanto,
x V

x

el

a2h2
a2h
x
6
8

dV

3

x 4 h

En forma similar, el momento del elemento diferencial con respecto al plano
zx es yel dV; en consecuencia, el momento total es

y

el

dV



h

0

4r 1
2
( 2 r2) dx
3
3

ha x
h

0

3

a3h
dx
6

Por tanto,
y V

y

el

dV

a2h
a3 h
y
6
6

a
y


265

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Page 266

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
EN FORMA INDEPENDIENTE
En los problemas correspondientes a esta lección se pedirá localizar los centros de gravedad de cuerpos tridimensionales o los centroides de sus volúmenes. Todas las técnicas que
se presentaron anteriormente para cuerpos bidimensionales, como usar simetría, dividir al
cuerpo en formas comunes, seleccionar el elemento diferencial más eficiente, entre otros,
también pueden aplicarse para el caso tridimensional general.
1. Localización de los centros de gravedad de cuerpos compuestos. En general, se
deben utilizar las ecuaciones (5.19):
X W x W


Y
W y
W

Z
W z W

(5.19)

Sin embargo, para el caso de un cuerpo homogéneo, el centro de gravedad del mismo coincide con el centroide de su volumen. Por tanto, para este caso específico, el centro de gravedad del cuerpo también puede localizarse con las ecuaciones (5.20):
X V x V



Y V y
V

Z
V z V

(5.20)

Debe observarse que estas ecuaciones son sólo una extensión de las ecuaciones utilizadas
para los problemas bidimensionales considerados en secciones anteriores de este mismo capítulo. Como lo ilustran las soluciones de los problemas resueltos 5.11 y 5.12, los métodos
de solución para problemas bidimensionales y tridimensionales son idénticos. Por tanto, de
nuevo se recomienda construir diagramas y tablas apropiadas cuando se analicen cuerpos
compuestos. Además, cuando se estudie el problema resuelto 5.12, se debe observar cómo
las coordenadas x y y del centroide del cuarto de cilindro se obtuvieron mediante las ecuaciones para el centroide de un cuarto de círculo.
Se debe señalar que se presentan dos casos especiales de interés cuando el cuerpo dado consiste de alambres uniformes o de placas uniformes hechos del mismo material.
a) Para un cuerpo hecho de varios elementos de alambre que tienen la misma sección
transversal uniforme, el área A de la sección transversal de los elementos de alambre se podrá
eliminar de las ecuaciones (5.20) cuando V se reemplaza por el producto AL, donde L es la
longitud de un elemento dado. Entonces, para este caso, las ecuaciones (5.20) se reducen a

X L x L


Y L y
L


Z L z L

b) Para un cuerpo hecho de varias placas que tienen el mismo espesor uniforme, el espesor t de las placas puede factorizarse y eliminarse de las ecuaciones (5.20) cuando V se
reemplaza por el producto tA, donde A es el área de una placa dada. Por tanto, en este caso, las ecuaciones (5.20) se reducen a
X A x A



Y A y
A

Z
A z A

2. Localización de los centroides de volúmenes por integración directa. Como se
explicó en la sección 5.11, la evaluación de las integrales de las ecuaciones (5.21) se puede
simplificar seleccionando para el elemento de volumen dV un filamento delgado (figura 5.22)
o una placa delgada (figura 5.23). Por tanto, la solución se debe iniciar con la identificación,
de ser posible, del dV que produce integrales sencillas o dobles que son fáciles de calcular.
Para cuerpos de revolución, este elemento de volumen puede ser una placa delgada (como en
el problema resuelto 5.13) o un cascarón cilíndrico delgado. Sin embargo, es importante
recordar que las relaciones que se establezcan entre las variables (como las relaciones entre r
y x en el problema resuelto 5.13) afectarán directamente la complejidad de las integrales que
se tendrán que calcular. Finalmente, conviene recordar que xel, yel y zel en las ecuaciones (5.22)
son las coordenadas del centroide de dV.

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Problemas
y

5.90 El cuerpo compuesto que se presenta en la figura se obtiene al
remover un hemisferio de radio r de un cilindro de radio R y altura 2R. Determine a) la coordenada y del centroide cuando r 3R/4, b) la relación r/R
para la cual y 1.2R.

R

r

x

z

5.91 Determine la coordenada y del centroide del cuerpo mostrado
en la figura.

2R

y

a

Figura P5.90

y
h

L
b

z

x

h
b
2

x

Figura P5.91 y P5.92

a

5.92 Determine la coordenada z del centroide del cuerpo mostrado
en la figura. (Sugerencia: Use el resultado del problema resuelto 5.13.)

z
Figura P5.93

5.93 Para el cuerpo mostrado en la figura, determine a) el valor de x
donde h L/2, b) la relación h/L para la cual x L.
5.94 Para el elemento de máquina que se muestra en la figura, localice la coordenada y del centro de gravedad.
y
30 mm
30 mm
45 mm

30 mm
10 mm
r = 19 mm
r = 19 mm

z

15 mm

x

30 mm
30 mm

Figura P5.94 y P5.95

5.95 Para el elemento de máquina que se muestra en la figura, localice la coordenada z del centro de gravedad.

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